Решение волнового уравнения с волнами плоскими, общее

В случае однородной среды общее решение волнового уравнения является суперпозицией плоских волн с произвольными амплитудами. При наличии двух сред естественно подразделить все волны на волны, идущие от границы раздела сред в бесконечность (г-- оо), и на волны, идущие к границе раздела сред из бесконечности. [c.162]

В этой главе мы рассмотрим свойства упругих волн в жидкости и твердом теле для простейшего вида волнового процесса. Изложение начнем с вывода общих уравнений, которым подчиняются поля упругих волн. Особое внимание будет уделено гармоническим плоским волнам, поскольку в виде их суперпозиции можно представить волновые поля весьма общего вида. Чтобы заложить основу для исследования воли в произвольных слоистых средах, в первой главе мы подробно рассмотрим те случаи, когда удается построить точные решения волновых уравнений. [c.9]

В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23]

В соответствии с общей процедурой для дифференциальных уравнений типа (1.43) запишем результат в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (плоская волна с волновым вектором кв) и решения однородного уравнения (плоская волна с волновым вектором кс). Последнее позволяет удовлетворить условия на границе (1.47). В среде (I) (z < 0) имеем тогда плоскую волну с волновым вектором кв [c.21]

До сих пор мы рассматривали распространение пространственно неограниченных плоских волн. В настоящем разделе мы исследуем для случая линейно поляризованного света (с одной частотой) влияние описанных в разд. 4.11 нелинейностей на свет, напряженность поля которого изменяется в направлении, поперечном по отношению к направлению распространения. Для теоретического рассмотрения этой проблемы необходимо исходить из общего нелинейного волнового уравнения (1.32-1) и искать решения Е. ,х,у,г), удовлетворяющие этому уравнению и заданным граничным условиям. Однако решение такого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных связано со значительными трудностями (см. разд. 1.321) решение обычно проводится при помощи численных методов (см., например, [c.194]

Волновой лазерный пучок в силу своей высокой направленности имеет много общего с плоской волной. Отличие же его от плоской волны состоит в том, что распределение интенсивности в нем неоднородно (мощность пучка, в основном, сконцентрирована вблизи оси), а фазовый фронт несколько отличается от плоского. Поэтому решение приведенного волнового уравнения, описывающее распространение такого пучка, будем искать в виде [c.51]

Решение (14.40), (14.41) означает, что при падении на слой плоской волны среднее поле распространяется в слое с постоянной распространения К. В более общем случае произвольной падающей на слой волны среднее поле (1 5) можно описать, считая, что оно удовлетворяет волновому уравнению [c.19]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Ясно, что лучше всего было бы определить точную волновую функцию электронов, движущихся в металле с беспорядочно распределенными примесными центрами, и вычислить среднее значение -Ь (г )ф(г) по поверхности постоянной энергии. Однако решение такой задачи сопряжено с непреодолимыми трудностями. Можно ожидать, что когерентность волновой функции возбужденного состояния (для основного состояния это не обязательно так) будет нарушаться на расстоянии порядка средней длины свободного пробега. Поэтому введение предложенного Пиппардом множителя является разумным. Необходимость такого множителя вытекает из следующих рассуждений. Предположим, что центры рассеяния беспорядочно распределены в перпендикулярном к оси х слов шириной w и что вне этого слоя примеси отсутствуют, как это показано на фиг. 9. Тогда решения уравнения Шредингера вне слоя имеют вид плоских волн. Если предположить, что рассеяние некогерентно, то можно с помощью общей теории рассеяния точно вычислить (ф (г ) ф (г)) при условии, что гиг лежат вне слоя. [c.717]

Уравнение (3.25) выражает суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Для волны, идущей вдоль оси х, i5 = О и tj (х, t) = А ехр [t kx — со/)]. Для волны, распространяющейся противоположно оси х, А = О и (х, t) = В ехр [— I kx + (о/)]. В общем случае, когда направление распространения волны не, совпадает с осью д , стационарным решением уравнения Шредингера является волновая функция [c.100]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

Волновая функция (5.3) есть специальное решение уравнения Шредингера. Оно представляет собой плоскую волну, следовательно, описывает электрон с заданным импульсом р = Ь,к, для которого вероятность нахождения в основном объеме везде одинакова. Для динамики свободных электронов, т. е. движения под действием внешних сил, удобно исходить из волновых пакетов, т. е. из наложения плоских волн. Для этого служит общее выражение для волновых пакетов [c.39]

Распространение оптических пучков можно адекватно описывать с помощью уравнений Максвелла или (при определенных условиях) в рамках скалярного волнового уравнения (2.1.1). Показатель преломления п в волновом уравнении (2.1.1) отражает свойства среды и в общем случае зависит от положения в пространстве. Если п = == onst, то уравнение (2.1.1) имеет решения в виде плоских волн [c.40]

Следовательно, законы распространения сдвиговых волн в неогоа-ниченном изотропном теле ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущих разделах общих законов распространения продольных волн. При этом волновое уравнение в форме (Х.17) описывает распространение или чисто продольной волны со скоростью о, или чисто сдвиговой волпы со скоростью Сх. Уравнение же (Х.4) относится к произвольной ориентации вектора смещения и, в котором в общем случае можно выделить как продольные, так и сдвиговые компоненты, причем эти компоненты и1 Wv, Чц, являются взаимно перпендикулярными. Решением уравнения (Х.4), отнесенного к прямоугольной системе координат Х = у, г, является, таким образом, плоская волна с произвольной ориентацией вектора смещения и относительно этих координат [c.213]

Здесь первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Л., а второе - в отрицательном, ж - постоянные, /с=б5/с - волновое число. Величина A-eeX/k, называемая длиной волны, определяет расстояние между соседними, максимумами или минимумами в гармонической волне, лif плоская волна распространяется в произвольном направлении относительно осей декартовой системы координат, характеризуемом единичным вектором К, то, как нетрудно убедиться, уравнению (I.II) удовлетвортет общее решение [c.12]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Влияние газового потока па ламинарное течение пленки впервые было рассмотрено П. А. Семеновым [113] в начале 40-х годов. Полученные им зависимости хотя и не учитывают процессов волнообразования на поверхности пленки, однако позволяют наглядно понять сущность явления захлебывания, которое происходит в трубках с увеличением скорости газа и переходом от нисходящего к восходящему течению пленки. В более общем виде аналитическое решение уравнений движения для расслоенного ламинарного течения жидкости и газа между параллельными бесконечными пластинами и в круглой трубе с плоской поверхностью раздела фаз было получено в 1946 г. С. Г. Телетовым [123]. Несколько позже (1961 г.) Н. И. Семеновым и А. А. Точигиным 1112] была решена задача расслоенного ламинарного течения жидкости и газа с невозмущенной поверхностью раздела фаз в виде дуги любой кривизны. Расслоенное ламинарное течение при наличии переноса массы (конденсация, испарение) изучалось Г. Г. Черным [143] и Г. А. Бедой [5]. К данному направлению теоретических исследований следует отнести также работы В. А. Успенского [131], С. В. Рыжкова и А. Н. Майбороды [81, 110], а также Б. И. Конобеева [64, 65], который упростил решение П. А. Семенова, отбросив члены, учитывающие воздействие сил тяжести на движение пленки. Следует отметить, что подобный подход к рассматриваемой задаче является допустимым только при больших скоростях газового потока. Однако в этих условиях поверхность пленки покрыта волнами, а следовательно, необходимо рассматривать не ламинарное, а ламинарно-волновое течение. [c.184]

На практике исследователь всегда имеет дело с пучками, ограниченными в поперечном сечении, что, вообще говоря, требует решения уравнений в частных производных для описания распространения волновых пучков. Однако, если угловая селективность записываемых в среде решеток существенно меньше угловой расходимости взаимодействующих пучков, пучки в поперечном сечении могут быть разбиты на квазиплос-кие участки, распространение которых через среду описывается приближением плоских волн. В другом предельном случае, когда угловая селективность решеток существенно больше угловой расходимости пучков, может быть применена модовая теория голограмм [1], исходя из которой в случае спекл-неоднородных волн в работе [2] было показано, что для средней мощности таких волн в схеме четырехволнового смешения получаются уравнения, подобные уравнениям для плоских волн. В промежуточном случае получить аналитическое решение в общем виде не представляется возможным. Однако во всех случаях приближение взаимодействующих плоских волн позволяет достаточно правильно определить такие основные параметры генераторов на динамических решетках, как порог и достижимая мощность генерации, спектральный состав и тл. Поэтому в этой главе рассмотрим теорию четырехволнового смешения в приближении плоских волн с медленно меняющимися амплитудами. [c.63]

Вернемся к анализу отражения плоской волны от слоистого полупространства с волновым числом вида (3.95). Сначала будем считать, что показатель преломления убьтает при удалении от границы. Этот случай соответствует верхним знакам в (3.95) и (3.97). Общее решение уравнения (3.96) имеет вид Ф = Au(t) + Bv(t). Из требования ограниченности поля при z -> > и с учетом (3.107) получаем Л = 0. Тогда формула (3.5) дает коэффициент отражения [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...