Уравнение волновое Гельмгольца

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — один из методов решения краевых задач матем. физики (для Гельмгольца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравнения и др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей к расчёту поля тех же и нек-рых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде. Последние помещаются вне области отыскания поля исходной задачи и наз. источниками-изображениями. Их величина и положение определяют ся формой граничных поверхностей и видом граничных условий. [c.114]

Уравнение Гельмгольца для волн де Бройля. Уравнение Гельмгольца (5.3) описывает волны разнообразной природы в однородных средах и вакууме с постоянной частотой. Постоянство длины волны не предполагается. Поэтому представляется разумным применить это уравнение для описания воли де Бройля, характеризующих волновые свойства корпускул. [c.65]

В качестве другого примера рассмотрим задачу о распространении плоской волны в неодномерной случайно-неоднородной среде. В отличие от аналогичной задачи для одномерной среды в рассматриваемом случае фазовый фронт волны нельзя считать плоским, поскольку он будет претерпевать искажения, обусловленные наличием пространственных неоднородностей. Поэтому и здесь при определении среднего волнового поля следует исходить из уравнения Гельмгольца, записанною в общем виде. [c.243]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

Иными словами, будем искать цилиндрически-симметричные решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца (2.1.2). [c.33]

Другой метод решения задачи пассивного резонатора основан на решении волнового уравнения Гельмгольца, которое при заданных граничных условиях имеет вид [c.88]

Таким образом, для рассмотренных моделей упругих тел уравнения движения преобразованы к волновым уравнениям. В случае установившихся движений решение задач сводится к решению уравнений Гельмгольца. В последующих главах на основе приведенных соотношений получены решения конкретных задач. [c.27]

В сферических координатах (г, 0, ф) (рис. 2.3) скалярное волновое уравнение Гельмгольца представляется в форме [c.36]

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой (О движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнений Гельмгольца [78 [c.75]

Отраженные трещиной волны описываются волновыми потенциалами, удовлетворяющими уравнениям Гельмгольца [c.141]

В качестве первого примера возьмем волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) [c.119]

После подстановки этой функции в волновое уравнение приходим к уравнению Гельмгольца относительно функций z) [c.320]

Для гармонических колебаний Ф = а (л , у, г) е из волнового уравнения следует, что функция о))(л , у, г) должна удовлетворять уравнению Гельмгольца [c.327]

Это уравнение дает решение волновой задачи для гармонических колебаний и называется уравнением Гельмгольца. Как мы увидим далее, постоянные с к к имеют вполне определенный физический смысл. [c.17]

Использ) я волновую теорию света, Гамильтон получил возможность написать уравнения динамики в форме, зависящей лишь от одной функции Я. Дальнейшим развитием теории распространения света занимались Коши, Кирхгоф, Максвелл, Гельмгольц и другие физики. Коши поставил задачу о дальнейшем развитии оптико-механической аналогии. В рамках аналитической механики этой задачей занимался немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925). Развитие аналогии следует искать в области колебательных движений, поскольку свет представляет собой некоторый колебательный процесс. Аналогией между математической теорией света Коши и устойчивыми движениями голономной консервативной системы занимался Н. Г. Четаев (1902—1959), но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки нашего курса. [c.517]

Неустойчивость по Гельмгольцу. Неустойчивость свободных линий тока (гл. II—XI) может быть выведена сразу из уравнений (11.28), (11.28 ). В этом легче всего убедиться, положив р = р (или а = g) и 7 = 0. Для всякого постоянного волнового числа k в случае р <р, соответствующем поверхности раздела газа и жидкости, скорость роста возмущения будет про [c.326]

Обозначим выбранную точку Ро, а окружающую ее произвольную замкнутую поверхность 5 (рис. 5.1.2). Световое поле на поверхности 5 задано волной вида Е х, у, г, t) =е 1 з(х, у, г). Определим действие, производимое этой волной в точке Ро, находящейся внутри объема, ограниченного поверхностью 5. Не будем вначале задавать вид функции г(), чтобы не ограничивать решение задачи определенным видом волнового фронта. При подстановке Е в волновое уравнение, получим, что функция г[5 должна удовлетворять уравнению Гельмгольца -Ь [c.333]

Теперь убедимся в том, что нестационарное поле скорости V, подчиненное уравнениям (11.56) и (11.62), является потенциальным полем, также удовлетворяющим волновому уравнению. С этой целью воспользуемся теоремой Гельмгольца, согласно которой векторное поле, в частности поле скорости, может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поэтому доложим [c.506]

Для градиентного волоконного световода с поперечно-неоднородным показателем преломления п(х) волновые фронты направляемых мод являются плоскими [1 В этом случае оператор Р связывает решение F (х, z) уравнения Гельмгольца [c.398]

Наиболее мощный метод решения волнового уравнения Гельмгольца состоит в отыскании подходящей системы ортогональных координат [c.103]

Волновая оптика рассматривает, чем отличается истинное поведение электромагнитных полей от того, что предсказывает геометрическая оптика. Результаты геометрической оптики основываются на приближении, в котором волны распространяются вдоль определенных траекторий (лучей). В действительности же электромагнитные поля подчиняются волновым уравнениям Гельмгольца, дополненным соответствующими граничными условиями. Решения краевых задач в теории электромагнитного поля ограничены и непрерывны, в то время как в геометрической оптике поля сингулярны на каустиках и разрывны при пересечении границ тени, образуемых препятствиями, разрушающими пучки лучей. [c.249]

В качестве первого шага рассмотрим некоторую скалярную функцию /(г ), которая представляет собой решение волнового уравнения Гельмгольца в определенной области [c.454]

В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь идёт о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позволяет работать с одним только векторным потенциалом. Мы проводим разделение переменных и получаем уравнение Гельмгольца для пространственной части и(г) векторного потенциала A(r,t). Поведение электрического и магнитного полей на стенках резонатора определяет граничные условия для и(г). [c.291]

Решения уравнения Гельмгольца. Рассмотрим резонатор в форме прямоугольного ящика с размерами Ьх, Ьу и Lz, показанный на рис. 10.1. Представим волновой вектор [c.297]

Нелинейные В. у. При перечислении нелпнейпых обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у, В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой ф-ции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В, у. относят любые ур-ния,- вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб, известны нелинейное ур-ние Клейна—Гордона =m +F ij3), обобщающее линейное Клейна—Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца [c.313]

ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ — один из возможных видов асимптотип. условп11 (граничных условий па бесконечности), к-рые выделяют единств, решения краевых задач для ур-ний, описывающих установившиеся колебания. 3. у. и. выделяют расходящиеся волны, источники к-рых находятся в огранич. области иространства. Впервые введены в 1912 А. Зоммерфельдом для Гельмгольца уравнения Au-f-f ti=/(r). В пространстве трёх измерений 3. у. и. для волнового поля и таковы при г—>-оо lim r du/dr—iku)=0. В двумерном пространстве при г- -йо Urn / dujdr—iku)=0. Всякое решение [c.87]

Рассмотрим наиболее простой случай возбуждения волн в полупространстве при действии поверхностных нагрузок. Он характерен тем, что происходит генерация только сдвиговых горизонтально поляризованных SH-волн. При их распространении смещения частиц среды параллельны граничной поверхности. Такая задача описывается одним скалярным уравнением Гельмгольца и во многих аспектах подобна задаче для акустической среды. Относительная простота характера движения здесь обусловлена специальным выбором типа внешнего нагружения. Нагрузка схематически изображена на рис. 29 и состоит из единственного компонента вектора усилий qg= Gf (х) exp (—i at). Иные типы нагрузки q x) ядх (х), которые также приводят к двумерным задачам, возбуждают значительно более сложные волновые поля. [c.81]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

ПОЛЯ излучения СОд-лазера t/д (г) в дальней волновой зоне известно и задано равномерным и плоским зеркала резонатора плоские с круглой апертурой, зеркало 2 (рис. 2.30) имеет постоянный по апертуре коэффициент отражения (Т 2 = onst), а на зеркале 1 коэффициент отражения задается неизвестной функцией ( 1 ( ))> которую нужно определить. Так как резонатор считается заполненным однородной средой, то с точки зрения формирования поля в нем, он эквивалентен пустому резонатору. Согласно этому поле в резонаторе нашего СОз-лазера при заданных граничных условиях удовлетворяет уравнению Гельмгольца, записанному в следуюп ем виде [c.106]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

В данной работе развит метод построения потенциала скоростей сжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом сосуде, содержащем несколько взаимодействующих сферических включений. Строится решение уравнения Гельмгольца для соответствующей пространственной многосвязной области. При этом решение, записанное в цилиндрических координатах, удается переразложить по системе сферических волновых функций (и наоборот), что позволяет удовлетворить соответствующим граничным условиям на сферических и цилиндрических поверхностях и в итоге получить бесконечную систему алгебраических уранений относительно коэффициентов искомых представлений. В качестве конкретной задачи [c.489]

Смотреть страницы где упоминается термин Уравнение волновое Гельмгольца : [c.239] [c.35] [c.424] [c.265] [c.369] [c.528] [c.32] [c.86] [c.80] [c.43] [c.698] [c.116] [c.233] [c.329] [c.304] [c.399] [c.402] [c.644] [c.19] [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...