Уравнение волновое уравнение

Соотношение (1.24), описывающее монохроматическую волну, служит одним из возможных решений волнового уравнения, и такая волна обязательно должна быть поляризована (в общем случае эллиптически). Итак, мы пришли к чрезвычайно важному утверждению, глубокий смысл которого заключается в том, что поляризация монохроматической волны является прямым следствием уравнений Максвелла. [c.29]

Отметим также, что класс функционально-инвариантных решений волнового уравнения, как было показано, определяется структурой функции й (а, (/,/), удовлетворяющей системе (9,2) и имеющей вследствие этого вид (9.3) при условии (9.4). Сами функции /(Й) при этом могут быть, как указывалось выше, произвольными дважды дифференцируемыми (или аналитическими) функциями. Это свойство решений волнового уравнения и отражено в названии самого метода функционально-инвариантных решений. Название этого метода отражает некоторые общие групповые свойства решений волнового уравнения. [c.432]

Особенности Э. в., законы их возбуждения и распространения описываются Максвелла уравнениями. Если в какой-то области пространства существуют электрич. заряды е и токи 1, то изменение их со временем г приводит к излучению Э. в. На характер распространения Э. в. существенно влияет среда, в к-рой они распространяются. Э. в. могут испытывать преломление, в реальных средах имеет место дисперсия волн, вблизи неоднородностей наблюдаются дифракция волн, интерференция волн, полное внутреннее отражение и др. явления, свойственные волнам любой природы. Пространств, распределение эл.-магн. полей, временные зависимости Е(1)и H(t), определяющие тип волн (плоские, сферические и др.), вид поляризации и др. особенности Э. в., задаются, с одной стороны, характером источника излучения, с другой—свойствами среды, в к-рой они распространяются. В случае однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих эл.-магн. поле, ур-ния Максвелла приводят к волновым уравнениям [c.543]

Материальное уравнение, устанавливая связь между поляризацией и полем, позволяет замкнуть систему уравнений Максвелла и решить задачу о пространственном и временном распределении электромагнитного поля для среды с заданными свойствами и заданными, падающими извне на среду, волнами. Последние определяют граничные условия для описывающего поле внутри среды волнового уравнения, в которое сворачиваются [c.17]

Продолжая этот процесс, можно последовательно выделять уравнения все более и более высокого порядка. Как видно из выписанных уравнений, уравнения п-го приближения линейны относительно и р("> и содержат в правой части только величины меньшего порядка малости, определяемые из уравнений предыдущих приближений. Таким образом, метод малого параметра позволяет свести решения нелинейных уравнений, вообгце говоря, к бесконечной системе линейных уравнений. Отметим, что все эти уравнения — волновые уравнения с правой частью. Например, (2.14) после преобразования можно представить в виде [c.59]

В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика) дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла) дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной. [c.105]

Волновое уравнение (в той или иной записи) полностью описывает законы распространения электромагнитного поля. Нас сейчас не интересуют конкретные результаты, получаемые на пути анализа этого уравнения, отметим лишь одно важное для дальнейшего обстоятельство система уравнений Максвелла, описывающая электромагнитное поле в пустоте, дополненная соответствующими граничными условиями, является математически полной системой уравнений. [c.21]

Формулы (IV.8) имеют второй порядок точности. Первые производные по t аппроксимируются конечными разностями таким образом, что в выражения для давления не входят значения потенциала скорости на т + 1)-м слое. Это важно, так как позволяет построить явную схему решения волнового уравнения (IV.5) для пузырьковой жидкости. Поэтому представления (IV.8) позволяют избежать совместного решения уравнения Рэлея и волнового уравнения на каждом шаге интегрирования уравнений пузырьковой жидкости, сводя задачу к последовательному решению этих уравнений. [c.98]

Выведите классическое волновое уравнение (14) следующим способом. Начните с уравнения (62) и перейдите к непрерывному приближению. Замените индекс п на координату г, принимая во внимание, что расстояние между грузами равно а. Воспользуйтесь разложением правой части уравнения (62) в ряд Тейлора. Рассмотрите случай, когда в разложении имеется на один член больше, чем необходимо для получения классического волнового уравнения. Определите критерий, по которому можно пренебречь этим членом и членами более высокого порядка. [c.99]

Первое уравнение есть уравнение эйконала, выражающее собой принцип Ферма. Его смысл состоит в том, что расстояние между двумя последовательными волновыми фронтами обратно пропорционально локальному показателю преломления. Второе уравнение, связывающее фазовую и амплитудную функции, имеет смысл уравнения сохранения энергии вдоль лучевой трубки. [c.173]

Нам удалось упростить точные уравнения гидродинамики, пользуясь тем, что в акустике смещения частиц малы по сравнению с расстояниями, на которых эти смещения заметно меняются. Но такой подход принципиально связан с выбором системы координат, относительно которой невозмущенная среда покоится. В системе координат, движущейся относительно среды, смещения частиц уже не будут малы и в новой системе нельзя будет произвести такие же упрощения. Поскольку принцип относительности Галилея справедлив для точных уравнений гидродинамики, он неприменим к упрощенным уравнениям волновое уравнение, которое мы получили из упрощенных уравнений, не инвариантно по отношению к галилееву преобразованию. [c.49]

Уравнения (1.4)-(1.6) являются исходными для получения -волновых уравнений. Продифференцируем уравнение (1.5) по времени и исключим в полученном выражении величину Э /91 о помощью уравнения Эйлера (1.4). С учетом связи мелу]у и /формула (1.б)/ получим волновое уравнение для р [c.8]

Обоснованию различных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка посвящена обширная литература. Большое число источников, относящихся к этому вопросу, можно найти в библиографическом разделе монографии [71]. Если функции г (г), ц(г) являются сложными, то реализация точных решений одномерного волнового уравнения оказывается весьма трудоемким процессом. В этом случае численные методы с применением ЭВМ являются, по существу, единственным способом достижения цели. Среди численных методов в настоящее время наиболее полное развитие получили методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эффек тивные алгоритмы для этого класса дифференциальных уравнений имеются почти во всех современных ЭВМ — как малых, так и больших. Поэтому целесообразно преобразовать (2.11) и (2.12) к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка, используя подстановку [c.37]

С точки зрения описания процессов распространения возбуждений в средах, содержащих фрактальные элементы, рассмотренные здесь модели относятся к наследственным, то есть таким, в которых локальное (макроскопически) состояние системы зависит от истории процесса (изменения величины характеризующего состояние параметра) в предшествующие моменты времени. Для переходных процессов, то есть таких, которые связаны с распространением возбуждений, созданных некоторым источником (или источниками) в первоначально невозбужденной среде, такая история, во всяком случае, ограничена в прошлом моментом, когда в среде возник источник возбуждения ( слабая причинность отклик в каждой точки среды на возбуждение от источника не может произойти раньше, чем возник источник, но допускается в любой момент, даже сколь угодно близкий, после этого события). Этому условию удовлетворяют уравнения (3.32), (3.49) и эквивалентные им, также как и построенные на их основе дальнейшие возможные обобщения, например, использующие ядра с экспоненциальным убыванием в области малых времен (высоких частот). В случае обобщенных волновых уравнений (3.33), (3.50) и их возможных модификаций, существует предельная скорость распространения возмущений в системах, описываемых этими уравнениями (в выбранной здесь форме записи уравнений мы воспользовались этим, чтобы за счет подходящего выбора единиц измерения длины и времени, эта скорость формально оказалась равной единице). В этих случаях история изменения локального значения параметра, характеризующего возмущение среды в некоторой произвольной точке, начинается только с момента, когда её формально достигнет наиболее быстрая часть распространяющегося возбуждения, пришедшего в эту точку от источника ( сильная причинность возмущение от источника достигает каждой точки среды с некоторой конечной скоростью и, следовательно, спустя конечное время после начала действия источника). Таким образом, естественно рассматривать уравнения (3.32), (3.49) и им подобные как обобщенные уравнения диффузии, а (3.33), (3.50) - как обобщенные волновые уравнения. [c.150]

В приведенных выше рассуждениях не предполагалось, что существование любого механизма затухания обусловливает невозможность появления разрывов. В действительности волновое уравнение с затуханием (уравнение (7-7.10), приводимое ниже) допускает разрывные решения любого порядка. Теория простых жидкостей с исчезающей памятью, удовлетворяющая обсуждавшимся в разд. 4-4 гипотезам гладкости определяющих функционалов, была действительно применена в работе [40] к изучению распространения волн, где были получены очень интересные результаты. В таких жидкостях возможно не просто распростра- [c.293]

Уравнение (7-7.10) представляет собой волновое уравнение с затуханием [41, 42], о котором известно, что оно допускает разрывные решения. Для формулировки этой задачи необходимо добавить к краевым условиям (7-7.2) — (7-7.4) еще одно начальное условие (поскольку уравнение содержит теперь вторую производную по времени), а именно [c.295]

Волновое уравнение для атомных систем [32] [c.74]

Простейшей возможной физической системой является частица с массой т, движущаяся в направлении х без воздействия на нее силы. Одномерное волновое уравнение для этой системы получается из уравнения (2-12). Для этой системы переменные у и 2 — постоянные параметры и потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, уравнение (2-12) принимает вид [c.76]

Эта проблема рассматривает частицу, вынужденную двигаться в ограниченной области пространства, определенного прямоугольным ящиком с размерами ребер а, Ь и с. Волновое уравнение для этой системы дано уравнением (2-12). Решение этого дифференциального уравнения с частными производными с тремя неизвестными переменными можно получить, если принять, что [c.77]

Это указывает на то, что поступательная энергия движущихся в ограниченной части пространства частиц квантуется и что только те значения энергии, которые определяются целыми квантовыми числами Пх, Пу и п , будут приемлемыми решениями волнового уравнения. [c.79]

Приведенная выше классическая трактовка гармонического-осциллятора является только приближенной, если частица имеет атомные размеры. Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора таково [c.85]

Нормальные моды фтп г, 0, г) в цилиндрическом канале легко вычисляются методом разделения переменных в волновом уравнении и имеют вид [12, 59] [c.108]

Волновое уравнение и уравнение Лапласа являются двумя из трех типов основных уравнений мате- f H . 177 [c.587]

Эффект радиационных потерь остался за рамками рассмотрения по той причйне, что уравнения (4.18), (4.20) получены в нулевом приближении по малому параметру 2v/б 1 и справедливы лишь вблизи поверхности зеркала. Чтобы учесть прохождение волны вглубь среды, необходимо более полно и точно решить волновое уравнение (4.11). [c.137]

Подобные уравнения характерны для весьма ышрокого класса нелинейных систем с дискретными параметрами. Здесь можно прежде всего упомянуть известную задачу Ферми—Паста—Улама о нелинейной струне, послужившую важным стимулом для исследований проблем стохастиза-ции и обратимости в нелинейных распределенных системах. Проводились численные расчеты, показывающие, что в таких дискретных системах существуют солитоны, возможен распад волнового перепада на солитоны и т,д. Параллельно исследовались нелинейные эффекты в электродинамических нелинейных системах (дискретных линиях передачи). Мы, однако, не будем здесь анализировать особенности дискретных систем, а перейдем к их распределенному, континуальному анализу. Для этого рассмотрим длинноволновые возмущения, масштаб которых X велик по сравнению с расстоянием 2К=а между центрами частиц. Тогда, раскладывая разности в (5.13) по координате х, мы получим нелинейное волновое уравнение [c.170]

ШРЕДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ (волновое уравнение) — основное ур-ние квантовой механики, описывающее динамич. поведение квантовой системы во времени и пространстве. Ш. у. впервые сформулировано Э. Шредингером (Е. S hrodinger) в 1926 г. [c.422]

Уравнение эйконала можно считать также характеристическим уравнением волновых уравнений (5) и (6) из 1.2 для Е и Н. Оно дзет строгое описание распространения разрывов решений этих уравнений. Однако в геометрической оптике интересуются ие распространением ра.ярывов, а решениями, гармонически (или почти гармонически) меняющимися со временем. В приложении б показана ( юрмальная эквивалептнисть этих двух интерпретаций. [c.119]

Это и есть волновое уравнение Шредингера для свободной чa т[iцы в скалярном потенциальном поле. Поскольку оно не зависит от времени, его можно интерпретировать как уравнение, описывающее стационарное (например, периодическое) движение частицы в силовом поле. Однако это уравнение можно использовагь и в случае стационарных пучков, с которыми обычно имеют дело в электронной оптике, когда рассматривают много частиц, появляющихся одна за другой, но находящихся в одинаковы.х условиях. Как в первом, так и во втором случаях разумно предположить в соответствии со статисгической интерпретацией Борна, что квадрат модуля Р = пропорционален плотности частиц в точке х, у, г, измеренной за длительный промежуток времени, либо, что в данном случае совпадает с этой плотностью, пропорционален вероятности нахождения частицы в данной области пространства в любой момент времени. [c.685]

Граничные условия и волновые функции. Пусть в кристалле введена система координат с неортогоиальнымн единичными векторами а, Ь. с. Показать, что граничные условия на поверхностях параллелепипеда с ребрами A la, Nib, Л зс дают для решений волнового уравнения свободного электрона фуш<цни вида [c.279]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Условие (4.17) в оптике может считаться всегда выполненным, но оно, вместе с тем, еще не свидетельствует о малости пространственной дисперсии. Дело в том, как это уже не раз подчеркивалось, что пространственная дисперсия характеризуется параметром а/Х=ая/Хд. Очевидно, при больших значениях показателя преломления п этот параметр ап1 и, следовательно, пространственная дисперсия могут быть значительными, несмотря на соблюдение неравенства (4.17). В подобных условиях е у((о, к) может оказаться весьма сложной функцией А, и если представить себе функцию (ш, к) разложенной в ряд по к, этот ряд будет содержать много членов (параметром разложения является как раз величина ап1 . Волновое уравнение (2.9) в таком случае может иметь много решений, т. е. дисперсионное уравнение (2.10) будет иметь много корней со (й). При пренебрежении же пространственной дисперсией имеются только два корня дисперсионного уравнения, отвечающие обыкновенной и необыкновенной волнам, а также в определенных условиях корень шу = onst для продольной волны. [c.138]

В связи с этим можно было ожидать, что математический переход от механических уравнений к уравнениям волновой теории света не даст заметного эффекта при описании явлений большого масштаба, однако там, где сила резко меняется на очень незначительном расстояиии (как например в случае движения электрона вокруг ядра), математические уравнения могут предсказать новые эффекты, не объяснимые с помощью обычной механики. [c.16]

Если все коэффициенты имеют один и тот же знак, то, очевидно,, уравнение (5.66) не имеет решения в такой точке уравнение называется эллиптическим. Если некоторые из коэффициентов равны нулю, то уравнение параболическое-, в обычном случае один из а равен нулю, а остальные имеют один и тот же знак. Если все отличны от нуля, но не все имеют одинаковые знаки, то имеем так называемое улыпрагиперболическое уравнение. В приложениях встречается только случай, когда т — 1 из пг коэффициентов а,-имеют один и тот же знак и лишь один коэффициент имеет противоположный знак. Объяснение этого факта состоит в том, что в противном случае поверхности, описываемые уравнением (5.66), имели бы необычные геометрические свойства и не могли бы, например, описывать простую интуитивно ясную картину распространения волнового фронта. В соответствии с этим гиперболические уравнения ограничиваются этим случаем. [c.143]

Обычно в акустике амплитуды колебаний полагают малыми по сравнению с длиной волны. При этом члены второго и более высоких порядков в волновом уравнении оказываются пренебрежимо малыми и оно линеаризируется. Решение такого линеаризированного уравнения, являющееся решением первого приближения, для плоской волны приведено на стр. 14. Во многих случаях это решение оказывается достаточно точным. Давление излучения есть явление более высокого порядка, и из решения первого приближения оно не определяется. Для его расчета нужно даже при малых амплитудах учитывать, помимо линейных, по крайней мере еще и квадратичные члены волнового уравнения. [c.18]

Третий и последний аспект акустической интерферометрии, который следует рассмотреть, связан с формой нормальных мод в процессе распространения акустических волн в трубе. Строго говоря, необходимо решить волновое уравнение для цилиндрического канала с жесткими стенками, на одном конце которого находится излучатель, являющийся источником гармонических колебаний, а на другом — отражатель. Метод Крас-нушкина [47], который в дальнейшем был развит Колклафом [c.107]

Уравнение (56) называется волновым уравнением. Если бы движение газа не было параллельным оси Ох, то после лиЕ1еаризации уравнений (45) получили бы для р уравнение вида [c.586]

Диффузия света впервые была исследована Милном в связи с задачей о прохождении света в межзвездном пространстве, получившей название задачи Милна [102, 5561. Интенсивность рассеивания одиночной сферической частицей падающего излучения, имеющего вид бесконечных плоских волн, была вычислена при помощи волнового уравнения Максвелла по методу, известному под названием теории Ми [114]. Рассеяние характеризуется совместным действием эффектов отражения, преломления, дифракции и передачи энергии излучения рассматриваемой частицей. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...