Рассмотрение волнового уравнения

Перейдем к рассмотрению волнового уравнения в случае трех измерений [c.113]

Рассмотрение волнового уравнения [c.148]

Рассмотрение волнового уравнения 149 [c.149]

Рассмотрение волнового уравнения 151 [c.151]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Как известно, в квантовой механике состояние частиц описывается с помощью волновой функции ij), являющейся решением волнового уравнения. Если ограничиться рассмотрением упругого рассеяния нетождественных частиц с нулевым спином, то волновое уравнение имеет вид обычного уравнения Шредингера со сферически симметричным потенциалом V r) [c.29]

В рассмотренных примерах разностных схем для волнового уравнения не использованы уравнения характеристик и условия на них. Приведем алгоритм численного счета с использованием характеристик. Рассмотрим квазилинейное уравнение (7.19) гиперболического типа. [c.239]

Перейдем к рассмотрению решения методом сеток задачи Коши для простейшего уравнения гиперболического типа — волнового уравнения [c.180]

Мы начнем с рассмотрения общих уравнений для трехмерной задачи в прямоугольных координатах и простейших решений, отвечающих простейшим типам волн ). Приближенные представления волновых движений в частных случаях, например волны растяжения в стержнях, будут рассмотрены позже, когда в нашем распоряжении уже будет общая теория, позволяющая разъяснить природу сделанных допущений. [c.489]

При рассмотрении конкретных задач необходимо находить решения волнового уравнения, удовлетворяющие соответствующим дополнительным условиям краевы.м, начальным или другим. [c.210]

Круговая частота низшей или основной моды, называемая основной частотой, равна соо = пс// рад/сек в герцах основная частота равна 1 = j 21). Частоты высших мод равны соответственно f2 = 2 l(2l) герц, /з = Зс/(2/) герц и т. д. Высшие частоты называются обертонами. В случае одномерного упругого тела с нулевыми перемещениями на концах высшие частоты кратны основной. Обертоны с такой простой связью с основной частотой называются гармониками. Лишь для простейших колебательных систем, описываемых одним волновым уравнением, моды колебаний оказываются такими простыми, как рассмотренные в настоящем разделе. [c.392]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Здесь р, Р, V — плотность, давление и скорость жидкости. Для баротропной жидкости, когда Р = Л(р), ур-ния Эйлера можно линеаризовать на фоне тривиального решения р = Ро, о = 0 в предположении потенциальности поля скоростей V = уф. Полагая р = Ро + бр, 5р <й Ро, получае.м из (1) волновое уравнение для звуковых волн. Однако при рассмотрении вихревых движений жидкости, когда её можно считать не-сжи.маемой, р = ро, у = 0, ур-ния Эйлера (1) становятся существенно нелинейными. Их линеаризация на фоне решения Сд = 0 приводит к тривиальному ур-нию дь д1 — 0. [c.314]

Как известно, один из основных недостатков явного метода решения дифференциальных уравнений — значительная погрешность, имеющая место из-за ошибок округления даже при отсутствии заметной ошибки аппроксимации. Рассмотренный метод позволяет сократить эту погрешность, уменьшить число операций (примерно вдвое) и облегчить труд расчетчика. Этот метод может быть распространен и на другие классы дифференциальных уравнений (например, волновое уравнение). [c.215]

В заключение параграфа обобщим некоторые полученные результаты для неплоских ДЛ. Прежде всего ограничим тот класс поверхностей, на которых имеет смысл рассматривать дифракционные линзы, поверхностями вращения вокруг оси z, считая, кроме того, что в каждой точке к поверхности можно построить нормаль. Все расстояния от центров кривизны, участвующих в рассмотрении волновых полей, будем отсчитывать до плоскости, касательной к поверхности в ее вершине, т. е. в точке пересечения поверхности с осью z. Уравнение поверхности [c.27]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

Проведенное выше исследование шума враш,ения винта основывалось на рассмотрении акустических диполей, неподвижных или движущихся с постоянной скоростью. Для этого требовалось преобразовывать распределение сил давления по лопасти в эквивалентное распределение таких сил, соответствуюш,их неподвижным диполям, по диску винта. Другой подход состоит в использовании решений волнового уравнения, соответствующих перемещающимся и вращающимся диполям, которые непосредственно определяются силами давления на вращающейся лопасти. Выражения для акустического давления от диполей и источников при произвольном их движении получены в работах [L.124, F.7, F.8, F.21]. Результат последней из них представлен в форме [c.858]

Это выражение описывает поляризацию, осциллирующую на частоте 2 и распространяющуюся в пространстве в виде волны. Данная волна поляризации излучает на частоте 2 . Таким образом, мы получили генерацию электромагнитной волны на частоте второй гармоники 2 [аналитическое рассмотрение, приводимое ниже, включает подстановку данного значения поляризации в волновое уравнение (8.65)]. Электрическое поле этой электромагнитной волны запишется в виде [c.493]

Начнем рассмотрение с основного волнового уравнения (12.3.10) в случае нелинейной поляризации. В случае обратной волны 3 в [c.596]

Таким образом, для рассмотренных моделей упругих тел уравнения движения преобразованы к волновым уравнениям. В случае установившихся движений решение задач сводится к решению уравнений Гельмгольца. В последующих главах на основе приведенных соотношений получены решения конкретных задач. [c.27]

В некоторых случаях пренебречь упругостью включения нельзя. Тогда необходимо ввести в рассмотрение рефракционные волны, т. е. волны, прошедшие во включение. Их потенциалы удовлетворяют волновым уравнениям, у которых волновые числа будут [c.110]

Рассмотренная задача описывается одним волновым уравнением, поэтому она аналогична задачам акустики. [c.149]

Обобщим теперь предыдущее рассмотрение на случай, который является более реальным, т. е. экспериментально реализуемым. Для этого скажем несколько слов о том, как распространяется свет. Оптическое поле V х, t) распространяется в соответствии с волновым уравнением [c.43]

Рассмотренные ранее волновой и лучевой варианты теории трехмерной голограммы весьма наглядны, однако имеют тот недостаток, что в дополнение к ограничениям, накладываемым на величину дифракционной эффективности самим характером первого прибли--жения, требуют также еще введения ограничений, свойственных приближению геометрической оптики. Вместе с тем такого рода ограничения совершенно не характерны для механизма записи голограммы, который, как известно, обеспечивает регистрацию не только малых объектов, но и объектов большой протяженности. В связи с этим рассмотрим два варианта теории, базирующейся на решении волнового уравнения, ограничиваясь при этом только рамками кинематического приближения и не накладывая каких-либо ограничений на размеры регистрируемого на голограмме объекта. В соответствии со смыслом характерных для этих представлений преобразований их можно назвать пространственным и частотным операторными вариантами теории трехмерной голограммы [2, 51. [c.697]

Для принятого допущения малых значений разности углов между опорными и объектными лучами света можно исходить при рассмотрении дифракции света на голограмме из скалярного волнового уравнения [c.215]

В дальнейшем ограничимся рассмотрением двухмерных электромагнитных волн, магнитное поле которых имеет единственную составляющую Ях=Ф(1/, -г), не зависящую от координаты X вдоль лент и удовлетворяющую волновому уравнению [c.251]

Важным представляется рассмотрение вопроса о предельном переходе в уравнении Шредингера к классической механике. Пусть имеется волновое уравнение (П3.24) для частицы в потенциальном силовом поле, где II = 17 х,у,г). Известно [191], что волновая функция имеет предельное выражение Ф = , где а и S — вещественные величины, имеющие смысл амплитуды и механического действия соответственно. [c.474]

В предыдущей главе было показано, как аналитические свойства амплитуды рассеяния могут быть получены из рассмотрения волнового уравнения в координатном пространстве. В основу всего рассмотрения можно также положить уравнение Липпмана — Швингера в импульсном пространстве, тогда окончательные результаты можно получить даже более просто. Уравнение Липпмана — Швингера для парциальных волн весьма эффективно при изучении асимптотического поведения вдоль мнимой оси Я (см. гл. 8). Возможно, что это вообще единственный путь получения такого рода информации. В настоящей главе будет рассматриваться главным образом уравнение Липпмана — Швингера для полной амплитуды . изучение этого уравнения служит первым шагом в доказательстве представления Мандельстама. [c.170]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Наиболее далеко идущим прогнозом, следующим из модели Тисса, явилось предсказание существования тепловых волн в жидкости—явления, ставшего впоследствии известным под названием второго звука . Формальное рассмотрение двух взаимопроникающих жидкостей, обладающих разной энтропией, приводит к волновому уравнению для неоднородностей температуры вместо диссипативного уравнения теплопроводности. Тисса предположил поэтому, что нарушения равновесной концентрации двух жидкостей будут выравниваться посредством волнового движения, а но посредством диффузии. Это волновое движение, как и следовало ожидать, будет несколько похоже на акустический звук с той существенной разницей,, что при этом не будет происходить заметных колебаний плотности жидкости. Вместо них будут наблюдаться колебания относительной плотности двух жидкостей, т. е. колебание температуры. С этой точки зрения подходящим параметром для характеристики диссипации тепловых импульсов в Не II является не теплопроводность вещества, а скорость распространения в нем тепловых волн. На основании своей модели Тисса предположил, что эта скорость будет возрастать от нуля в Х-точке до максимума примерно при 1,5" К и затем уменьшаться при дальнейшем нонижении температуры. [c.803]

Прежде чем заниматься решением киантоиой задачи о собстненных значениях для новых конкретных систем, мы подробнее осветим общую связь между дифференциальным уравнением Гамильтона (у. Г.) некоторой механической проблемы и соответствующим волновым уравнением, т. е. в рассмотренном ранее частном случае связь кеплеровои задачи с уравнением (5) первого сообщения. Данная общая связь пока была лишь кратко выражена аналитическим образом посредством неясного самого по себе преобразования (2) и столь же неясного перехода от приравнивания нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным ). [c.679]

Колебания волочимого изделия. При изучении колебаний изделия на станах бухтового волочения рассмотрены его перемещения в продольном и поперечном направлениях, вызванные тем, что фактическая форма тянущего барабана отклоняется от цилиндрической, а при рассмотрении колебаний изделия на цепных станах изучены лишь продольные колебания (1, 2]. Волочимое и.чделие представлено в виде стержня, имеющего закрепление концевых сечений, определяемое особенностями рассматриваемого случая. Так, при изучении продольных колебаний рассмотрен стержень, имеющий кинематическое перемещение, определяемое тянущим органом стана. При определении собственных частот колебаний использовали волновое уравнение, применили разложение по собственным формам колебаний и из граничных условий нашли час- [c.132]

Построение дисперсионных соотношений для распространяющихся волн в цилиндре, естественно, нельзя выполнить на основе данных об отражении волн от плоской границы полупространства. Для вывода этих соотношений способом, аналогичным предложенному в 1 и 2 данной главы, необходимо детальное решение довольно сложной задачи об отражении плоских волн от цилиндрической границы. Поэтому при рассмотрении волновых движений в цилиндре проще исходить из набора частных решений уравнений Ламе в цилиндрических координатах. Такие наборы впервые были построены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. [c.144]

Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные А , Лд, F и удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических движений частота определяется источником сил или перемещений, а у является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье. Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для постоянных А , Аз и F. Условие существования ее нетривиального решения определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и со. [c.147]

Эффект радиационных потерь остался за рамками рассмотрения по той причйне, что уравнения (4.18), (4.20) получены в нулевом приближении по малому параметру 2v/б 1 и справедливы лишь вблизи поверхности зеркала. Чтобы учесть прохождение волны вглубь среды, необходимо более полно и точно решить волновое уравнение (4.11). [c.137]

Только рассмотрение решетки с кооперативными смещениями позволило ввести понятие об атом-вакансионных состояниях, в условиях которых дислокация рождается как солитонное решение нелинейного волнового уравнения. Была вскрыта общая природа возникновения любых- деформационных дефектов точечных, дислокаций, протяженных дефектных фаз (типа клубков дислокаций). Все они возникают в областях неравновесных атом-вакансионных состояний. Тип дефекта определяется характером решения нелинейного волнового уравнения, описывающего решетку с кооперативными смещениями. В зависимости от степени и условий деформаций можно полу хить любые деформационные дефекты, которые могут взаимно превращаться. С другой стороны, движение любых деформационных дефектов может осуществлять произвольную пластическую деформацию, поэтому в теории пластического течения кристаллов необходимо рассматривать движение дефектов всех типов, включая планарные и протяженные дефектные фазы. [c.23]

Гауссов пучок (2.2.15), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (2.1.2) для однородной среды (/ j = 0). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (2.1.4), причем / j 0. Например, показатель преломления и (г) градиентных волокон (см. ниже рис. 2.5) приблизительно описывается распределением (2.1.4). Другим важным примером является распространение гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью [11]. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описа- [c.38]

Классификация электронных волновых функций линейной молекулы по типам симметрии точечной группы имеет одну интересную особенность, к рассмотрению которой мы теперь перейдем. Электронные волновые функции и энергии Ve получаются при решении электронного волнового уравнения для конкретной конфигурации ядер [см. уравнение (8.2)]. Решение этого уравнения для различных конфигураций ядер дает зависимость Ve от коораинат ядер, которая в сумме с энергией Vnn отталкивания ядер дает функцию Fn потенциальной энергии ядер в зависимости от их координат для каждого электронного состояния [см. (8.5)]. Для линейной конфигурации H N основное электронное состояние относится к типу 2, а первое возбужденное электронное состояние — к типу П. Однако если молекула изогнутая, то она принадлежит к точечной группе s и ее электронные состояния невырождены. Электронное П-состояние [c.374]

Возникает вопрос, какие из указанных выше взаимодействий существенны и какие имеют меньшее значение. При рассмотрении вопросов нелинейной акустики нас ла-лее будут интересовать те взаимодействия, которые имеет звуковая мода Р с модами Р,0.ж S. Таких взаимодействий во втором приближении, как показывает анализ, имеется шесть РР, PQ, PS, QQ, SS, QS. Каждое из этих взаимодействий приводит, за сяет нелинейности уравнений, к появлению членов в правой части волнового уравнения для Р, т. е. к появлению источников звука. Оценка показывает при этом, что взаимодействия SS и QS имеют порядок более высокий, чем остальные четыре. [c.45]

При рассмотрении волновых полей их уравнения часто записьшают в форме законов сохранения (уравнений переноса), что позволяет определить энергию и импульс волны, а также их потоки. Иногда уравнения переноса конструируются из линеаризованных уравнений поля. Однако получаемые таким образом квадратичные по полю величины не обязательно совпадают с действительными энергией и импульсом, связанными с волной. [c.71]

Волновые уравнения (9.13), (9.14) приводят к общим уравнени-ЯМ Бесселя. В нашем рассмотрении считается, что тороидальный ядерный генератор — это замкнутый круговой соленоид с цилиндрической проводяш ей поверхностью, по которой течет, по суш е-ству, поверхностный ток проводимости. Лля такого полого проводника решения уравнений (9.13), (9.14) дают хорошо известный поверхностный скип-эффект [193, 247] на функциях Бесселя для соот-ветствуюш их уравнений. [c.273]

Следовательно, законы распространения сдвиговых волн в неогоа-ниченном изотропном теле ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущих разделах общих законов распространения продольных волн. При этом волновое уравнение в форме (Х.17) описывает распространение или чисто продольной волны со скоростью о, или чисто сдвиговой волпы со скоростью Сх. Уравнение же (Х.4) относится к произвольной ориентации вектора смещения и, в котором в общем случае можно выделить как продольные, так и сдвиговые компоненты, причем эти компоненты и1 Wv, Чц, являются взаимно перпендикулярными. Решением уравнения (Х.4), отнесенного к прямоугольной системе координат Х = у, г, является, таким образом, плоская волна с произвольной ориентацией вектора смещения и относительно этих координат [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...