Уравнение волновое волновых нормалей

Уравнение (10.19) называется уравнением волновых нормалей Френеля и позволяет определить скорость по нормали в зависимости от направления нормали N, заданного Nx, N у, N,, и от свойства кристалла, заданного главными скоростями y.v, Vy, или главными диэлектрическими проницаемостями е, ., е.у, t%. Отметим, что v, , (л — скорости света в случае, когда колебания вектора электрической индукции совершаются по главным диэлектрическим осям, а Уд/ — скорость световой волны для произвольного направления, но перпендикулярной фронту волны вектора D и, следовательно, направленной по нормали N. [c.252]

Уравнения (10.23) и (10.24) описывают оптическую индикатрису — эллипсоид волновых нормалей, полуоси которого равны квадратному корню из главных диэлектрических проницаемостей и совпадают по направлению с главными диэлектрическими осями. [c.254]

Лазер со сферическими зеркалами эквивалентен точечному источнику (сферические волновые поверхности) с силой света, распределенной по гауссовому [/ ехр(—а(Дф) закону в небольшом телесном угле. По мере удаления сферической волны от резонатора центр ее смещается вдоль оси. Можно показать, что в этом случае уравнения лучей (нормалей к волновым поверхностям), вдоль которых распространяется энергия, представляют семейство гипербол. Такой весьма своеобразный ход лучей представлен на рис. 6.33, где изображены конфокальный резонатор [c.289]

Чтобы произвести оптическое построение, используем прежде всего некоторое семейство волновых поверхностей, соответствующее нужной нам. частоте, т. е. возьмем некоторое решение уравнения Гамильтона (Г) с определенным значением Е это решение, которое мы обозначим буквой М, должно обладать также следующим свойством нормаль к поверхности постоянного уровня, проходящей в момент / через точку Р, например к поверхности [c.687]

Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять перемещение Ьдр вдоль нормали к волне W в точке D. Как известно, существует нормаль, определенная производной ди/dqp =pp), однако это — кова-риантный вектор, в то время как Ьдр— контравариантный. Поэтому, не умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее что мы можем сделать, это взять б р вдоль луча (так чтобы Е совпало с Е на рис. 40), следовательно, будет иметь место уравнение [c.270]

В заключение параграфа обобщим некоторые полученные результаты для неплоских ДЛ. Прежде всего ограничим тот класс поверхностей, на которых имеет смысл рассматривать дифракционные линзы, поверхностями вращения вокруг оси z, считая, кроме того, что в каждой точке к поверхности можно построить нормаль. Все расстояния от центров кривизны, участвующих в рассмотрении волновых полей, будем отсчитывать до плоскости, касательной к поверхности в ее вершине, т. е. в точке пересечения поверхности с осью z. Уравнение поверхности [c.27]

Данное уравнение можно рассматривать как уравнение трехмерной поверхности в к-пространстве (пространстве импульсов). Эта поверхность называется нормальной поверхностью (поверхностью волновых нормалей) и состоит из двух оболочек, которые в общем случае имеют четыре общие точки (рис. 4.1). Две линии, проходящие через начало координат и эти точки, называются оптическими осями. На рис. 4.1 изображена одна из оптических осей. Для данного направления распространения существуют, вообще говоря, два значения к, при которых направление распространения пересекается с нормальной поверхностью. Эти два значения к соответствуют [c.82]

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное . Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s. Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями [c.84]

Анизотропные кристаллы, кроме поверхностей волновых нормалей и поверхностей волновых векторов (поверхностей индексов), можно характеризовать также эллипсоидом волновых нормалей (эллипсоидом показателей, оптической индикатрисой) [8, 10]. Уравнение, описывающее эллипсоид [c.151]

Импульсное нагружение представляет собой кратковременное термосиловое воздействие с высокой концентрацией энергии. В слоистой конструкции будут возникать и распространяться волны напряжений, претерпевая многочисленные преломления и отражения от границ слоев. Соответствующий точный анализ напряженно-деформированного состояния слоистой оболочки при учете внутренней картины волновых явлений возможен при использовании динамических уравнений теории упругости. Однако реализация такого подхода чрезвычайно затруднительна. Используемые здесь линейные уравнения (9.1), основанные на гипотезе прямых нормалей для несущих слоев, правильно описывают распространение волн деформаций срединной поверхности, но искажают фазовую скорость изгибных волн, которая при уменьшении длины волны будет неограниченно возрастать. В действительности с большой скоростью движутся короткие волны малой амплитуды, которые из-за демпфирования в оболочке можно не учитывать. Волны, несущие основную энергию изгиба, имеют достаточно большую длину, движутся с конечной скоростью и вполне правильно описываются классическими уравнениями. Поэтому даже на основе линейной теории оказывается возможным выявить в первом приближении основные закономерности нестационарного поведения трехслойной оболочки при импульсном нагружении [286]. [c.491]

Пусть граница раздела совмещена с плоскостью yz так, что нормалью к ней является ось х. Если волновой вектор падающей волны лежит в плоскости ху и составляет с осью х угол 6i, как это изображено на рис. 40, то его компоненты по осям координат принимают значения — k os = k sin 6j, =-- 0. Следовательно, уравнение для потенциала скоростей в падающей волне фх будет иметь следующий вид [c.154]

Пусть граница однородного изотропного твердого тела лежит по-прежнему в плоскости /уг, а ось х является ее внешней нормалью, т. е. рассматриваемая среда занимает полупространство со значениями X < 0. Общее волновое уравнение для этой среды можно представить в виде (Х.17), т. е. [c.229]

В плоскости рассеяния, совпадающей с плоскостью главного сечения, величина 5п = п — п для данного угла (3 достигает максимального значения. Пусть направление сечения экрана Э указанной плоскостью задается осью Z. Для определения размеров интерференционных фигур вдоль оси Z необходимо установить зависимость п — П13 в данной плоскости. С этой целью воспользуемся уравнением волновых нормалей Френеля. Следуя [37, 38] запишем нужное нам соотношение, вытекающее из уравнения волновых нормалей, в виде приближенного равенства [c.31]

Применив это правило к уравнению волновых нормалей Френеля (24), мы немедленно получим искомое лучевое уравнение [c.620]

Это уравнение описывает эллипсоид, полуоси которого равны квадратному корню из главных диэлектрических проницаемостей и совпадают по направлению с главными диэлектрическими осями. Мы назовем такой эллипсоид эллипсоидом волновых нормалей, употребив это название вместо широко используемого, но довольно неопределенного термина оптическая индикатриса (он известен также как эллипсоид индексов). [c.621]

Если мы свяжем оси координат с главными диэлектрическими осями ненапряженного материала, то эллипсоид волновых нормалей будег определяться уравнением [c.648]

Рис. 14,30. К теории ао-г тощающих кристаллов. Считывая Приближение, в котором получена формула (19), нельзя ожидать, что эти формулы останутся справедливыми, когда направление 5 будет мало отличаться от направления оптической оси. В предельном случае, когда волновая нормаль направлена вдоль оптической оси. угол 1]) становится неопределенным. Для получения в этом случае соответствующих показателей затухания возвратимся к уравнению Френеля. При любом направлении 5 в плоскости хг (зу = 0) мы получим, как в уравнениях (23), приравнивая вещественные и мнимые части.

Решение. Проведем расчет для необыкновенной волны в предположении, что 7 = 68°. Пусть Р = 64° — угол между оптической осью кристалла и продольным ребром АС, ОМ —волновая нормаль для предельного случая полного отражения, — соответствующий угол падения на слой канадского бальзама ВС. Тогда sin Фс = где п — показатель преломления канадского бальзама. Показатель преломления Пц необыкновенной волны в кристалле для рассматриваемого направления волновой нормали определяется уравнением [c.469]

Сечение плоскостью XV. Волновая нормаль лежит в плоскости XV, т. е. = 0. Уравнение Френеля (80.8) принимает вид [c.496]

Сечение плоскостью У2. Волновая нормаль N лежит в плоскости У2, т. е. 0. Уравнение Френеля принимает вид [c.497]

Это однородное уравнение второго порядка представляет конус. Образующими конуса являются лучи, соответствующие волновой нормали М, параллельной одной из двух оптических осей второго рода. Конус (82.1) называется конусом внутренней конической рефракции. Волновая нормаль есть одна из образующих конуса (82.1). Это следует из того, что направления 5 и совпадают, когда вектор О параллелен диэлектрической оси У. [c.509]

Теорема обращения распространяет полученные результаты на лучи. Если луч в двуосном кристалле направлен вдоль одной из оптических осей первого рода, то ему соответствует бесконечное множество волновых нормалей, образующих конус. Этот конус называется конусом внешней конической рефракции. Луч есть одна из образующих этого конуса. Сечение конуса внешней конической рефракции плоскостью, перпендикулярной лучу, есть круг. Угол раствора конуса определяется уравнением [c.510]

До сих пор мы пользовались лучевой оптикой. Другими словами, мы предполагали, что волновые фронты вблизи любой точки достаточно характеризуются нормалями к ним и локальными радиусами кривизны. Это приближение перестает быть справедливым вблизи радуги. Следующим приближением более высокого порядка будет аппроксимация волнового фронта кубическим уравнением. На рис. 46 изображены в одном масштабе пять лучей, из которых средний является лучом минимального отклонения. К волновому фронту в В сразу после выхода лучей мы должны применить принцип Гюйгенса. Удобно, однако не необходимо, заменить его виртуальным волновым фронтом в О, где касательная в точке перегиба проходит через центр шара. На этом фронте лучи находятся фактически на том же расстоянии друг от друга, что и на фронте падающей волны в А. Введем прямоугольные координаты о вдоль упомянутой выше касательной и и вдоль нормали в обратном направлении, (См, дополнительный чертеж на рис. 46.) [c.283]

Лучевой вариант теории трехмерной голограммы также основан на уравнении изофазного слоя (4), используя которое нетрудно определить соотношение, связывающее нормаль п к поверхности этого слоя и лучевые векторы волн, падающих на слой и отраженных им. В соответствии с законами аналитической геометрии единичный вектор нормали к поверхности, заданной уравнением (4), определяется градиентом левой части этого уравнения, нормированным к единице. Если при этом учесть, что эйконалы L (r) и Lo r), приравненные константам, также являются уравнениями поверхностей волновых фронтов, а их градиенты определяют нормали к этим фронтам, т. е. лучевые векторы Ig и 1о, то можно записать [c.696]

Отсюда видно, что мы имеем дело с уравнениями нормалей к поверхностям S = onst. Таким образом, мы снова получили результат, согласно которому траектории механических. систем являются ортогональными траекториями к волновым поверхностям. [c.328]

Частные производные эйконала волнового поля, заданного на криволинейной поверхности, уже не имеют смысла направляющих косинусов светового луча, поскольку не совпадают с компонентами градиента эйконала в принятой системе координат. Развернем в данной точке ДОЭ систему координат таким образом, чтобы новая ось 2 совпала с нормалью к поверхности элемента. Эту систему координат назовем системой нормали и обозначим ее оси х, т)х, 2х. Теперь в окрестности рассматриваемой точки эйконалы всех волновых полей оказываются заданными в плоскости, касательной к поверхности элемента (в плоскости х х), следовательно, их производные по координатам Ех, Лх опять имеют смысл направляющих косинусов лучей, но уже в системе координат нормали. Найти производные функций Ф(Е, т)) по Ех и т)х достаточно легко, так как координаты , т] и х, rix связаны известными формулами для поворота системы координат [8] (естественно, при этом необходимо знать конкретное уравнение поверхности ДОЭ). В общем виде можно записать [c.16]

Зависимость лучевот скорости от направления. Все результаты о направлении движения фронта волны и фазовой скорости были получены при анализе уравнений (40.2), в которые входят волновой вектор к и частота со, характеризующие фазовую скорость, и нормаль п к поверхности фронта волны. Чтобы проанализировать вопрос о лучах света и групповой скорости Уг, необходимо эти уравнения преобразовать так, чтобы в формулы вошли т и Уг. Для нахождения групповой скорости Уг заметим, что фронт волны распространяется в направлении п, а энергия — в направлении т. Поэтому фронт потока энергии расположен перпендикулярно т. Отсюда заключаем (см. рис. 217), что групповая и фаровая скорости света в анизотропной среде связаны между собой соотношением [c.267]

Луч в среде, параметры которой зависят от координат, может представлять собой довольно сложную пространственную кривую. В векторной ситуации кроме общих со скалярной задачей свойств поля (лучевой структуры, т. е. лучей и волновых фронтов, зависимости амплитуд полей от координат) надо знать еще закон изменения направления вектора Яо (или Яо), т. е. особенности изменения линейной поляризации поля. С каждой точкой пространственной кривой связан трехгранник I — единичный вектор вдоль луча, я — нормаль к лучу, Ь — бинор-маль к лучу. Введем угол 0 между вектором Е и нормалью к лучу я. Для угла 0 получено уравнение [c.237]

Знаки плюс и минус обозначают две стороны поверхности 5 нормаль Л/ направлена из минуса в плюс . Метод, в котором вспомогательная задача ставится с условиями (10.4а), мы называем первым вариантом, а с условиями (10.46) — вторым вариантом р-метода. Собственные функции обоих вариантов (разумеется, они различны) обязаны также удовлетворягь вне 5 однородному волновому уравнению [c.99]

Седловую точку к можно определить, используя уравнение Ф = onst и для каждого направления к откладывая из начала прямоугольной системы координат два волновых числа (Atj и распространяющихся в этом направлении волн. Таким образом, можно получить двулистную поверхность волновых векторов, один лист которой соответствует значениям kj, а другой — kj (см. задачу 14). При этом в соответствии с уравнениями (5.11.3) нормаль к поверхности в точке к является параллельной вектору г. [c.395]

Равенство нулю детерминанта этой систеш дает условие существования ненулевых значений для 11,5 и . В общем сл учае этот детерминант раскрыт автором в работе Й4Д ковариантным методом. Получающееся при этом уразнение нормалей, дающее зависимость показателей преломления от характеристик среды t,JU.ж ) и направления волновой нормали а, является общим уравнением 4-й степени относительно компонент Ш и содержит члены, в которые входят нечетные степени компонент Ж. В работе [1 выделены классы магнитной симметрии, которые допускают присутствие таких членов. В этих классах МЭЭ приводит к необратимости распространения волн в том сшсле, что изменение знака волновой нормали приводит к новому абсолютному значению фазовой скорости, т. е. распространение волн вдоль некоторого направления "вперед" и "назад" происходит с различными скоростями. Однако в нашем случае (классы симметрии [c.31]

Волновая нормаль параллельна оптической оси. В этсш случав описанная процедура определения ориентации полей неприменима, поскольку при П. II е оказывается, что Д и В линейно зависимы (А И B)i а С =0. При all Т вторая аара. уравнений Наксведла [c.35]

Из уравнений нормалей (381) видно, что величины угловых коэффициентов представлены в виде частных производных от исходной функции (г, у), выражаемой формулой (376а). Поэтому величины малых углов Уг и Уу, составляемых нормалью к волновой поверхности с координатными плоскостями, в случае, когда можно пренебречь разностью между тангенсом и углом, могут быть определены из формул [c.94]

Уравнения (20), (21) и (24) являются эквивалентными формами уравнения волновых нормалей Френеля. Это уравнение квадратично относительно что легко показать, умножив (24) на произведение знаменателей. Таким образом, каждому направлению s соответствуют две фазовые скорости v . (Два значения соответствующие любому значению v , считаются одним, так как отрицательное значение, очевидно, принадлежит противоположному направлению распространения —s.) Для каждого из двух значений из уравнений (23) можно определить отношения j, Е- соответствующие о-гнотения, содержащие вектор D, можно затем получить из (14.1.12). Так как эти отношения вещественны, поля Е и D линейно по.ыризованы. Таким образом, мы получили важный результат, а именно структура анизотропной среды допускает рш пространение в любом данном направлении двух монохроматических плоских волн, линейно поляризованных в двух разных направлениях и обладающих различными скоростями. Позднее будет показано, чю два направления вектора электрического смещения D, соо1ветствующие данному направлению распространения S, перпендикулярны друг к другу. [c.619]

Распространение света в одноосных крисгаллах. Начнем с уравнения волновых нормалей Френеля (14.2.24) и запишем его в виде [c.627]

Уравнения (4) показывают, что двумя оболочками поверхности нормалей служат сфера радиуса v p = м овалоид — поверхность вращения четвертого порядка. Таким образом, одной из двух воли, соответствующих любому данному направлению волновой нормали, является обыкновенная волна, скорость которой не зависит от направления распространения. Другая—необыкновенная волна, скорость которой зависит от угла между направление.ч волповой нормали и оптической осью. Обе скорости равны лишь при = О, т. е. когда волновая нормаль направлена вдоль оптической оси. [c.627]

Следовательно, вектор s /v — s/ должен быть перпендикулярен к границе раздела. Допустимые направления волновых нормалей s можно определить следующим образом. Из произвольной точки О па плоскости 21, как из начала координат, во всех направлениях s отложим векторы длиной 1/f, где v — фазовая скорость, соответствующая каждому направлению s согласно уравнению Френеля (14.2.24). Концы векторов образуют двухоболочечную поверхность, которая отличается от поверхности нормалей тем, что длина каждого радиуса-вектора составляет l/t вместо v. А-а поверхность называется обратной поверхностью волновых нормалей. Она соотвегсгвует лучевой поверхпости и поэтому, как и лучевая поверхность, представляет собой поверхность четвертого порядка. Поскольку искомый вектор s /y должеп быть таким, чтобы [c.631]

Влияние напряжения на оптические свойства можно также выразить через деформацию лучевого эллипсоида, и тогда получатся еще две системы линейных уравнений с 36 коэффициентами. Эти коэффициенты связаны с коэф4 и-циеятами эллипсоида волновых нормалей, так как наиравленин главных осей обоих эллипсоидов всегда совпадают, а величины полуосей одного являюгся обратными величинами полуосей другого. [c.649]

Направление колебаний в необыкновенном луче лежит в главной плоскостп, т. е. в плоскости, в которой лежат волновая нормаль и оптическая ось. Поэтому мы можем отождествить угол между вектором D для необыкновенной волны и направлением поляризатора ОР с углом ф в уравнении (32). Однако, для того чтобы сохранилось согласие с (21а) и (216), необходимо поменять местами /с и л". При скрещенных призмах Николя (х п/2) получим из (32) [c.658]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...