Одномерный гармонический осциллятор

Приведенная выше классическая трактовка гармонического-осциллятора является только приближенной, если частица имеет атомные размеры. Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора таково [c.85]

Как и во всех задачах, связанных с гармоническим движением, в нашем случае легко произвести квантово-механическое обобщение. В классической механике для одномерного гармонического осциллятора функция Гамильтона имеет вид [c.150]

Рассмотрим, например, одномерный гармонический осциллятор, движение которого описывается дифференциальным уравнением [c.469]

Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения. [c.204]

Исследовать возмущение одномерного гармонического осциллятора членом четвертой степени q [см. (7.201)]. [c.204]

Одномерный гармонический осциллятор [c.210]

Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора можно записать в виде [c.210]

Ненулевые матричные элементы нормальной координаты Q и импульса Р для одномерного гармонического осциллятора ) [c.214]

Найти объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние одномерного гармонического осциллятора. [c.54]

КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА [c.150]

Как связана мощность, поглощаемая одномерным гармоническим осциллятором в поле равновесного излучения, со спектральной плотностью энергии поля [c.433]

Это эллипс. Меняя параметр А, получим не пересекающиеся эллипсы (Рис. 9.5). Такая система называется одномерным гармоническим осциллятором, пространство состояний или фазовый портрет движения системы изображен на Рис. 9.5. [c.170]

Одномерный гармонический осциллятор частоты со нри = О начинает движение без начальной скорости из положения о-Вычислить значение действия но Гамильтону W на этом прямом пути за период колебаний Т. Вычислить также значение действия на окольных путях вида q t) = at t -T)- -qo за время Т. Изобразить прямой путь и семейство окольных путей в пространстве q,t) и показать, что существуют значения параметра а, для которых а) Wq > > И пр б) Жок = И пр в) Жок < И пр. [c.218]

В фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом Н = (р + со )/2 выбирается область до-а) + 1/(о ) ро-Ь 1, где аиЬ — постоянные. Из каждой точки этой области выпускается прямой путь системы. Как изменяются форма и положение этой области во времени [c.228]

Одномерный гармонический осциллятор в механике может быть описан классически через канонически сопряженные обобщенные координаты д я р с представленной в нормальной форме функцией Гамильтона [c.87]

Согласно классической статистической теории средняя энергия элементарного одномерного гармонического осциллятора равна [c.351]

Глава 1. Свободные колебания простых систем. Мы начинаем со свободных колебаний одномерного гармонического осциллятора, обращая особое внимание на физические проявления таких свойств системы как инерция и возвращающая сила, на физический смысл величины со и на условия гармоничности колебаний реальной системы. Затем мы переходим к свободным колебаниям двух связанных осцилляторов и вводим понятие нормальной моды колебаний, рассматривая моду как простой протяженный гармонический осциллятор, все части которого колеблются с одинаковой частотой и фазой. Величина со для определенной моды имеет тот же физический смысл, что и для одномерного осциллятора. [c.11]

Нам известно, что одномерный гармонический осциллятор ведет себя аналогичным образом, т. е. поведение комнаты можно сравнить с поведением одномерного осциллятора. Обозначим через ре плотность звуковой энергии, а через V объем комнаты. Чему равна запасенная энергия Для плоской бегущей волны поток энергии [в эрг](см -сек)] равен плотности, энергии, умноженной на скорость звука v=332 м/сек. Звуковые волны в комнате не являются бегущими волнами, но их можно рассматривать как суперпозицию бегущих волн, распространяющихся во всех направлениях. Можно считать, что одна шестая часть энергии распространяется в каждом из шести направлений, т. е. вдоль направлений +х, У и +г. [c.246]

Кроме того, к формуле Рэлея — Джинса независимо пришел также Планк, применивший эту теорему только к веш ству, но не к излучению. Он провел рассуждение для одномерного гармонического осциллятора, например, квазиупруго связанного электрона, помещенного в полость с равновесным излучением. Под действием хаотически меняющегося электромагнитного поля излучения осцил-. лятор будет совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощая при этом электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет свершать беспорядочные флуктуации вокруг среднего значения Ш. В результате идейно-простых, но несколько длинных вычислений Планк пришел к формуле [c.697]

См., например, учебники Ландау и Лифшица 8] или Пайерлса [9]. Книга Пайерлса содержит более удачное обсуждение довольно тонкого пространственного граничного условия. Для нахождения энергетических уровней задачу путем простого преобразования сводят к задаче об одномерном гармоническом осцилляторе. [c.270]

Рассмотрим сначала квантовую теорию отдельного (одномерного) гармонического осциллятора, описываемого гамильтонианом [c.371]

Эйнштейна для теплоемкости одномерного гармонического осциллятора. [c.15]

Вычислить и р , пользуясь матрицей плотности в д-пред-ставлении, полученной в предыдущей задаче для одномерного гармонического осциллятора. [c.158]

Основное состояние одномерного гармонического осциллятора описывается волновой функцией [c.32]

Мы начнем с одномерного гармонического осциллятора. В самом общем случае гамильтониан одномерной систел1ы имеег вид [c.156]

P -ihdldQ H функции одномерного гармонического осциллятора Фу = v). Используется величина входящая в гамильтониан одномерного гармонического осцил-лятора (РЧ <3 ). [c.214]

Собственные функции гамильтоииана одномерного гармонического осциллятора классифицируются по значениям колебательного квантового числа v. Для гармонического осциллятора число и является хорошим квантовым числом. Для низких колебательных состояний ангармонического осциллятора число v является полезным приближенным квантовым числом в том смысле, что наибольший вклад в такое состояние дает только одно состояние гармонического осциллятора. Для двумерного гармонического осциллятора число /, а для трехмерного гармонического осциллятора числа / и п являются дополнительными квантовыми числами, которые теряют смысл при учете ангармоничности ). Следовательно, колебательные состояния многоатомных молекул классифицируются по значениям приближенных квантовых чисел v, / и п например, колебательные состояния метана классифицируются по значениям квантовых чисел Уь 2, из, У4, 1г, h, Ц, 3 и 4. Эти числа остаются полезными приближенными квантовыми числами до тех пор, пока смещение уровней, характеризуемых различными значениями этих чисел, несун1ественио. Например, состояния (ui = 0, V2 = 2, из = 0) и (1,0,0) с /г = О молекулы СОг сильно смешаны, и поэтому квантовые числа ui и иг в этом случае не являются полезными приближенными квантовыми числами. Связь между колебательными квантовыми числами, вырождением уровней и типами симметрии соответствующих приближенных групп симметрии обсуждалась в литературе неоднократно (см., например, работы [5] и [64]). [c.309]

Полученный при этом гамильтониан нулевого порядка представляет собой сумму гамильтониана трехмерного жесткого волчка и гамильтонианов ЪЫ — 6 одномерных гармонических осцилляторов. Наложение условий Эккарта мииимизирует оператор Ра, и поэтому пренебрежение ими является неплохим приближением. Матрица I выбирается таким образом, что главная часть V n не содержит перекрестных членов ФrsQrQs н 3N [c.382]

Мы получили уравнение для одномерного гармонического осциллятора с собственной частотой oi = — eHlm . Следовательно, [c.214]

Уравнение (8.7.8) [или (8.7.9)] хорошо известно это уравнение Шрёдингера для одномерного гармонического осциллятора, и его решение можно найти в любом учебнике по квантовой механике. Можно показать, что уравнения (8.7.8) и (8.7.9) имеют решения, которые конечны и непрерывны во всем пространстве и стремятся к нулю при [c.593]

Функция Вигнера как волновая функция. Чтобы проиллюстрировать это, решим два связанных уравнения для случая собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. На этом примере мы покажем, что уравнение на собственные значения энергии в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора сводится к уравнению Шрёдингера двумерного гармонического осциллятора. [c.109]

В первое уравнение входит лапласиан по двум переменным и ( в фазовом пространстве. Кроме того, сами эти переменные входят в уравнение квадратично. Следовательно, это уравнение на собственные энергетические состояния одномерного гармонического осциллятора полностью аналогично уравнению Шрёдингера для собственных энергетических состояний двумерного гармонического осциллятора. Отсюда вытекает, что можно найти функцию Вигнера с помош,ью разложения по произведениям волновых функций гармонического осциллятора, содержаш,их полиномы Эрмита. [c.109]

Величины ala t) однозначно определяют вектор-потенциал в каждый момент времени. Можно показать, что величина ШаЦ) ведет себя в точности так же, как комплексная нормальная координата а 1) одномерного гармонического осциллятора в механике из содержащегося в разд. В 1.22 описания механического осциллятора видно, что величины а 1) и ЩаЦ) изменяются в точности одинаковым образом с течением времени [см. уравнение движения (В2.22-6а) и его общее решение (В2.22-7а)]. К такому же выводу можно прийти на основании уравнения (1.12-20). Далее возникает точно такая же взаимосвязь между гамильтоновскими функциями, на что непосредственно указывает сравнение уравнений (В2.22-5а) и (1.12-22). Комплексная нормальная координата а 1) полностью определяет в механике поведение гармонического осциллятора. Поэтому [c.135]

Это выражение послужило источником для известной и исключительно плодотворной аналогии между амплитудами мод поля и координатами совокупности одномерных гармонических осцилляторов. Квантовомеханические свойства операторов и определяются полностью, если принять для них соотношения коммутации, аналогичные соотношениям для независимых гармонических осцилля- [c.70]

Предположим, что ансамбль двухатомных молекул можно моделировать системой одномерных гармонических осцилляторов, для которых зависящая от времени функция распределения по полубесконечпой системе уровней энергии п = О, 1,. . . [c.590]

Справедливость этого следствия явствует непосредственно из сказанного перед его формулировкой. В виде примера его применения мы можем получить заново результаты Уайтмана и Швебера [453] относительно неприводимых дискретных представлений КПС. Действительно, пусть — ортонормированный базис в состоящий из собственных векторов (одномерного) гармонического осциллятора. В качестве множества индексов Г выберем множество 7 всех положительных целых чисел и рассмотрим все семейства вида Ф == Ф = Р у 2 . Для каждого такого семейства образуем неприводимое представление 0 я , построенное в НППП По только что доказанному следствию два представления полученные таким способом, унитарно-эквивалентны в том и только в том случае, если сумма [c.336]

Позднее Плавк записал условие (0-1) для (одномерного) гармонического осциллятора и в другом виде [c.212]

Более общая форма закона равного распределения энергии, относится к гармоническому осциллятору в классическом пределе. Выше мы показали (см. (6.72)), что в высокотемпературном пределе т >> йю энергия одномерного гармонического осциллятора равна т. Этот результат поддается интерпретации с по мощью классической статистической механики (см. Приложение V). Из всей энергии х доля /гт является тепловым средним кинетической энергии, а другая доля /гт — тепловым средним потенциальной энергии. Такое значение теплового среднего потенциальной энергии справедливо только для гармонического-осциллятора. Действительное его значение зависит от вида функции, описывающей потенциальную энергию. Иная величина получается, например, для ангармонического осциллятора. Многоатомные молекулы обладают вращательными степенями свобо- [c.140]

Определить матричные элементы матрицы плотности р = = ехр (— Р ), = р 12т - -тФ д 12 одномерного гармонического осциллятора в -представлении. Обсудить, в частности, предельный случай %а)1кТ = рйсо < 1. [Указание. Собственные функции фп (д), соответствующие собственным значениям энергии [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...