Характеристики волнового уравнения

Из сказанного выше следует, что критерием параметрической неустойчивости систем с подвижными границами может служить условие непрерывного сгущения характеристик волнового уравнения. Это обстоятельство позволяет значительно облегчить задачу отыскания областей неустойчивости в пространстве параметров системы, так как избавляет от необходимости аналитических решений, что для случая параметрического возбуждения колебаний представляет еще не решенную на сегодня проблему. Изложенный в 4.1 графический метод позволяет определить наличие параметрической неустойчивости системы при разнообразных законах движения ее границ. Но чтобы в каждом отдельном случае не прибегать к построению соответствующих диаграмм на пространственно-временной плоскости (х, t желательно выявить критерий параметрической неустойчивости 2-го рода в аналитической форме, т.е. найти некоторые количественные соотношения между параметрами системы (характерный пространственный размер системы, частота и амплитуда смещения границ, коэффициент потерь и т.п.), при выполнении которых она будет неустойчивой. [c.144]

Физический и геометрический смысл соотношений (4.29) и (4.30) состоит в следующем. Наличие нетривиального решения системы (4.30) означает существование на пространственно-временной плоскости периодической ломаной, составленной из отрезков характеристик волнового уравнения (4.14). Неравенство (4.29) выделяет из всех возможных периодических ломаных лишь те, к которым будут сжиматься все остальные характеристики. Его физический смысл заключается в том, что в режимах параметрической неустойчивости энергия, поступающая в систему за счет совершения работы движущимися границами, должна превышать потери в ней. [c.149]

Решение этой задачи хорошо известно 12], его можно выразить через характеристики волнового уравнения. При напряжениях, обусловленных силами вихревых токов, G имеет вид [c.105]

Вспоминая сказанное в 28 гл. IV, видим, что семейство прямых (С,) представляет одно из двух семейств характеристик волнового уравнения (15 ). Аналогично, семейство прямых С [c.332]

Общее решение уравнения (59), а следовательно, и аналогичных уравнений для возмущений давления и плотности складывается, таким образом, из решений, соответствующих двум распространяющимся в противоположные стороны простым волнам само уравнение (59), так же как и однотипные уравнения для плотности и давления, являются одномерными волновыми уравнениями. С геометрической стороны полученное решение можно интерпретировать как наличие в плоскости x,t) двух семейств прямых (64) с угловыми коэффициентами ао, обладающих тем свойством, что вдоль каждой из этих прямых сохраняются постоянные значения заданных начальными условиями возмущений скорости или других параметров газа. Эти два семейства прямых представляют в рассматриваемом случае два семейства характеристик волнового уравнения (59). [c.128]

В рассмотренных примерах разностных схем для волнового уравнения не использованы уравнения характеристик и условия на них. Приведем алгоритм численного счета с использованием характеристик. Рассмотрим квазилинейное уравнение (7.19) гиперболического типа. [c.239]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Характеристики волнового процесса. Рассмотрим основные характеристики волнового процесса на основе решения наиболее простого уравнения (1.2), записанного для потенциала ф [c.6]

Метод характеристик. Если область G на плоскости X, t, в которой рассматривается волновое уравнение, выпукла, то общее решение волнового уравнения имеет вид [c.109]

Основные закономерности, определяющие связь интенсивности акустического излучения струи с газодинамическими и геометрическими параметрами потока, были установлены М.Дж. Лайтхиллом, который преобразовал уравнение Навье-Стокса к неоднородному волновому уравнению, связывающему изменение плотности в окружающей неподвижной среде с характеристиками турбулентности с струе [1.42]. Анализ этого уравнения на основании теории размерностей позволил получить следующее выражение для звуковой мощности струи [c.27]

Требуется в области, заключенной между характеристиками L] и 2 найти решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям (4.37). [c.108]

Знания геометрической волновой поверхности на выходе оптической системы или, что эквивалентно, семейства лучей, ортогональных к этой поверхности, во многих случаях достаточно для описания системы. Оно позволяет найти фокальные точки, каустики, другие характеристики. Однако в некоторых случаях геометрическая оптика неприменима, например в окрестности фокальной точки, т. е. там, где радиус кривизны волновой поверхности сравним с длиной волны. В этой области волновое уравнение решают с помощью интеграла Кирхгофа — Френеля. Обычно применяют комбинированный подход, заключающийся в том, что методами геометрической оптики на выходе оптической системы определяют волновую поверхность, используя ее для вычисления дифракционного интеграла в окрестности фокальной точки. Практика подтверждает допустимость и плодотворность такого метода. [c.10]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

Если известны поле линий скольжения и на них — значения параметров %, 7), то в каждой точке известны о, 6, т. е. известны компоненты напряжения т ,. Заметим, что в рассматриваемой проблеме,в отличие от линейной задачи (например, задачи для волнового уравнения), характеристические линии зависят от искомого решения — поля напряжений. В частности, произвольная кривая у= у(л ), если вдоль нее реализуется подходящее напряженное состояние (т. е. определен соответствующий угол 6), может быть характеристикой. [c.139]

При больших интенсивностях излучения на входе нелинейными становятся усиление, потери, преломление, определяющее в общем случае различные явления самовоздействия [4, 71. С одной стороны, их необходимо учитывать при анализе возможных изменений характеристик излучения, а с другой можно использовать для управления характеристиками излучения. Самое строгое описание нелинейного режима работы усилителя должно быть основано на совместном решении системы уравнений полуклассического метода, состоящей из нелинейного волнового уравнений и уравнений для инверсии населенностей рабочих уровней активной среды и поляризации с учетом членов, описывающих возможные нелинейные явления. К сожалению, строгая система уравнений становится настолько сложной, что ее решение при совместном уровне развития численных методов решения и вычислительной техники оказывается невозможным. [c.185]

Рассмотрим некоторые характеристики волнового процесса на примере плоской волны. В такой волне смещение частиц является функцией только одной координаты, скажем х. Тогда в уравнениях (2.3) и (2.6) все производные по у и 2 исчезают и имеем [c.24]

Теория дифракции электромагнитных волн, по существу, состоит из двух частей. Во-первых, эта теория представляет собой совокупность методов решения уравнений Максвелла, т. е. способов теоретического нахождения полей, возникающих при помещении различных тел в поле заданных источников. Во-вторых, она есть совокупность результатов, т. е. качественных и количественных характеристик этих полей. Таким же образом теория дифракции акустических волн есть совокупность методов и результатов, относящихся к решению скалярного волнового уравнения. [c.9]

Итак, для определения продольных колебаний стержня следует решить волновое уравнение (14.1.3) при граничных условиях (14.1.4) и (14.1.5) и начальных условиях (14.1.6) и (14.1.7). Решение волнового уравнения (14.1.3) при граничных условиях (14.1.6) и (14.1.7) можно получить либо методом Фурье, либо методом характеристик. Именно последний метод и используется при решении (14.1.3). [c.348]

Строгое исследование электромагнитного поля в открытом резонаторе должно быть основано на рассмотрении уравнений Максвелла (или соответствующих волновых уравнений) с определенными начальными и граничными условиями. Из стационарного решения этой задачи можно получить характеристики резонансных [c.41]

Волновые уравнения I — 225 Волны звуковые — Длины 2 — 255 Волокнит 3 — 431 Волокно асбестовое 6 — 364 Вольтамперные характеристики фотоэлемента 2 — 364 Вольтметры — Включение — Схема 2 — [c.405]

Что касается характеристик мод волокон со скачком показателя преломления, то их определяют на основе поиска решений приведенного волнового уравнения с постоянным коэффициентом для сердцевины и оболочки с последующей процедурой их "сшивания". Среди мод такого волокна выделим в качестве наиболее часто встречающихся на практике поперечные поляризованные моды типа ЕН, структура которых определяется выражениями [c.93]

Для характеристики источников в уравнении (2.1) рассмотрим более подробно их специфику. Наиболее простой тип источника-точечный моно-поль (пульсирующая сфера R k). Физический механизм излучения-концентрации в малом пространстве пульсирующего объема (притока или стока) массы. Для излучателя точечного размера в свободном пространстве волновое уравнение приобретает вид [c.43]

Описанные построения не обязательно производить при помощи сфер. В общем случае сферу можно заменить любой поверхностью, зависящей от одного параметра, так как поверхности этого типа всегда имеют характеристики и огибающие. Геометрическая сторона принципа Гюйгенса и в этом случае сохраняет свое значение. Только математическая его формулировка не будет пригодна, поскольку она опирается на дифференциальное уравнение волнового типа в частных производных, а поверхность волнового фронта может и не быть интегралом волнового уравнения. [c.185]

Нелинейное волновое уравнение не может быть решено методом разложения решения на фурье-компоненты, и для определения таких характеристик нелинейной волны, как волновое число, период и т. д., нам придется развить специальный метод. Иначе говоря, нелинейные уравнения не допускают решения вида [c.114]

В строгой теории (см. ссылки на литературу в гл. 14 и 15) исходят из основных дифференциальных уравнений — уравнений Максвелла или волнового уравнения, вводят характеристики рассеяния и поглощения частиц и получают соответствующие дифференциальные или интегральные уравнения для таких статистических величин, как дисперсии и корреляционные функции. Такой подход является математически строгим в том смысле, что при этом в принципе можно учесть как эффекты многократного рассеяния, так и влияние дифракции и интерференции. Однако построить теорию, которая полностью учитывала бы все эти эффекты, практически невозможно, поэтому все теории, дающие приемлемые решения, являются приближенными и справедливы лишь в определенной области значений параметров. Теория Тверского, диаграммный метод и уравнения Дайсона и Бете — [c.163]

Рассматриваемый здесь режим соответствует высокочастотной границе зоны неустойчивости. При ОС < О граница успевает совершить целое число колебаний за время пробега волной удвоенного максимального размера системы. На рис. 3.6 эта ситуация наглядно изображена на пространственно-временной плоскости (х, i). Из рисунка видно, что все характеристики волнового уравнения x + t = onst с [c.106]

В одномерной системе без дисперсии волновые процессы однозначно определяются поведением характеристик волнового уравнения (4.5), вдоль которых перемещаются точки профиля бегущих волн. Поэтому для выявления качественных особенностей решений начально-краевой задачи (4.5)-(4.6) удобно проследить за распространением волн в системе с помощью графических построений на пространственно-временной плоскости (х, t). Пусть период колебаний границы равен времени пробега волной удвоенного среднего размера системы Т = 21Jс. Начальное возмущение условно разобьем на ряд одинаковых отрезков, движущихся вдоль ломаных, составленных из характеристик t xl — onst (рис. 4.2,а). [c.143]

Геометрически это означает, что на пространственно-временной плоскости в полубесконечной полосе / (/) < X < /2(0 О < / < существует периодическая ломаная, составленная из отрезков характеристик волнового уравнения (4.14) t х с = onst. При этом в (4.26) каждый из сомножителей будет периодически повторяться, и условие неустойчивости сведется к неравенству [c.148]

Наиболее далеко идущим прогнозом, следующим из модели Тисса, явилось предсказание существования тепловых волн в жидкости—явления, ставшего впоследствии известным под названием второго звука . Формальное рассмотрение двух взаимопроникающих жидкостей, обладающих разной энтропией, приводит к волновому уравнению для неоднородностей температуры вместо диссипативного уравнения теплопроводности. Тисса предположил поэтому, что нарушения равновесной концентрации двух жидкостей будут выравниваться посредством волнового движения, а но посредством диффузии. Это волновое движение, как и следовало ожидать, будет несколько похоже на акустический звук с той существенной разницей,, что при этом не будет происходить заметных колебаний плотности жидкости. Вместо них будут наблюдаться колебания относительной плотности двух жидкостей, т. е. колебание температуры. С этой точки зрения подходящим параметром для характеристики диссипации тепловых импульсов в Не II является не теплопроводность вещества, а скорость распространения в нем тепловых волн. На основании своей модели Тисса предположил, что эта скорость будет возрастать от нуля в Х-точке до максимума примерно при 1,5" К и затем уменьшаться при дальнейшем нонижении температуры. [c.803]

Некоторые примеры, иллюстрирующие это явление, приве дены в работе [21], где был использован метод характеристик Численный метод решения был использован также в работе [18] В настоящее время разработаны и опубликованы различные алгоритмы решения одномерного волнового уравнения в слои стой среде, например алгоритмы TI и WONDY, использован ные в работе Лундергана и Друмхеллера [41]. Аналитическое исследование отражения и прохождения волн напряжений в слоистом материале проведено в работе Кинслоу [36]. [c.374]

Формулы (2.5) и (2.7) показывают, что все характеристики волнового поля являются результатом сложения бесконечного чивла волн. В такой суперпозиции принимает участие конечное чивло N + М) нормальных волн, соответствующих вещественным I, = = и чисто мнимым корням дисперсионного уравнения, [c.249]

В дальнейшем ограничимся выводами, относящимися лишь к случаю ламинарного течения, скорость которого мала по сравнению со скоростью распространения звука в рассматриваемой среде. Характеристики волновых процессов изменения состояния будут далее сопоставлены с характеристиками разгона рабочей среды, рассматриваемой как несжимаемая жидкость. Так как при этом делаются ссылки на работу [25], заметим, что уравнение (42.4) в этой работе представлено в форме —др1дх = р ди1д1)- - аи]. Коэффициент 2a = 32v d есть не что иное, как величина, обратная постоянной времени Тд разгона данной массы рабочей среды (при описании этого процесса указанным в 40 уравнением одноемкостного звена). [c.402]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

Растяжение вдоль оси С должно быть локализовано вблизи линии = О, так что один период линии С в плоскости х, у) должен переходить в отрезок такой же длины линии / — 0. При (20.18а), очевидно, dW/dZ будет стремиться к единице, и, согласно (20.16), волновое уравнение сохранится при t a и в координатах (/, т). Вещественное число Ь само находится из этого преобразования. Оно является единственной характеристикой мелкопериодической гофры на расстояниях, больших по сравнению с периодом. Любая задача дифракции на гофре (при -поляризации) заменой переменных (20.12) сводится к решению волнового уравнения в переменных (/, т) с граничным условием м = О (20.5) на прямой / = 0. [c.206]

Другой метод сводится к использованию скалярной теории дифракции Кирхгофа [1, И, 24, 25]. Обычно линейные размеры резонатора (расстояние между зеркалами, радиусы кривизны отражающих поверхностей, поперечные размеры) на много порядков превышают длину волны излучения. Кроме того, продольные размеры резонатора существенно больше поперечных, так что волновой вектор излучения ориентирован близко к оси резонатора. В этой ситуации рационально использовать приближение скалярной теории дифракции Кирхгофа. Такой подход, позволяющий наиболее наглядно исследовать характеристики резонаторных систем, используется в основном в данной главе. Адекватность использования методов скалярной теории дифракции, с одной стороны, и асимптотического (при N 1) исследования волнового уравнения, с другой стороны, для однородного заполнения резонатора показана в [40]. В данной главе, как и в предыдущей, резонатор полагается. составленным из безаберрационных, съюстированных зеркал. [c.42]

Рассмотрим решение волнового уравнения, основываясь на анализе ча-стотао-волновых характеристик излучающего источника произвольного вида, характеризуемого правой частью уравнения (2.12). [c.54]

Вьнпе были рассмотрены различные формы и методы решения волнового уравнения в предположении нестащюнарности источников, формирующих правую часть этих уравнений. Что касается среды распространения звука, то во всех рассмотренных случаях ее физические параметры считались однородными и стационарными. Если среда неоднородна и нестационарна, то вследствие процессов рассеяния на неоднородностях монохроматические волны будут искривлять первоначальный фронт, также будет разрушаться корреляция вдоль волнового фронта, а при распространении стационарного шумового сигнала его статистические характеристики будут трансформироваться. [c.69]

Соотношение (14.81) связывает лучевую интенсивность / (г, з) с функцией взаимной когерентности Г(га, гь) < ф(Га)1 ) (гг,)>. Заметим, что в теории переноса понятие лучевой интенсивности вводится эвристически для описания величины и направления распространения мощности, а не волновых характеристик поля. Однако соотношение (14.81) показывает, что лучевая интенсивность описывает также и волновые характеристики поля посредством функции взаимной когерентности. Таким образом, соотношение (14.81) устанавливает важную связь между теорией переноса и теорией многократного рассеяния. Отметим также, что соотношение (14.81) является лишь приближенным и, строго говоря, оно не совместимо с волновым уравнением (см. также другие работы, посвященные связи между теорией переноса и теорией многократного рассеяния [12, 149, 381]). [c.28]

С другой стороны, теория переноса [31, 105, 122, 148] не исходит из волнового уравнения. Эта теория оперирует непосредственно с переносом энергии в среде, содержащей частицы. Такая теория строится эвристически и не является строгой в математическом отношении. Даже если эффекты дифракции и интерференции и учитываются при описании характеристик рассеяния и поглоц еиия одиночной частицы, теория переноса сама по себе не включает дифракционных эффектов. В теории переноса предполагается, что при сложении полей отсутствует корреляция между ними, так что складываются интенсивности, а не сами поля. [c.164]

Поскольку уравнение переноса выведено эвристически на основе энергетических соображений, волновые характеристики поля, по-видимому, не входят в эту эвристическую картину, за исключением разве что характеристик рассеяния и поглощения частиц. Однако, поскольку при вычислении сечений и амплитуд рассеяния использовалось волновое уравнение, лучевая интенсивность не может быть найдена без знания взаимодействия полей со средой. В ряде последних работ рассматривалась связь теории переноса со строгой аналитической теорией некоторые аспекты этих интересных разработок обсуждаются в гл. 14. Там показано, что соотношение (7.57) можно обобщить, выразив функцию взаимной когерентности как фурье-образ лучевой интенсивности. [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...