Волновое уравнение и его решение

VI.2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ [c.162]

Выше мы рассмотрели приближенный вид ожидаемого решения уравнения Шредингера в случае, когда волновой вектор отвечает границе зоны Бриллюэна, например такой, как /г = п/а. Теперь рассмотрим детально волновое уравнение и его решение при произвольных значениях к. [c.313]

Волновое уравнение и его решения для плоских волн [c.23]

Волновое уравнение и его общее решение [c.153]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Уравнение Шредингера и его решение дают информацию не только об энергетических состояниях электронов, но и о волновых функциях, которые вблизи границы зоны Бриллюэна имеют вид (4.41), где к близко к g/2. [c.76]

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное . Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s. Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями [c.84]

Вернемся к изучению волнового уравнения (1.1) и его решения <Р, связанного с решением Ч приведенного уравнения (1.2) формулой [c.385]

Итак, нам надо решать уравнение (4.5) и найти его решение, удовлетворяющее условию (4.7). Поскольку на потенциал U (х) никакие специальные условия не накладываются, то решение уравнения (4.6) должно при i7( )- -0 перейти в решение для свободных электронов. Поэтому разумно конструировать искомую волновую функцию ф(х) в виде суперпозиции плоских волн типа Подстановкой какой-нибудь из них в (4.7) легко убедиться в том, что для выполнения граничных условий должно выполняться как минимум условие [c.57]

На поверхности X конуса Маха сопрягаются два решения волнового уравнения, соответствующие состоянию покоя, ф= о, и состоянию возмущенного движения, ф = ср (т , у, 2, t). Подобные поверхности сопряжения решений с различными аналитическими свойствами называются характеристическими поверхностями уравнений с частными производными. Характеристическая поверхность — конус Маха является в общем случае поверхностью разрыва возмущений в рамках рассматриваемой теории эта поверхность будет поверхностью, на которой разрывы скорости, давления и других величин невелики. В пределе такие поверхности соответствуют слабым разрывам, на которых искомые функции непрерывны, но их производные по координатам вообще терпят разрыв. Очевидно, что скорость распространения поверхности характеристического конуса по неподвижной среде, нормальная к его поверхности, точно равна скорости звука. [c.220]

Определенный интерес представляют некоторые предельные случаи волнового уравнения. В частности, при j,( = fXm, Pf = Pm, т. e. для случая однородной изотропной среды, частотное уравнение упрощается и решениями его являются известные частоты продольных и поперечных волн в неограниченной изотропной среде. При стремлении к нулю, т. е. для волн бесконечной длины, левая часть частотного уравнения распадается на два [c.367]

В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23]

Рассматривая волновые процессы в волноводе, аналогично тому, как это делалось в предыдущих главах для полупространства, можно выделить задачи двух типов. В задачах первого типа мы не интересуемся источником волнового движения и ищем лишь возможные состояния волновода, согласованные с определенными условиями на его поверхности. По сути, речь здесь идет о поиске некоторых резонансных ситуаций — таких частных решений уравнений движения для гармонических процессов, которые обеспечивают нулевые граничные условия относительно некоторого числа статических и кинематических факторов. Эти частные решения называются нормальными модами или нормальными волнами в волноводе. [c.110]

Физический и геометрический смысл соотношений (4.29) и (4.30) состоит в следующем. Наличие нетривиального решения системы (4.30) означает существование на пространственно-временной плоскости периодической ломаной, составленной из отрезков характеристик волнового уравнения (4.14). Неравенство (4.29) выделяет из всех возможных периодических ломаных лишь те, к которым будут сжиматься все остальные характеристики. Его физический смысл заключается в том, что в режимах параметрической неустойчивости энергия, поступающая в систему за счет совершения работы движущимися границами, должна превышать потери в ней. [c.149]

Если тело находится в условиях плоской деформации, т. е. вектор перемещения его точек параллелен плоскости (хь Хг) и не зависит от Xz, то в случае установившихся движений решение задачи находится из решения уравнений (1.12). Следовательно, для этой задачи имеем два волновых уравнения. На краях полостей необходимо задавать два граничных условия. Поступая далее так же, как и в 2 третьей главы, после удовлетворения граничным условиям приходим к бесконечной системе [c.149]

Уравнение (IV.3.7) аналогично волновому уравнению струны. Поэтому методы его решения могут быть применимы к данному случаю, а если окажется, что и граничные условия аналогичны граничным условиям задачи о колебаниях струны, то решение соответствующей задачи о колебаниях струны может быть полностью использовано как решение задачи о колебаниях стержня. [c.112]

При выводе волнового уравнения акустики делаются многочисленные допущения, ограничивающие пределы его применения. При более точном подходе к решению задачи следует иметь в виду, что акустические процессы происходят в вязких средах, а амплитуды волн далеко не всегда могут считаться малыми. Однако опыт показывает, что волновое уравнение достаточно точно описывает обширную область звуковых явлений в газах и жидкостях, причем отклонения от законов распространения волн, вытекающих из волнового уравнения, в громадном большинстве случаев являются лишь малыми поправками. Волновое уравнение является одним из основных уравнений классической физики. В той же самой форме, что и в акустике, оно используется также в оптике и в электродинамике. [c.5]

Свойство решений, выражаемое формулой (24), известно как принцип суперпозиции и математически описывает явление интерференции волн малой амплитуды (пример стоячая волна на струне музыкального инструмента, которая представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся к Закрепленному концу струны, и волн, отраженных от этого конца). О волновом уравнении, допускающем принцип суперпозиций (уравнение (23)), говорят как о линейном, а его решение (решение (24)) называют линейной волной. Подчеркнем, что скорость линейной волны не зависит от ее амплитуды. (Обязательно найдите время вспомнить линейные колебания, вернувшись к главе 2.) [c.164]

В предыдущем параграфе, как и в гл. VII, мы, по существу, рассматривали влияние границ на распространение объемных волн в толще среды. Выясним теперь характер возмущений и распространения этих возмущении в непосредственной близости от свободной границы изотропного твердого тела. Ведь заранее ясно, что поскольку при любых деформациях напряжение на свободной границе равно нулю, а при удалении от границы оно возрастает до некоторой величины, определяемой законом Гука (X 34), то эффективная жесткость пограничного слоя будет отличаться от таковой в объеме упругой среды, и, следовательно, будут отличаться характер упругих возмущений в этом слое и скорость распространения возмущений вблизи свободной границы. Количественную картину распространения таких поверхностных возмущений можно, очевидно, получить, исходя из общего волнового уравнения, справедливого во всем объеме упругой среды, найдя его решение для точек, прилегающих к се свободной границе. [c.229]

В формуле (8.4.40) мы имеем неоднородное волновое уравнение для с членом — 2/г п,и в качестве источника. Его решение можно легко найти как свертку функции Грина для свободного пространства (импульсный отклик) ехр(/йо г )/ г с [c.372]

Итак, можно записать формулу Кирхгофа. Поскольку возмущение, вызванное в точке Р каким-либо волновым полем и, представляет собой решение волнового уравнения, его определяют путем интегрирования по любой замкнутой поверхности, содержащей точку Р, и тогда [c.21]

Уравнение (3.78) — волновое уравнение для сферических волн, и решением его, как и для уравнения (2.20) предыдущей главы, является [c.77]

Если задана только длина тела, а < Роо, то решение задачи о построении образующей if реализующей минимум (7 , тривиально. В приближении локальных моделей (1.1)-(1.8) и в рамках полной системы уравнений Эйлера его дает отрезок О < ж < 1 оси ж, т.е. тело минимального волнового сопротивления - пластина, и (7 =0. [c.497]

Волновое уравнение хорошо изучено и ему посвящена большая литература (см., например, [9,26]). Поэтому мы приведем две формы его решения в очень кратком изложении. [c.207]

Рассмотрим теперь свойства нашей диффракционной системы при малых д. Следует отметить, что коэффициенты Ао и Во приближенно (Вычислены Ламбом [40]. Метод Ламба мож1но йа-звать 1квазистатическим — оя основан на юрашении статического решения с решением волнового уравнения и пригоден лишь при д<1. Хотя в 1[40] этот метод применен к звуковым волнам, перенесение его на электромагнитные волны не представляет никаких затруднений. В наших обозначениях формулы Ламба имеют вид [c.293]

Величина Со, фигурирующая в волновом уравнении (П.37) и его решении (П.41) или (11.42), представляет собой скорость распространения волн упругой деформации, в данном случае волн сжатия (разрежения). Процесс распространения таких волн и составляет собственно понятие звук (или ультразвук), поэтому с,, есгь скорость звука ультразвука). Ее величина определяется по формуле (П.34) Со = V(Я /ро). являющейся точной только для бесконечно малых возмущений (звуковых волн бесконечно малой амплитуды). Учет нелинейности упругости для реальных волн конечной амплитуды приводит к поправке на величину скорости, однако, как мы увидим ниже, эта поправка невелика, так что скорость звука практически сохраняет постоянное значение в довольно бол1>шом диапазоне амплитуд, что подтверждается и прямыми экспериментами [9, 10]. [c.39]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Остановимся еще на одной особенности ковалентной связи. Выше при решении уравнения Шредингера для молекулы водорода мы конструировали волновые функции с помощью линейной комбинации атомных орбиталей, выбирая за стартовые атомные орбитали изолированных атомов. Однако такой прямолинейный подход не всегда оказывается успешным и, например, для молекул и кристаллов, содержащих атомы углерода (а также кремния, германия и т. д.), он не привел к успеху. Так, изолированный атом С имеет электронную конфигурацию (ls) (2s) 2px2py. Естественно было ожидать, что углерод окажется двухвалентным с двумя перпендикулярными связями. Однако четырехвалентность углерода хорошо известна и, вообще говоря, она могла быть объяснена возбуждением при образовании молекул одного из 2з-элект-ронов и его переходом в 2рг состояние. В этом случае можно было ожидать появления трех более сильных и одной более слабой связей. Однако экспериментально было надежно доказано, что у углерода наблюдаются 4 равноправные связи с углами 109°28. Этот результат удалось полностью объяснить тем, что при вхождении атомов углерода в соединение (причем с самыми разными атомами углеродом при образовании алмаза, водородом или хлором при образовании СН4 или U и т. д.) происходит перестройка их электронной структуры так, что одна 25 и три 2р орбитали углерода гибридизуются, происходит sp гибридизация и [c.111]

Это — волновое уравнение, описывающее поперечные колебания струны. Мы его получили для струны конечной длины Z, но оно справедливо и для бесконечной или нолубесконечной струны. Уравнение получило название волнового благодаря тому, что ему удовлетворяет решение j х — с<), где / (а ) — произвольная функция класса С . Таким образом, решение [c.53]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

В этом разделе мы рассмотрим обратную связь для излучения в пассивном оптическом резонаторе. Такой резонатор обычно является открытым, т. е. в соответствии с рис. 2.1 у него нет боковых стенок, а имеются только два расположенных друг против друга зеркала. Приближенно, однако, открытый резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, можно заменить при расмотрении закрытым, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда с идеально отражающими стенками. Будем считать ось г направленной по его длине (полная длина равна L), а оси X и у направим по сторонам квадратного поперечного сечения (длина стороны 2а). Волновые поля в таком резонаторе вблизи его оси лишь мало отличаются от соответствующих полей открытого реального лазерного резонатора. Как известно, для идеального полого резонатора решение волнового уравнения с учетом граничных условий имеет вид стоячих волн. На- [c.55]

Квадрат отношения wajw описывает убывание интенсивности пучка вдоль оси z вследствие его расширения ф (г) есть разность фаз на оси z между лазерным пучком и плоской волной той же частоты. Мы описали распространение основной моды, имеющей особое значение в лазерной физике. Аналогичным образом можно исследовать все другие распространяющиеся моды, образующие ортогональную систему решений волнового уравнения (2.55а). Эти моды могут быть охарактеризованы такими же параметрами w z), R z) и P z), вследствие чего на пространственное распределение основной моды, естественно, накладывается более сложная поперечная структура. [c.69]

При использовании функций для случая Гунда (б) квантовые числа 1, k W т, получаемые при решении вращательного волнового уравнения, описывают соответственно полный угловой момент молекулы, исключая электронный спин, и его проекции на молекулярно-фиксированную ось 2 и на пространственно-фиксированную ось Для несннглетных состояний в случае (б) вместо / и m используются квантовые числа N и т , поскольку J при- [c.274]

При использовании электронных спиновых функций для случая Гунда (а) квантовые числа J, р и nij, получающиеся при решении вращателыюго волнового уравнения, описывают соответственно полный угловой момент молекулы, включающий электронный спин, его проекцию на молекулярно-фиксированную ось [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...