Уравнение волновое однородной среде

Из уравнений Максвелла (2Л.36) волновое уравнение для однородной среды запишется в виде [c.74]

Рис. 3.11. Вертикальные зависимости проекций на оси Ох кОу скорости течения у (3,183), допускающей точные решения волнового уравнения в однородной среде, при различных значениях свободных параметров. Для каждой из проекций на координатные оси может быть выбрана независимо любая из этих трех кривых

Воспользуемся результатами п. 3.1. Плотность среды считаем постоянной. В качестве модельного уравнения (3.7) возьмем волновое уравнение в однородной среде, тл. положим [c.138]

Как известно, кристаллы являются системами с большим числом степеней свободы, спектр колебаний которых охватывает широкий диапазон частот от Unj, slO с до u j,,=10 с Низкочастотная часть этого спектра простирается в акустическую область, а высокочастотная - в инфракрасную область. В теории теплоемкости Дебая (1912 г.) кристалл рассматривается как сплошное изотропное твердое тело. Распространение волн в однородной среде описывается волновым уравнением [c.198]

Интерференция электромагнитных волн. Интерференция электромагнитных волн подробно изучена в электромагнетизме и оптике. Математически волна любой природы в однородной среде описывается универсальным волновым уравнением [c.41]

Уравнение Гельмгольца для волн де Бройля. Уравнение Гельмгольца (5.3) описывает волны разнообразной природы в однородных средах и вакууме с постоянной частотой. Постоянство длины волны не предполагается. Поэтому представляется разумным применить это уравнение для описания воли де Бройля, характеризующих волновые свойства корпускул. [c.65]

Иную характеристику процесса дает волна. Простейший волновой процесс— это бесконечная чисто-периодическая плоская волна, распространяющаяся в однородной среде. Уравнение такой волны, движущейся в направлении оси Ох, имеет вид [c.88]

Понятие В. с. переносят и на произвольное распределение волновых полей любой природы, в т. ч. и на отношение их амплитуд в бегущих волнах сложной структуры, Напр., в электродинамике это отношение напряжённостей электрич. и магн. полей, в акустике — отношение давления к скорости частиц среды и т. д. При этом равноправно используют также термин поверхностный (полевой) импеданс. м. А. Миллер. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — линейное однородное ур-пие в частных производных гиперболич. типа [c.312]

Поверхности, все точки которых колеблются в одинаковых фазах, носят название поверхностей волны. При распространении световых колебаний от точечного источника в однородной среде поверхности волн представляют собой сферы с радиусами, играющими роль световых лучей, вдоль которых и распространяется свет. Если на волновой поверхности отметить некоторую точку в начальный момент времени, то через промежуток времени t вся волновая поверхность переместится на расстояние х, а вместе с нею и отмеченная точка. Этот процесс перемещения точки может быть представлен математически следующим элементарным уравнением [c.8]

Ввиду (3.25) (либо в силу (2.24) для более общего случая анизотропной среды) нестационарные динамические потенциалы теории упругости для однородной среды можно, следуя сложившейся терминологии для скалярного волнового уравнения [34], называть запаздывающими потенциалами. [c.111]

Пусть граница однородного изотропного твердого тела лежит по-прежнему в плоскости /уг, а ось х является ее внешней нормалью, т. е. рассматриваемая среда занимает полупространство со значениями X < 0. Общее волновое уравнение для этой среды можно представить в виде (Х.17), т. е. [c.229]

В однородной среде, свободной от токов (/ = 0), поля Е и Н удовлетворяют волновым уравнениям ( ) [c.15]

В случае однородной среды общее решение волнового уравнения является суперпозицией плоских волн с произвольными амплитудами. При наличии двух сред естественно подразделить все волны на волны, идущие от границы раздела сред в бесконечность (г-- оо), и на волны, идущие к границе раздела сред из бесконечности. [c.162]

Большое разнообразие в типах анизотропных тел (число констант изменяется от 3 до 21) осложняет их исследование. По большей части рассматривались частные виды сред с небольшим числом констант упругости. Волновые процессы описываются при этом гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами (для однородной среды). Для анизотропных тел существуют уже не два, а три типа волн. [c.299]

Проанализируем прежде всего наиболее общее волновое уравнение, характеризующее генерирование звука различными гидродинамическими источниками, и распространение этого звука в невозмущенной однородной среде. Обычно рассматривается волновое уравнение при наличии границ или без них в предположении, что сами источники и среда распространения либо покоятся, либо движутся равномерно и прямолинейно так, что в инерциальной системе координат задача сводится к стационарной. [c.40]

В силу пространственно-временной аналогии в укороченных уравнениях [21] формулами (37.11) описывается также не зависящее от пространственной координаты д/дх = 0) решение исходной системы (37.1), соответствующее нелинейному взаимодействию трех волновых пакетов в безграничной однородной среде, каждый из которых представляет собой дельта-функ- [c.119]

Для скалярных функций (2.32) из линейных уравнений Максвелла непосредственно получаются для однородных сред волновые уравнения [c.56]

В задачах распространения волн в случайно-неоднородных средах широко применяется также метод Гюйгенса—Кирхгофа. Суть метода состоит в обобщении [40, 64] интегрального представления решения волнового уравнения (2.4) для однородной среды (81 0) на плавно-неоднородные среды путем добавления [c.29]

Если звуковые волны, излучаемые точечным источником (размеры распространяются в однородной среде равномерно по всем направле-шшл, то в (4.1) потенциал будет функцией только 2, т.е. зависит только от расстояния от источника и от времени и ке будет зависеть от и . В этом случае ш будем иметь дело с шаровой или сферической волной, для которой волновое уравнение принимает вид [c.31]

Большинство читателей узнает в уравнении (13) волновое уравнение — уравнение, типичное для любого явления с сохранением энергии, в том числе и для распространения волн через однородную среду с единственной возможной скоростью волны с, не зависящей ни от формы волны, ни от направления ее распространения. Этому уравнению удовлетворяют, например, компоненты электромагнитных полей в вакууме, если с — скорость света, равная 3-10 м/с. Как будет показано ниже (разд. 1.2), скорость звука с, определяемая формулой (14), на несколько порядков меньше этой величины. [c.17]

В силу формул (1а) и (2а) векторы поля Е и Н в однородной среде удовлетворяют векторному волновому уравнению [c.144]

Неоднородные плоские волны. Энергия звуковых волн. В определении плоской волны (1.17) мы считали п вещественным вектором. Для монохроматических плоских волн от требования вещественности волнового вектора кп можно отказаться. Действительно, будем искать решение волнового уравнения (1.16) для звукового давления в неподвижной однородной среде в виде [c.25]

Распространение монохроматического звука в поглощающей жидкости часто описывают на основе волнового уравнения (1.23), заменяя в нем комплексной величиной. Для однородной среды такой подход является точным. Однако в общем случае это не так. Например, на границах раздела решения уравнения (1.23), имеющего второй порядок, можно подчинить лишь двум граничным условиям, а в случае вязкой теплопроводящей жидкости независимых граничных условий будет восемь как и в твердом теле, должны быть непрерьшны три компоненты тензора напряжений, скорости частиц, а также температура и нормальная к границе компонента к Э Г/Эи плотности потока тепла. (В противном случае согласно уравнениям (7.2) и (7.3) на границе обращалась бы в бесконечность плотность энтропии, а вместе с ней и давление.) В случае, когда теплопроводностью можно пренебречь (к -> 0) для тензора напряжений в вязкой жидкости из (71)-(7.3) и (1.7) получаем [c.147]

Аналогичная оценка доказана также и при < О [463.464] [258, гл. 2]. Величина F (8.12) пропорциональна Поэтому при фиксированном угле падения для достаточно больших j приближение ВКБ становится применимым в любой среде, где параметры р, с, Vq являются гладкими функциями Z, а N не обращается в нуль и бесконечность. В однородной среде/< =0и (8.11) является точным решением волнового уравнения. [c.166]

Этот случай соответствует экспоненциальному изменению скорости распространения волн в среде с с ехр (—аг). Отражение плоской волны от границы однородной среды и среды, в которой волновое число изменяется по закону (22.20), было исследовано в работах Элиаса 1142] и Геллера [170]. При замене V = (Ао/< )ехр (аг) уравнение (20.8) решается в цилиндрических функциях (V) и (V), где д = (/ 0 з1п )/а. Для сравнительно высоких частот и небольших углов падения д коэффициент отражения по энергии имеет вид [c.131]

Рассмотрим плоские волны в изотропной однородной среде, не учитывая поглош ение, дисперсию и нелинейные эффекты. В такой среде волновой процесс описывается уравнением (2.1) введения. Для плоских волн оператор Лапласа преобразуется к виду Д =-= д 1дХ , а волновое уравнение становится одномерным [c.15]

Плоская электромагнитная волна распространяется в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью [1. Покажите, что любая отличная от нуля компонента электромагнитного ноля удовлетворяет линейному волновому уравнению. Пайдите выражение для показателя преломления среды. [c.24]

Частные рен1ения скалярного волнового уравнения в однородной среде с показателем преломления пг имеют в цилиндрических координатах вид [c.346]

Возможности учета неоднородностей среды при миграции по Кирхгофу ограничиваются допущениями, лежащими в основе интеграла Рэлея-Зоммерфельда как рещения волнового уравнения. Во-первых, это - не интеграл Соболева (1930), дающий строгое решение акустического волнового уравнения для неоднородной среды, а интеграл, являющийся упрощенным решением волнового уравнения для однородной среды, причем для дальней зоны. Следовательно, миграция по Кирхгофу а) заведомо непригодна для малых расстояний источник - точка изображения и точка приема - точка изображения, (Ь) среда может быть лишь слабо неоднородной, и (с) шаг пространственной дискретности должен быть мал. Чтобы обеспечить выполнение этих ограничений, модель скоростного разреза, используемая для расчета функции ж, сглаживается растяжение сейсмического импульса, особенно сильное при малых временах и большом вертикальном градиенте скорости, подавляется либо автоматически, либо разумным выбором мьютин-га вводится регулируемое подавление эффектов зеркальных частот, возникающих при крутых углах наклона отражающих границ и особенно опасных для высокочастотной части спектра сейсмического поля. Одним из способов такого подавления является искусственное ослабление высокочастотной части спектра сейсмических волн, отраженных от крутопадающих границ - а это снижает разрешающую способность миграции. [c.50]

Рассмотрим отражение и преломление монохроматичесвшй продольной волны в случае плоской границы раздела. Плоскость IJZ выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три волны — падающая, отраженная и преломленная — будут иметь одинаковые частоты со и одинаковые компоненты ky, kz волнового вектора (но не компоненту kx по направлению, перпендикулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограниченной однородной среде монохроматическая волна с постоянными к и сй является решением уравнений движения. При наличии границы раздела добавляются лишь граничные условия, которые в нашем случае относятся к х = О, т. е. не зависят ни от времени, ни от координат у и 2. Поэтому зависимость решения от t и от у, Z остается неизменной во всем пространстве и времени, т. е. ш, ky, kz остаются теми же, какими они были в падающей волне. [c.362]

ДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА — распределённая среда, параметры к-рой зависят от частот m и волновых векторов к возбуждаемых в ней гармопич. полей. Понятие Д. с. чётко устанавливается только для линейных однородных сред, где гармонич. поля могут существовать самостоятельно (см. Нормальные волна). При описании Д. с. принято говорить о дисперсии того или иного конкретного параметра проводимости, показателя преломления, модуля упругости и т. д. Различают дисперсию временную (зависимость параметра от ш) и пространственную (зависимость от к), однако в тех случаях, когда со и А в гармонич. процессах связаны дисперсионным уравнением, такое разделение видов дисперсии является условным. [c.639]

Гауссов пучок (2.2.15), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (2.1.2) для однородной среды (/ j = 0). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (2.1.4), причем / j 0. Например, показатель преломления и (г) градиентных волокон (см. ниже рис. 2.5) приблизительно описывается распределением (2.1.4). Другим важным примером является распространение гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью [11]. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описа- [c.38]

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(г) = к-г, где к = 2тги/Х. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф т) = onst, и, следовательно, описываются также уравнением [c.41]

ПОЛЯ излучения СОд-лазера t/д (г) в дальней волновой зоне известно и задано равномерным и плоским зеркала резонатора плоские с круглой апертурой, зеркало 2 (рис. 2.30) имеет постоянный по апертуре коэффициент отражения (Т 2 = onst), а на зеркале 1 коэффициент отражения задается неизвестной функцией ( 1 ( ))> которую нужно определить. Так как резонатор считается заполненным однородной средой, то с точки зрения формирования поля в нем, он эквивалентен пустому резонатору. Согласно этому поле в резонаторе нашего СОз-лазера при заданных граничных условиях удовлетворяет уравнению Гельмгольца, записанному в следуюп ем виде [c.106]

Пусть плоская волна падает из вакуума (или воздуха) на границу оптически одноосной анизотропной однородной среды, занимающей верхнее полупространство (рис. 4.10). Рассмотрим частный случай оптическая ось параллельна границе ху и перпендикулярна плоскости падения хг (т.е. параллельна оси у). Падающую волну разложим на составляющие, поляризованные в плоскости падения и в перпендикулярном направлении. Граничные условия, как и для изотропной среды, выражаются уравнениями (3.1). Чтобы эти условия выполнялись сразу во всех точках границы, у всех трех экспонент зависимость от координат х и у должна быть одинакова. Отсюда, во-первых, следует, что у волновых векторов к и кг отраженной и преломленной волн равны нулю у-составляю щие, т. е. нормали к волновым поверхностям отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения. Во-вторых, из равенства л -составляюших векторов ко, к и кг следуют геометрические законы отражения и преломления, определяющие направления этих волн. Так как/г()х = (ы/с)8 Пф, /г = (ш/с)51пф , то ф1=ф угол отражения ф1 от анизотропной среды равен углу падения ф. [c.187]

Л упревая постановка задачи расчета ДОЭ. В однородной среде световые лучи являются прямыми линиями. Расстояние между двумя точками на луче, умноженное на показатель преломления среды, называется оптической длиной пути. Функция оптической длины пути в зависимости от координат точки луча называется эйконалом. Фазой называется аргумент комплексной функции, описывающей любую из проекций электрического или магнитного векторов электромагнитной волны. Геометрическое место точек равного эйконала называется геометрическим волновым фронтом. Пучок лучей, выходя1цих из малой области на одном волновом фронте и входящих в соответствующую малую область другого волнового фронта, называется лучевой трубкой. Вдоль лучевой трубки поток интенсивности (произведение интенсивности на площадь световой трубки) сохраняется. В рамках геометрической оптики задача фокз сировки лазерного излучения эквивалентна поиску функции отображения (или преобразования) координат (u,v) в координаты (х,р), разделенных расстоянием f. Это отображение строится с помощью прямых световых лучей, соединяющих между собой точки обеих плоскостей. Так как луч перпендикулярен волновому фронту, то, зная ход лучей между двумя плоскостями, можно однозначно найти уравнение волнового фронта И (х, р, z) = onst. [c.27]

Укажем на некоторые свойства точечных источников, излучающих векторные поля. Напомним, что в скалярной теории точечный источник, создающий поле, пропорщюнален трехмерной 5-функции, появляющейся в виде возмущающего члена в волновом уравнении [см. (4.2.2)]. В векторном случае мы должны представить себе поле излучения как соответствующую комбинацию полей элементарных электрических и магнитных мультиполей. В простейшем случае мы имеем дело с электрическим диполем р и магнитным диполем Ш, локализованными в точке Tg = (atq, q). Если источник находится в однородной среде, то поле, излучаемое диполями р и ш, дается выражением (см. книгу [c.296]

Вьнпе были рассмотрены различные формы и методы решения волнового уравнения в предположении нестащюнарности источников, формирующих правую часть этих уравнений. Что касается среды распространения звука, то во всех рассмотренных случаях ее физические параметры считались однородными и стационарными. Если среда неоднородна и нестационарна, то вследствие процессов рассеяния на неоднородностях монохроматические волны будут искривлять первоначальный фронт, также будет разрушаться корреляция вдоль волнового фронта, а при распространении стационарного шумового сигнала его статистические характеристики будут трансформироваться. [c.69]

В однородной среде в областях, свободных от токов и зарядов, каисдая из >1екартовых компонент V (г, г) векторов поля удовлетворяет, согласно (1.2.7), однородному волновому уравнению [c.35]

В ЭТОМ Приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ИБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было расс, ютрепо распространение волн в однородных средах. Мы умышлеппо выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию. [c.55]

В однородной среде, где m= onst, дивергенция Е обращается в О, так что согласно уравнению (5) плотность заряда о равна 0. Другой результат, относящийся к однородной среде, который МОЖНО получить из уравнений (1а) и (2а), состоит в том, что любая составляющая Е или Н по осям прямоугольной системы координат удовлетворяет скалярному волновому уравнению [c.140]

Здесь a (где j = 1, 2, 3) - произвольные горизонтальные векторы, Zi и а - скалярные постоянные. Возможные вертикальные зависимости проекции вектора Vq, заданного формулой (3.183), на произвольное горизонтальное направление показаны на рис. 3.11. Зависимость проекций Vq (3.184) от Z формально совпадает с функцией (z) (3.35). Поэтому рис. 3.3 может служить иллюстрацией форм профилей (vq)x и (vo)y, получающихся при различных значениях параметров a и а. Для профилей течения (3.183) решения уравнения (3.181) выражаются через функции параболического цилиндра, еаш fuj Ф О, и через функции Эйри, если в) = 0. (В последнем случае, как отмечалось выше, удается найти и решения точного уравнения (3.180).) В однородной среде с течением (3.184) решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттекера и В частном случае ffl2 = О, когда они сводятся к функциям [c.88]

Заметим, что волновое уравнение (8.1), из которого мы исходим определяет только полное значение звукового поля. Разбиение же послед него на сумму падающей и отраженной волн, как это сделано выше, сопря жено с некоторой степенью произвола. Исключением являются лишь слу чаи однородной среды или среды с медленно меняющимися свойствами когда речь идет о главных членах высокочастотного асимптотического разложения поля. Только тогда звуковое поле однозначно можно разложить на волны, распространяюищеся в ту и другую стороны. [c.201]

Если полупространство z < О, от которого отражается сферическая волна, движущееся, то боковую волну на больших расстояниях от источника можно найти так же, как в п. 12.6 была найдена боковая волна при отражении от однородной движущейся среды. Скорость движения среды будем обозначать Уо(г). Пусть при z < Zi скорость течения постоянна, направлена вдоль оси Ох и имеет величину Мсг, причем Af < 1. Тогда коэффициент отражения V q, i//), где i// - угол между горизонтальной проекцией волнового вектора и осью Ох, будет иметь точку ветвления при q =q = = sin 5 (i/i), где <7 , = Аг2/Аг(1 + Л/ os i/i). При таком значении q обращается в нуль вертикальная компонента волнового вектора в полупространстве Z < 21. Коэффициент возбуждения боковой волны равен В = = 9F/9M =0, =, Здесь угол определяющий направление горизонтального учасжа бокового луча, является решением уравнения (12.80). Чтобы найти поле боковой волны, нужно умножить р, (12.85) назначение В, соответствующее заданной стратификации среды при 2 < О, и разделить на значение коэффициента возбуждения на границе однородных сред. По- [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...