Волновое уравнение одномерное

Возмущения статистически распределенные 211—213 Волна стоячая 286 Волновое уравнение одномерное 43, [c.294]

Простейшей возможной физической системой является частица с массой т, движущаяся в направлении х без воздействия на нее силы. Одномерное волновое уравнение для этой системы получается из уравнения (2-12). Для этой системы переменные у и 2 — постоянные параметры и потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, уравнение (2-12) принимает вид [c.76]

Приведенная выше классическая трактовка гармонического-осциллятора является только приближенной, если частица имеет атомные размеры. Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора таково [c.85]

Зависимость процессов от нескольких переменных — координат и времени / — приводит к уравнению движения в частных производных. Это уравнение, называемое волновым уравнением, для одномерной однородной системы записывается в виде [c.320]

Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределенную электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек [c.321]

Аналогичный результат можно получить и другим путем. Дифференцируя уравнение движения (1.12 ) в одномерном случае по а (при Я = 0), а уравнение непрерывности (1.10) дважды по / и приравнивая правые части этих уравнений, получим нелинейное волновое уравнение вида [c.14]

Чтобы продемонстрировать метод исследования, рассмотрим сначала одномерное плоское движение неограниченного однородного тела. Обозначим перемещение в направлении оси х через и u x,t), что соответствует растяжению или сжатию тела в этом направлении. В этом случае движение упругого материала описывается волновым уравнением [34] [c.177]

Круговая частота низшей или основной моды, называемая основной частотой, равна соо = пс// рад/сек в герцах основная частота равна 1 = j 21). Частоты высших мод равны соответственно f2 = 2 l(2l) герц, /з = Зс/(2/) герц и т. д. Высшие частоты называются обертонами. В случае одномерного упругого тела с нулевыми перемещениями на концах высшие частоты кратны основной. Обертоны с такой простой связью с основной частотой называются гармониками. Лишь для простейших колебательных систем, описываемых одним волновым уравнением, моды колебаний оказываются такими простыми, как рассмотренные в настоящем разделе. [c.392]

Одномерные продольные упругие волны описываются волновым уравнением [c.207]

Если деформированное состояние разложить на две части — одну, связанную с отсутствием изменения объема, и другую, связанную с отсутствием поворота главных осей,— то получатся следующие одномерные волновые уравнения [c.367]

Для решения двумерных и трехмерных стохастических задач параметрического типа наиболее подходящим является метод интегральных спектральных представлений. Применим этот метод к одномерному волновому уравнению и сопоставим с решениями [c.234]

Завершая решение одномерной задачи, рассмотрим общ,ий случай волнового уравнения (8.39). Представим модуль упругости и плотность материала в виде однородных случайных функций координаты х [c.238]

Рассмотрим одномерное волновое уравнение относительно компоненты вектора перемещения и вдоль оси распространения волны [c.135]

Обосновать сходимость ряда (2.1) и рядов для соответствующих производных в общем случае не удалось. Экспериментальные расчеты для конкретных форм кри вых St дают практическую сходимость при малых г. Разложения вида (2.1) можно использовать не только для уравнения (1.4), но и для линейных и нелинейных уравнений с коэффициентами, не зависящими от аргументов Xk к может быть и больше двух). В частности, в случае применения аналогичного метода к одномерному волновому уравнению, когда вместо (1.4) имеем для Ф(г, t) уравнение [c.300]

Установим область сходимости ряда, аналогичного ряду (1.4), в случае решения смешанной задачи Коши предлагаемым методом в простейшей модельной ситуации — для одномерного волнового уравнения [c.317]

Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора можно записать в виде [c.210]

Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе Трактата о свете (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, импульсивным — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — скалярному случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — векторному случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени At, и в течение этого времени она является [c.275]

При or as скорость пластической деформации равна нулю. Уравнение (1) в сочетании с одномерным волновым уравнением без учета эффектов поперечной инерции и с соотношением деформация-перемещение для больших деформаций образует квазилинейную систему уравнений, описывающую нестационарные упругопластические деформации в стержне. Эту систему можно решить только численными методами в данном случае применяется конечно-разностная схема, позволяющая моделировать реальные эксперименты по ударному нагружению, при которых нельзя пренебрегать влиянием распространения волн. В математической модели используется определяющее уравнение (2) с лагранжевой [c.216]

Вынужденное рассеяние звука (ВРЗ) в жидкости с газовыми пузырь ками [Заболотская, 1977, 1984]. В процессе рассеяния звука на пузырьках происходит раскачка их пульсаций и интенсивность рассеяния растет. Пусть все пузырьки имеют одинаковые радиус Ro и добротность Q вблизи резонансной частоты uiq. Этот случай аналогичен вынужденному комбинационному рассеянию света при взаимодействии с внутримолекулярными колебаниями, имеющими заданную резонансную частоту. Такая задача (в одномерной постановке) сводится к решению волнового уравнения [c.196]

В одномерном плоском случае, которому соответствует зависимость потенциала только от одной декартовой координаты и времени ф = ф (л, /), волновое уравнение (11.32) принимает вид [c.38]

Подставив выражение (И 1.24) в линеаризованное уравнение движения (1.И) для одномерного случая, получим волновое уравнение для смещения [c.55]

В таком виде уравнение (IX.2) совпадает с волновым уравнением (11.37) для одномерных плоских волн за исключением того, что коор- [c.202]

Одномерные волновые уравнения (6), (6 ) или (6") являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций [c.154]

Функция /, ( ) в подвижной системе O V представляет некоторое, не зависящее от времеии распределение возмущений скорости, плотности или давления. Эта фиксированная ( юрма одномерного возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной оси Ох со скоростью uq. Аналогично этому, функции /з(5") характеризующая определенное, не зависящее от времени распределение возмущений в подвижной системе 0"i", представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью q. [c.155]

В книге представлены результаты исследований автора по управлению упругими колебаниями систем, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями различных родов. Подробно рассматриваются практические способы построения граничных управлений на основе решений, получаемых методом Даламбера и на основе метода Фурье. Определяются обобщенные решения класса Ь2 различных типов краевых задач. Для них с помощью априорных оценок доказаны теоремы существования и получен явный вид этих решений. [c.1]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

Рассмотрим плоские звуковые волны для которых р = p(x,t). Тогда имеем одномерное волновое уравнение [c.403]

Структура одномерного волнового уравнения [c.554]

Эти уравнения различаются только коэффициентами С и Сг. Поэтому рассмотрим общее одномерное волновое уравнение [c.555]

Некоторые примеры, иллюстрирующие это явление, приве дены в работе [21], где был использован метод характеристик Численный метод решения был использован также в работе [18] В настоящее время разработаны и опубликованы различные алгоритмы решения одномерного волнового уравнения в слои стой среде, например алгоритмы TI и WONDY, использован ные в работе Лундергана и Друмхеллера [41]. Аналитическое исследование отражения и прохождения волн напряжений в слоистом материале проведено в работе Кинслоу [36]. [c.374]

Если взять опер/)цию grad в уравнении ф, то видно, что каждая из компонент скорости и удовлетворяет волновому уравнению. Взяв производную по времени от (3-6-11), также получим гиперболическое уравнение для р, а следовательно, и для р. Для одномерной задачи можно написать так [c.250]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Известно, что одномерным нелинейным волновым уравнением, энисывающим распространение волн в слабодиснергирующей среде о слабой нелинейностью, является уравнение Кортвега —де-Ври-ш [117]. Одно из решений этого уравнения описывает периодическую волну (в данном случае концентрационную) [c.13]

В одномерной системе без дисперсии волновые процессы однозначно определяются поведением характеристик волнового уравнения (4.5), вдоль которых перемещаются точки профиля бегущих волн. Поэтому для выявления качественных особенностей решений начально-краевой задачи (4.5)-(4.6) удобно проследить за распространением волн в системе с помощью графических построений на пространственно-временной плоскости (х, t). Пусть период колебаний границы равен времени пробега волной удвоенного среднего размера системы Т = 21Jс. Начальное возмущение условно разобьем на ряд одинаковых отрезков, движущихся вдоль ломаных, составленных из характеристик t xl — onst (рис. 4.2,а). [c.143]

Можно было предположить, что влияние поперечТШй инерции в данном исследовании будет существенным. В выполненном ранее анализе билинейного упругопластического материала со свойствами, зависящими от скорости, при одномерном, распространении волны с учетом лишь малых деформаций влияние поперечной инерции было описано простой добавкой к волновому уравнению [19]. Все предыдущие попытки учесть большие деформации в динамической теории пластичности или относились к одноосной деформации [20], или быйи связаны с отказом от учета волновых эффектов [21]. [c.217]

В одномерных задачах для безграничного изотропного тела ось х декартовой системы координат всегда можно направить вдоль волнового вектора к. Тогда /г,/ = = О, // = 1 и продольным ieщeннeм будет смещение вдоль оси х, т. е. = , а вектор поперечного смещения будет лежать в плоскости уг и иметь составляющие Цу = г ц Цг - I,. Ъ этом случае волновое уравнение (Х.4) [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...