Волновое уравнение и краевые условия

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — один из методов решения краевых задач матем. физики (для Гельмгольца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравнения и др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей к расчёту поля тех же и нек-рых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде. Последние помещаются вне области отыскания поля исходной задачи и наз. источниками-изображениями. Их величина и положение определяют ся формой граничных поверхностей и видом граничных условий. [c.114]

Волновая теория соударения стержней. Пусть стержень, имеющий закрепленный конец л = О, испытывает удар, наносимый твердым телом массы М по свободному концу. Исходным является уравнение (22). Оно должно быть решено при следующих начальных и краевых условиях [c.263]

Регулярный способ, позволяющий использовать решение статических задач для решения электродинамической задачи дифракции, состоит в том, чтобы вычислить из статики индуцированный ток, или — для диэлектрических тел — индуцированную поляризацию (1.11), а по нему дифрагированное поле во всем пространстве. Однако за исключением некоторых двумерных задач (см. п. 19.6), всегда можно применить какой-либо более простой прием. Для трехмерных задач таким приемом является сшивание полей на поверхности, лежащей в области (19.2). Для этого надо, вообще говоря, по (19.21), (19.10) найти тангенциальные компоненты Е и Я на сфере большого (р а) радиуса, а затем по ним вычислить вне этой сферы поле, удовлетворяющее волновым уравнениям и условиям излучения. Однако фактически и 5ту краевую задачу можно решить, не производя никаких вычислений, а просто сшивая на какой-либо сфере радиуса, лежащего в промежуточной области (19.2), поле статического диполя и поле элементарного диполя (3.2). [c.192]

Постановки краевых задач. Задачи для волнового уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе называются смешанными задачами (см., например, [83]). В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qi p с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и ж = / одного рода, а смешанной краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qu с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и х = I разных родов. [c.24]

Таким образом, задача дифракции сводится к краевой задаче для волнового уравнения (или пары волновых уравнений) и тем самым не отличается в принципе от любой другой краевой задачи. Вместе с тем, задачи дифракции являются, вообще говоря, довольно трудными, так как падающая волна и о, как правило, не связана с формой тела и граничное условие (34.2) часто оказывается сложным, даже если форма тела простая. [c.208]

Перемещение штампа и волновое поле в среде определяются путем согласованного решения уравнений движения штампа и краевой задачи о колебании среды, на поверхности которой (жд = ждо) должны выполняться условия [c.84]

Поступательные колебания штампа. В случае поступательных колебаний (99 = О, w = w°) движение штампа описывается уравнением (5.1.2). Перемещение штампа и волновое поле в среде определяются путем согласованного решения уравнений движения штампа и краевой задачи о колебании среды, на поверхности которой (жз = жзо) должны выполняться условия (5.1.2) и (5.1.4), (5.1.5). [c.85]

В книге представлены результаты исследований автора по управлению упругими колебаниями систем, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями различных родов. Подробно рассматриваются практические способы построения граничных управлений на основе решений, получаемых методом Даламбера и на основе метода Фурье. Определяются обобщенные решения класса Ь2 различных типов краевых задач. Для них с помощью априорных оценок доказаны теоремы существования и получен явный вид этих решений. [c.1]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

Задача гашения колебаний, описываемых волновым уравнением. Процесс описывается краевой задачей (1.1) (1.3), где 1[1) и р 1) являются управлениями. Решается задача о полном гашении колебаний за кратчайшее время Г > О, т. е. требуется обеспечить выполнение условий (1.4). [c.15]

Сведение краевой задачи II к краевым задачам для волнового уравнения. Краевая задача II также эквивалентна двум краевым задачам для дважды непрерывно дифференцируемых в Qz,t функций v x, t) и г(ж, t). Функции г (ж, t) и г(ж, t) из системы (6.1) удовлетворяют уравнениям (6.10) и (6.11) и начальным условиям (6.12) и (6.14). Второе краевое условие получим из первого уравнения системы (6.1) Vx x,t) = —Lit x,t) — Ri x,t), поэтому Vx(l,t) = 0. [c.154]

Оглавление дает достаточное представление о структуре- и содержании учебника. Для многих сплошных сред и тел с простыми и сложными физическими свойствами изучающий узнает полные замкнутые системы разрешающих уравнений, типичные граничные условия и условия на волновых фронтах, постановки краевых задач, простые методы их анализа на основе теории размерностей и подобия и получит доступ к свободной проработке и активному использованию любого из перечисленных выше разделов МСС но что, пожалуй, более важно — изучающий научится методам построения фундаментальных математических моделей механики сплошных сред, познакомится с методом построения полных систем уравнений МСС, особенно уравнений состояния среды, т. е. в определенной мере научится переводить на язык математики и ЭВМ интересующие естествознание и практику новые явления природы, процессы в новых материалах и средах с заранее неизвестными физико-механическими свойствами. Поэтому автор придает значение гл. III и V, в которых разъясняются особенности взаимодействия термомеханических и электромаг- [c.4]

Волновая оптика рассматривает, чем отличается истинное поведение электромагнитных полей от того, что предсказывает геометрическая оптика. Результаты геометрической оптики основываются на приближении, в котором волны распространяются вдоль определенных траекторий (лучей). В действительности же электромагнитные поля подчиняются волновым уравнениям Гельмгольца, дополненным соответствующими граничными условиями. Решения краевых задач в теории электромагнитного поля ограничены и непрерывны, в то время как в геометрической оптике поля сингулярны на каустиках и разрывны при пересечении границ тени, образуемых препятствиями, разрушающими пучки лучей. [c.249]

Из сравнения уравнений (П1.31), (П1.33), (П1.35) видно, что относительно небольшое изменение в характере деформирования исходных координат сильно влияет на представление волнового уравнения в переменных Р -. Поэтому необходимо задавать координаты так, чтобы введение их не приводило к существенному усложнению используемых уравнений гидродинамики и вместе с тем не затрудняло формулировку специальных краевых условий в жидкости. [c.69]

Применяя к волновому уравнению (2.69) и граничным условиям преобразование Лапласа (Д.38), приходим к краевой задаче с пара- [c.56]

Таким образом, с учетом нулевых начальных условий задача свелась к решению двух начально-краевых задач (2.75), (2.76) и (2.75), (2.78). Как отмечалось выше, для их решения целесообразно использовать интегральное преобразование по времени. Применив к волновым уравнениям (2.75) и граничным условиям (2.76), (2.78) преобразование Лапласа (Д.38) с учетом нулевых начальных условий получим уравнения Гельмгольца [c.59]

В работах [6, 44, 47, 48] исходная трехмерная краевая задача распространения сводится либо методом инвариантного погружения [6, 36], либо путем построения решения волнового уравнения в виде ряда по кратности обратного рассеяния [44, 47, 48] к решению уравнений, уже удовлетворяющих условиям динамической причинности. Такая формулировка задачи, с одной стороны, позволяет получить [48, 55] уточненные решения уравнений для низших статистических моментов поля прямой волны, свободные от ограничений френелевского (2.27) и малоуглового (2.48), [c.39]

Как показано в [38], решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.2.4) с краевыми условиями (1.2.5), (1.2.6) существует, если частота со и волновое число к удовлетворяют дисперсионному соотношению [c.25]

Уравнения и краевые условия. Условие применимости классическо11 теории в терминах волновых чисел имеет вид [c.215]

Выпигпем волновое уравнение, интеграл Когни-Лагранжа и краевое условие на теле, которые понадобятся для построения равномерно пригодного регнения в окрестности передних кромок тела [c.661]

ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ — один из возможных видов асимптотип. условп11 (граничных условий па бесконечности), к-рые выделяют единств, решения краевых задач для ур-ний, описывающих установившиеся колебания. 3. у. и. выделяют расходящиеся волны, источники к-рых находятся в огранич. области иространства. Впервые введены в 1912 А. Зоммерфельдом для Гельмгольца уравнения Au-f-f ti=/(r). В пространстве трёх измерений 3. у. и. для волнового поля и таковы при г—>-оо lim r du/dr—iku)=0. В двумерном пространстве при г- -йо Urn / dujdr—iku)=0. Всякое решение [c.87]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

Инвариантные преобразования (3.6), в отличие от других замен назависимых переменных, останавливающих движущиеся границы [3.2, 3.13, 3.33, 3.43, 3.50], позволяют сделать то же самое, не изменяя формы дифференциального уравнения (3.1). Если при этом краевые условия имеют вид (3.2), то в новых переменных иХ задача (3.1), (3.2) сведется к решению волнового уравнения (3.7) с граничными условиями импедансного типа (3.9). Решая ее и возвращаясь к переменным X и с помощью (3.8), найдем решение исходной задачи. [c.92]

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это принцип излучения на бесконечности Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е, затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В рптцке чаще всего встрв чаются именно неоднородные во.дны. [c.37]

Таким образом, совместное решение уравнения Прандтля (параболического при заданном распределении давления) и гиперболического волнового уравнения, связанных через краевое условие взаимодействия, приводит к появлению в уравнении импульса для пограничного слоя члена со второй производной по продольной переменной от искомой функции, стоящей под знаком интеграла по нормальной к поверх ности переменной. Это обстоятельство приводит к появлению однопараметрических семейств решений, соответствующих течениям сжатия и разрежения. Решения для течений сжатия проходят через точку отрыва. Задание положения точки отрыва позволяет выделить нужное решение. Поскольку положение точки отрыва зависит от частей течения, расположенных ниже по потоку, то это обстоятельство соответствует передаче возмущений вверх по течению. Течения разрежения рассматриваются далее в связи с задачами о течении разрежения около угловой точки контура тела ( 1.6 и работы [Пейланд В.Я., 1969,6 1971]). [c.17]

Исследова-нию задачи о действии на улругое тело мгновенного импульса посвящены работы многих авторов. Здесь прежде всего следует указать на работы 30-х годов В. И. Смирнова и С. Л. Соболева [101, 102, 108], определившие в Советском Союзе направление исследований по динамической теории упругости на многие годы. В этих работах на -основе функционально-инвариантных решений волнового уравнения дано полное решение плоской задачи Лэмба, задачи о действии внутреннего источника колебаний для полуплоскости и общей задачи Коши для по--луплоскости при произвольных краевых условиях, начальных данных и массовых силах. [c.315]

В основе построений этой главы лежит идея Д. Людвига искать волновое поле в виде наложения выражений, аналогичных каустическим решениям главы 2. На этом пути удается построить функцию I M,k) k — волновое число, k = (nl , с = onst), удовлетворяющую в полутени краевому условию Дирихле и уравнению Гельмгольца с произвольно малой невязкой (в смысле порядка по kr k- oo). В освещенной области I M,k) переходит в формулу лучевого метода. В зоне тени поведение I M,k) согласуется с формулами, предложенными в свое время Келлером на основе эвристических соображений. [c.18]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

Положение меняется при переходе к задаче определения вероятностных характеристик динамической системы со случайными воздействиями при заданных краевых условиях. Например, в задаче о вычислении вероятностных характеристик коэффициентов отражения или прохождения гармонической волны через слой со случайными в пространстве свойствами наличие переотраженных волн приводит к тому, что характеристики волны в некотором сечении зависят от состояния волнового поля перед этим сечением и после него. Как следствие этого, в уравнении волны (по пространственным переменным) [c.131]

Схема метода. Порождающее решение характеризуется волновыми числами ka и фазовыми характеристиками 5а- Подстановка порождающего решения в уравнение (3) гл. IX дает связь между параметром и волновыми числами kgf. Затем в уравнениях (0 заменяют ее выражением через Далее строят решение у каждого края. С использованием условия квазиразделяемости находят уравнение для одним из решений которого является (д )[см. (5) и (6)). Кроме того, для возможности построения решения необходимо, чтобы полученная система допускала р — I (2р — порядок системы) линейно независимых решений, обладающих свойством краевого эффекта, т. е. затухающих при удалении во внутреннюю область. [c.181]

Таким образом, амплитуды возмущений ф(л ) и 0(л ) определяются из системы обыкновенных линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача (43.11) — (43.13) является характеристической нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях параметра X. Декременты находятся как собственные числа краевой задачи соответствующие собственные функции ф и 0 определяют структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные значения X зависят от параметров — чисел Грасхофа О и Прандтля Р, а также от волнового числа к. Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и поэтому ее собственные числа X, вообще говоря, комплексны X = Хг + 1Х . Вещественная часть Хг определяет скорость затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть Х дает частоту колебаний при О возмущения распространяются в потоке в виде плоских волн с фазовой скоростью с = Х к. [c.304]

Описанный цикл работ показывает, что возникновение уединенной волны не является уже столь исключительным свойством волн на поверхности тяжелой однородной жидкости решения типа уединенных волн допускают краевые задачи теории гравитационных волн в условиях потенциальности течения, такие же решения существуют и в теории вихревых волн, наконец, волновые движения неоднородной жидкости также содержат счетное множество однопараметрических семейств решений типа уединенной волны. Все это позволяет думать, что решения типа уединенной волны характерны для широкого класса краевых задач теории эллиптических уравнений, значительно более широкого, чем краевые задачи теории волн. А. М. Тер-Крикоров и В. А, Треногин (1963) своими исследованиями подтвердили эту гипотезу. Им удалось описать широкий [c.59]

Частью анертуры любого излучателя поверхностных (медленных) волн можем считать части синфазных излучателей Е и //-волн. Поэтому проанализируем краевую задачу для Е и //-волн и получим характеристическое уравнение для волновых векторов (собственные числа) для условия распространения и недиссипативного нормального к поверхности затухания. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...