Ряд по синусам

Для решения основного дифференциального уравнения плоской задачи можно применить метод разделения переменных, представив функцию напряжений ф в виде произведения двух функций /(у) и ф(з ), каждая из которых зависит только от одного аргумента. Если при этом функцию 11з(д ) представить в виде ряда по синусам или косинусам, то бигармоническое уравнение можно преобразовать в обычное линейное однородное дифференциальное уравнение, решение которого хорошо известно. [c.84]

Так, если в выражениях (4.37), (4.38) ограничиться п членами разложения, то и функцию ф также представим в виде разложения в ряд по синусам с п членами. Тогда [c.86]

Представим функцию напряжений ф также в виде двойного ряда по синусам [c.260]

Уравнения движения (10) не будут, как прежде, линейными без правых частей, а будут теперь иметь в качестве правых частей периодические функции R.,. Эти функции могут быть разложены в ряд по синусам и косинусам [c.304]

Тогда при /= 6, ф=0. Подставляя (20.8) в (20.1) с учетом (20.4) и используя известное разложение у в ряд по синусам, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение [c.95]

Решение уравнения (8.15) будем искать в виде двойного тригонометрического ряда по синусам [c.129]

Таким образом, рещение, соответствующее одному члену разложения функции ф в ряд по синусам, имеет вид [c.369]

Произвольные постоянные интегрирования, входящие в (17.38) и (17.39), находятся из граничных условий на верхней и нижней гранях пластины. Для этого необходимо внешнюю нагрузку q[x) также разложить в тригонометрические ряды по синусам или по косинусам [c.369]

Функцию напряжений возьмем в виде ряда по синусам [c.370]

Этим выражениям для напряжений соответствует и-ный член разложения (17.40) нагрузки в ряд по синусам [c.371]

Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) в общем случае невозможно, будем искать его в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба w(x,y) в двойной тригонометрический ряд по синусам [c.436]

Сходимость этого ряда зависит от характера внешней нагрузки q[x, у). Использовав выражение для прогиба (20.40), можно с помощью полученных выше формул определить внутренние усилия и напряжения в пластине. Выражения для них также будут иметь вид бесконечных тригонометрических рядов по синусам или косинусам, сходимость которых всегда хуже, чем сходимость ряда для прогибов, так как при дифференцировании сходимость рядов Фурье ухудшается. Рассмотрим некоторые частные случаи нагружения пластины. [c.437]

Для других внутренних усилий можно также получить выражения в виде тригонометрических рядов по синусам или косинусам. Отметим, что сходимость рядов для внутренних усилий хуже, чем сходимость ряда (20.47) для прогиба пластины. Например, для значения максимального изгибающего момента Мд. в центре квадратной пластины со стороной а и v = 0,3 при четырех членах ряда (20.48) получим [c.440]

Представление искомой функции прогиба в ряд по синусам в нанрав-лении, перпендикулярном к шарнирно опертым краям пластины, [c.443]

Коэффициенты ее разложения в ряд по синусам равны [c.351]

Ряды по синусам и косинусам [c.57]

Функции gi (t, ф) и g2 (t, ф) можно разложить в бесконечные ряды по синусам и косинусам [c.167]

Подставляя выражения (2.211) и (2.22) в уравнение (2.23) и приравнивая коэффициенты при соответствующих членах рядов по синусам в правой и левой, частях уравнений, ползучим [c.78]

Эту функцию можно разложить в ряд по синусам [c.158]

Здесь мы используем интеграл Фурье (3.8), приведенный в гл. II, вместо ряда по синусам, который был использован выще. Отметим, что при любом функция [c.166]

Как и в предыдущем параграфе, запишем f х) в виде ряда по синусам [c.168]

Далее, если / (у, г) можно представить в виде ряда по синусам (3.10), то решение задачи будет иметь вид [c.183]

Пусть / (х, у, г ) можно разложить в тройной ряд по синусам (с.м. (3.12) данной главы) [c.186]

С помощью надлежащего выбора постоянных /г, Ь , bj получаем 5ешение для случая, когда нормальные давления, действующие на цилиндр, представляются рядом по синусам, а касательные усилия — рядом по косинусам. Таким образом, комбинируя решения (л) и (р), мы можем получить любое осесимметричное распределение нормальных и касательных усилии по поверхности цилиндра. В то же время могут также действовать усилия, распределенные по концам цилиидра. Накладывая простое растяжение или сжатие, мы всегда можем сделать результирующие этих усилий равными нулю, и тогда в соответствии с принципом Сен-Венана их влиянием на распределение напряжений [c.425]

Изгиб срединной поверхпостп оболочки описывается уравнением (9.67). Для решения задачи применим способ Навье, т. е. разложим искомое решеппе в двойной тригонометрический ряд по синусам, а внешнюю произвольную нагрузку д(х, у) также разложим в двойной ряд по синусам. При этом будем иметь [c.259]

При действии на балку более сложных нагрузок, в том числе прерывистых (рис. 17.16), функцию напряжений можно представить в виде тригойометрических рядов по синусам или косинусам [c.368]

Усилия, моменты, компоненты деформации и углы поворота с помощью соотношений 23.1 можно также без труда выразить через ряды вида (23.4.3). Формулы для коэффициентов этих рядов громоздки, и их приводить не будем. Заметим только, что величины Ut, S21, 5i2, H i, Нц и Ni будут при этом разложены в ряды по косинусам, а величины и , w, ТТ , Gi, G , — в ряды по синусам. Отсюда, между прочим, вытекает, что ряды для первой группы величин оказываются неполными — в них отсутствуют слагаемые, отвечающие m = 0. Это связано с тем, что для потенциальной функции Ф использовано разложение (23.4.1), в котором соответствующий член отсутствует. В дальнейшем считается, что пропорционально т, поэтому было бы бессмысленно начинать ряд для Ф с нулевого члена, но к разыскиваемому решению надо присоединить еще одно, в котором и , S i, S , Н , Я12, Ni являются функциями одного 9, а остальные перемещения, усилия и мом ты равны нулю. При помощи уравнений (23.1.7), положив в них X = Y = Z = = О, мы без труда найдем такое напряженное состояние. О)ответствующие перемещения будут [c.343]

Соответствующие значения коэффициентов тп МОЖНО НйИТИ е помощью процедуры гармонического анализа. Это определяется тем обстоятельством, что члены такого ряда по синусам ( i также некоторых других рядов, таких, как аналогичные ряды по косинусам, ряды с комбинацией синусов и косинусов или ряды Фурье и т. д.) ортогональны или нормальны друг др5ггу на интервале от х = 0 до х = 1. Это означает, что интеграл по этому интервалу от произведения двух различных членов ряда равен вулю. С другой стороны, квадрат любого члена равен в этом случае среднему значению ординаты, равному точно 1/2, так что интеграл от О до i равен 1/2. [c.72]

В качестве примера рассмотрим случай защемленной по обоим концам балки с симметричной относительно середины ее пролета нагрузкой, взяв за координаты концов балки х = а (рис. 2.13). В этом случае прогиб будет HMMeTpn4HjiiM и может быть описан симметричными формами колебаний при защемленных концах, которые удовлетворяют концевым условиям. Используя ряд, построенный по указанным формам таким же образом как в 2.4 был испЬльзован ряд по синусам, для прогиба ы (ж> и нагрузки р(.х) получим [c.95]

Для малых перемещений, которые и будут рассматриваться ниже конца этой главы, потребуется рассматривать только энергию изгибпых деформаций /, определяемую выражением (4.70). Как уже говорилось в 2.8, энергетический метод дает точное решение, если используются точные выражения для перемещений.. V Свободно опертая пластина при поперечных нагрузках. Задавая, как показано на рис. 4.13, уравнения сторон пластины в виде х-= О, X = а, у = 0, у = Ъ, получим, что граничные условия будут удовлетворяться, если взять выражение для прогиба W в виде двойного ряда по синусам [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...