Система уравнений дифференциальных первого

В предыдущей главе мы обращали внимание на трудности, возникающие при непосредственном при.менении к решению задач динамики системы уравнений Лагранжа первого рода. Основные теоремы динамики системы позволяют в ряде случаев непосредственно, исходя из условий задачи механики, находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Иногда эти интегралы движения позволяют найти полное решение задачи. [c.40]

Из системы уравнений Гамильтона (д ) путем дифференцирования первого уравнения по времени и подстановки р в полученное выражение из второго уравнения получим дифференциальное уравнение для определения q [c.418]

В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие от МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ. [c.61]

Система уравнений для определения функций у, а, т , <р, Л4 включает теперь уравнения (3.27), (3.37)-(3.39), (142) в которых необходимо учесть (3.43), причем из них первые два являются дифференциальными. Из уравнения (3.42) с учетом (3.43) следует, что [c.100]

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются [c.85]

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (55) складывается из двух слагаемых первым является общее решение соответствующей однородной системы, получающейся из (55) при Qj(t) = Q (/=1,. .., п) (обозначим его через д ), а вторым — частное решение соответствующей неоднородной системы (обозначим это частное решение через q ). Тогда [c.242]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Ята система нелинейных дифференциальных уравнений не может быть проинтегрирована в замкнутом виде. Ограничиваясь малыми колебаниями, для которых можно положить приближенно sin ф ф, со фа 1, и пренебрегая малыми величинами выше первого порядка малости, представим уравнения (4) и (5) в виде [c.604]

Общее решение этой системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений складывается из общего решения системы без правых частей (однородная система уравнений) и частного решения неоднородной системы. Первое решение определяет затухающие свободные колебания системы и было получено в задаче 455. Второе частное решение, определяющее вынужденные колебания системы, будем искать в виде [c.622]

В ряде случаев рассмотрение динамической системы сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений (4.1), правые части которых терпят разрывы непрерывности первого рода на некоторых гладких поверхностях Si, S2,. .., 5ft, разбивающих фазовое пространство на некоторые области D , D , ., Dm- В каждой из областей Dj а = 1, 2,. ... т) движение системы определяется дифференциальными уравнениями [c.81]

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Система трех дифференциальных уравнений (126) второго порядка эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений первого порядка [c.262]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

На основании теории интегрирования дифференциальных уравнений доказано, что для интегрирования системы уравнений Эйлера — Пуассона в квадратурах необходимо иметь четыре первых интеграла [3]. [c.457]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени. [c.283]

Интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (14) и (15) при общих начальных условиях (16) — задача чрезвычайно трудная. Она в общем случае начальных условий не решена даже тогда, когда внешними силами являются только сила тяжести самого тела и реакция закрепленной точки. Для тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях была указана система первых интегралов дифференциальных уравнений, из которых неизвестные углы Эйлера в зависимости от времени определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют случаями интегрируемости уравнений Эйлера. [c.481]

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в декартовой системе координат (уравнения Лагранжа первого рода) [c.29]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

К аналогичным результатам можно прийти, исходя из системы уравнений Лагранжа второго рода, так как систему дифференциальных уравнений второго порядка всегда можно заменить эквивалентной системой уравнений первого порядка. [c.329]

Уравнения первого приближения образуют систему линейных дифференциальных уравнений.с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этой системы уравнений в следующей форме [c.333]

Учитывая (5.189) и проводя аналогичные преобразования (5.183), получим для двух нормальных форм колебаний /1 (t), /2 () в первом приближении метода усреднения следующие системы усредненных дифференциальных уравнений [c.257]

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в независимых обобщенных координатах, — их обычно называют уравнениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. [c.394]

В решение этой системы двух дифференциальных уравнений первого порядка войдут две произвольные постоянные поэтому при упрощенной постановке задачи можно задать только два начальных условия примем, что [c.616]

Предположим, далее, что мы смогли свести систему уравнений (1), рассматриваемую как систему дифференциальных уравнений первого порядка, к равносильной системе уравнений вида [c.457]

Для исследуемой системы переменные х я у связаны системой двух дифференциальных уравнении первого порядка [c.17]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

Первое уравнение этой системы — обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого формулируется так [c.246]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

В случае, когда некоторая характеристика, имеющая участок с крутым наклоном касательной, заменяется двумя горизонтальными прямыми с разрывом первого рода (т. е. идеализируется при помощи так называемой 2-характеристики), уравнения скользящего движения можно получить следующим предельным переходом участок кривой с крутым наклоном заменяется сначала наклонной прямой, далее составляются уравнения движения системы в этой переходной области и затем совершается переход к пределу, при котором угол наклона прямой устремляется к значению л/2. В рассмотренном случае разрывность правых частей дифференциальных уравнений движения является идеализацией очень быстрого изменения правых частей в окрестности поверхностей S. В других случаях эта разрывность может быть следствием пренебрежения некоторыми быстро меняющимися в окрестности 5 дополнительными переменными от которых зависят правые части системы уравнений (4.1), а сами уравнения (4.1) являются упрощением некоторой более общей системы дифференциальных уравнений вида [c.86]

Здесь обобщенные силы Q разложены на мотенциаг1ьные-ЭГ1/(Зт/ . и пепотенциальные Qj составляющие. Введением обобщенных импульсов Р1 = дТ дц с помощью (1.162) амеиим систему (1.164) системой 2н дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных и ф, [c.68]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. Уравнения Феррерса, уравнения Лагранжа первого и второго рода [c.125]

Периодическая возмущающая сила вызывает вынужденные колебания материальной точки. Если возмущающая сила не является периодической функцией времени, то она вызывает также непериодическое движение, К этому выводу можно прийти на основании содержания 197 первого тома. Обращаем внимание на то, что при рассмотрении колебаний материальной точкй исходные предположения приводили к определению закона движения точки из линейного дифференциального уравнения. Далее будем иногда называть, как и в предыдущем параграфе, материальные системы, закон движения которых определяется из системы линейных дифференциальных уравнений, линейными системами и соответствующие колебательные движения — линейными колебаниями. [c.276]

Вариации бх удовлетворяют некоторой системе линейных дифференциальных уравнений, которая встречалась раньше при рассмотрении проблемы устойчивости движения в первом приближении. Эти уравнения называются уравнениями в вариациях ). Уравнения в вариациях составляются аналогично дифференциальным уравнениям (П.326Ь). [c.381]

Уравнения (7) называются дифференциальными уравнениями криво--шнвйного движения несвободной материальной точки в проекциях на оси декартовой системы координат, или уравнениями Лагранжа первого рода. Эти уравнения и уравнение связи (4) представляют собой систему четырех уравнений, из которых могут быть определены четыре неизвестных функций времени х, у, г, а. В результате найдем закон движения точки, а по формуле [c.481]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Дифференциальными называются связи, уравнения которых кроме координат точек системы содержат и первые производные от этих координат но временп и, может быть, время. Примером дифференциальной связи может служить связь, наложенная на колесо, катни ееся без скольжения но неподвижной поверхности (рис. 91,а). В этом случае скорость центра колеса и его угловая скорость связаны между собой зависимостью, являющейся уравнением этой связи [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...