Решение волнового уравнения для сферической волны

Общий вид решения волнового уравнения для сферической волны Р = (Рг/г) [Ф1 Ц — г с) -f Ф2 ( + г 1с)], [c.13]

Общий вид решения волнового уравнения для сферической волны примет вид [c.39]

Уравнение (3.78) — волновое уравнение для сферических волн, и решением его, как и для уравнения (2.20) предыдущей главы, является [c.77]

Приведем основанные на этих соображениях выкладки. Решение волнового уравнения для шаровой волны представляется в форме ряда по сферическим функциям. [c.382]

Определим общее решение волнового уравнения, описывающее сферическую волну. Будем писать волновое уравнение, например, для потенциала скорости [c.327]

Моды колебаний большинства твердых тел являются результатом образования в них системы стоячих волн. Эти моды выводятся из волнового уравнения для исследуемой колебательной системы, и каждая из них связана с целой серией обертонов, которые получаются в результате решения той же системы уравнений. Важными исключениями.из этого правила, помимо идеализированной системы с сосредоточенной массой и упругостью, являются тонкое кольцо и тонкая сферическая оболочка, колебания которых описываются соответственно аксиально симметричной и сферически симметричной модами. Эти две простейшие моды являются единственными решениями уравнений, которые по своему виду ближе к уравнению движения, чем к волновому уравнению. Прп выводе этих уравнений приближенно предполагается, что толщина стенок мала и поэтому напряжения и деформации постоянны на всем протяжении колеблющегося тела, причем для каждой его части справедлива одна и та же величина коэффициента связи. Следовательно, коэффициенты связи и кр, характеризующие свойства материала, могут быть определены с помощью этих двух колебательных систем в результате прямого эксперимента без поправок на геометрию образца. Поэтому эти случаи представляют особый интерес при рассмотрении принципов построения преобразователей и их эквивалентных схем. [c.266]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Рассмотрим сферические волны, идущие от источника / до поверхности о и от поверхности о до рассматриваемой точки Р. Для решения этой задачи используем волновое уравнение Д Алам-бера в сферических координатах. Это волновое уравнение, как известно, в общем случае имеет следующий вид [c.266]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

Уравнение (13.11) не является искомым точным уравнением, так как только решения типа 5-волны с малыми к совпадают с истинными решениями физической проблемы. Чтобы получить уравнение для расширенной волновой функции, которая бы в точности совпадала с ф /") при г а, необходимо обобщить уравнение (13.11) на произвольные значения к и решения, не обладающие сферической симметрией. Это обобщение проводится в приложении Б. Здесь нам достаточно указать, что в результате уравнение (13.11) видоизменяется следующим образом. [c.303]

В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар указал, что общий характер решения различен для четного и нечетного числа пространственных измерений. Точные утверждения будут приведены ниже, но можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным числом измерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай сферической симметрии был рассмотрен первым, и цилиндрическое волновое решение будет выведено из сферического волнового решения. Здесь мы получим решение только для уходящих волн. [c.214]

Геометрические эффекты в простейшей форме возникают при рассмотрении сферических волн. Если линеаризованная теория описывается волновым уравнением, то решение для расходящейся сферической волны имеет вид ) [c.302]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Сферические волны общего типа. —Чтобы изучить несколько более сложные волны, излучаемые сферой, следует рассмотреть решения волнового уравнения, которые зависят не только от О, но также и от г и i. Мы ограничимся изучением волн, которые зависят только от угловой координаты О, т. е. симметричны относительно полярной оси (этого рсда волны называются зональными) и не зависят от 9. Анализ движения волн, которые зависят также и от долготы (азимута) 9, более сложен для изучаемых в этой книге задач рассмотрения таких волн не требуется. Волновое уравнение, которое требуется решить, в случае зональных волн следующее [c.345]

Вплоть до публикации Максвеллом в 1873 г. Трактата об электричестве и магнетизме успешное применение идей Френеля для решения большого числа задач рассеяния и дифракции основывалось на физической модели распространения через упругую среду. В частности, в 1861 г. Клебш описал дифракцию плоской волны на сферическом препятствии. Удивительно, что большинство из этих решений было подтверждено электромагнитной теорией уже в рамках уравнений Максвелла. Типичным примером являются решения Клебша для сферы. Такой успех обусловлен тем, что и электромагнитные, и упругие поля могут быть в принципе описаны скалярными функциями, удовлетворяющими скалярному волновому уравнению. Таким образом, это [c.247]

В 8 - 10 приближенные методы используются для расчета коэффициента отражения плоской волны. Результаты, помимо самостоятельного интереса, имеют большое значение также и для решения задачи о поле точечного излучателя в слоистой среде, поскольку сферическая волна может быть разложена на плоские. К краевой задаче для ошомерного волнового уравнения сводится и расчет звукового поля в волноводе методом нормальных волн [52. гл. 7). [c.162]

Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению при г Фга, принципу, предельного поглошения и условию в источнике. Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что при <7-> 0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится к сферической волне р(г го) = - (4яЛ) ехр(/Аг Л Л), Решение для среды с (г) - I <7 I г строится аналогично изложенному вьпие. Его можно получить из (15.48), полагая <7=/ <7 I, При зтом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы оодынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура 7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно анализируются в с аяхволноводногоиантивдановодного распространения. Там же построено аналогичное (15.48) точйое решение для поля параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с = [c.344]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...