Интегрирование волнового уравнения

Если поставить плоскую задачу об определении упругих волн в ограниченном пространстве как задачу интегрирования волновых уравнений (10.20) и (10.21), то необходимо записать граничные условия через потенциалы ф и г ). [c.403]

Интегрирование волнового уравнения по методу Фурье. Волновое уравнение [c.246]

Интегрирование волнового уравнения дает зависимость между давлением р и скоростью движения частиц среды Vsi [c.322]

Интегрирование волнового уравнения Уравнения (2.11), (2.12) и (2.13) имеют один и тот же вид [c.22]

На общей задаче интегрирования волнового уравнения (9.135) мы здесь останавливаться не можем, но отметим одно простое свойство частных решений его, совершенно аналогичное свойству частных решений уравнений Лапласа, указанному в начале 58 если известно какое-либо частное решение уравнения (9.135) [c.289]

При интегрировании волнового уравнения должны быть соблюдены граничные условия, зависящие от закрепления пружины и сохраняющиеся в любой момент времени I, а также начальные условия, определяемые движением пружины в тот момент, который принимается за на-нало отсчета времени [10]. [c.79]

Таким образом, задача сводится к интегрированию волнового уравнения [c.64]

Принцип Гамильтона (4), содержащий в себе геометрическую конструкцию траектории по волновому принципу Гюйгенса, как никакой другой принцип динамики позволяет с общей точки зрения осветить методы интегрирования дифференциальных уравнений движения. [c.278]

Таким образом, задача о распространении упругих волн в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в однородной, изотропной, упругой среде, заполняющей безграничное пространство, любое малое возмущение может быть представлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига. Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть пространства, то могут возникать другие типы волн, например волны, распространяющиеся в окрестности границы среды. Такого рода волны будут рассмотрены ниже. [c.403]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Интегрированию уравнений движения (1.6) с начальными условиями (2.1) в безграничной упругой среде посвящено значительное число работ выдающихся математиков и физиков прошлого столетия [8Й. В них обобщалась картина движения [129], описывающегося классическим волновым уравнением. Несвязанность двух типов волн привела к тому, что и в случае упругого пространства физическая картина распространения возмущения из конечной области оказалась довольно ясной [82, 123, 270]. [c.24]

Аппарат, использованный в рассматриваемых далее работах, был подготовлен в значительной мере Пуассоном в его Мемуаре об интегрировании некоторых линейных уравнений в частных производных, в частности общего уравнения движения упругих жидкостей представленном Парижской академии наук в 1819 г. Пуассон начинаете замечания, что для уравнений в частных производных второго порядка и высших нет обш,их методов интегрирования поэтому он считает целесообразным изучать отдельные типы уравнений, встречающиеся в наиболее важных задачах механики и физики. В силу этого в первую очередь он начинает с интегрирования в общем виде волнового уравнения [c.273]

Решив уравнение (1,16), можно определить Ф интегрированием/ по времени Ф а затем найти скорости частиц по формулам (1,9). Аналогичное преобразование волнового уравнения с заменой потенциала Ф какой-либо другой величиной, определяющей звуковое поле (например, смещением или скоростью частиц), вообще говоря, не может быть сделано. В частном случае, когда волновой процесс происходит лишь в одном измерении, такое преобразование возможно. [c.16]

Интегрирование в (4.3) производится по области (рис. 4.1), снаружи ограниченной 8ц, внутри — поверхностями, импеданс-ными Зт, металлическими ( Ш== О и ш = оо ) и диэлектрическими 5е. Кроме того, такой же интеграл надо взять по области, занятой диэлектриком и снаружи ограниченной поверхностью. 5е. Применять (4.3) сразу ко всему объему нельзя, поскольку волновое уравнение справедливо только в областях, где е непрерывна. Затем надо сложить равенства (4.3), полученные при интегрировании по обеим областям. При этом поверхностный [c.37]

В первой главе изложен метод, в котором роль собственного значения играет диэлектрическая проницаемость. Метод применим к задаче дифракции на диэлектрическом теле. Функции Ып удовлетворяют однородному волновому уравнению, в котором диэлектрическая проницаемость е тела заменена на собственное значение е . Функции и ортогональны при интегрировании по телу, а коэффициенты А содержат в знаменателе разность е — е . Если в системе нет никаких потерь или есть только диэлектрические потери, т. е. потери, обязанные комплексности е, то е вещественны. Для открытых резонаторов и вообще для задач дифракции, в которых есть потери на излучение, 1т е > О, т. е. е является диэлектрической проницаемостью некоторого активного (выделяющего энергию под действием поля) тела. Аппарат е-метода легко обобщается на задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах. В частности, этот метод применим и к квантовомеханической задаче рассеяния на потенциальном поле, которая коротко рассмотрена в 7 и 20. [c.13]

Итак, можно записать формулу Кирхгофа. Поскольку возмущение, вызванное в точке Р каким-либо волновым полем и, представляет собой решение волнового уравнения, его определяют путем интегрирования по любой замкнутой поверхности, содержащей точку Р, и тогда [c.21]

Интегрирование дифференциального уравнения моментной теории цилиндрической оболочки является довольно сложной задачей. На практике для решения частных задач часто используют приближенные теории. К таким задачам относится и расчет гибкого колеса волновой передачи. [c.23]

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ЧАСТОТНО-ВОЛНОВОГО СПЕКТРА [c.54]

Формулы (IV.8) имеют второй порядок точности. Первые производные по t аппроксимируются конечными разностями таким образом, что в выражения для давления не входят значения потенциала скорости на т + 1)-м слое. Это важно, так как позволяет построить явную схему решения волнового уравнения (IV.5) для пузырьковой жидкости. Поэтому представления (IV.8) позволяют избежать совместного решения уравнения Рэлея и волнового уравнения на каждом шаге интегрирования уравнений пузырьковой жидкости, сводя задачу к последовательному решению этих уравнений. [c.98]

В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная особенность, задаваемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение области интегрирования до (О, оо) превращает генерируемую осциллирующим источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 п 93). Новый коэффициент вводит дополнительно операцию, известную как взятие производной порядка 1/2. Мы встречались с этим фактом в связи с асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их распространения (разд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения в частных производных (345), которое при замене 2 на величину, кратную времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения (345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную порядка 1/2, [c.463]

Интегрирование по Е в формулах (12.31) — (12.32) производится по всему спектру эффективного волнового уравнения [c.122]

Выбор нижнего предела интегрирования по r обеспечивает совпадение полюсов 2 =2 и r Z ) =0 в эталонном и волновом уравнениях. Совмещения точек поворота 2 = 21 и 17(21) = -2а / можно добиться путем выбора соответствующего значения параметра а. Из (9.66) и при учете (9.56) получаем а = 1. Аналогично, точки поворота z =22 и 17(22) -2о будут совпадать, если а = 2. Поскольку, вообше говоря, i = 2 то при z >2 и [c.191]

Умножим волновое уравнение на и проинтегрируем по времени в пределах от а до 6. В первом члене, меняя порядок интегрирования и дифференцирования, найдем [c.71]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

К вопросу об интегрировании волнового уравнения в неоднородной среде, Тр. сейсм. ин-та АН СССР, № 42 (1934). [c.188]

В.-последние годы заметно. ловысился интерес. к дифракции электромагнитных волн на металлических телах сложной формы. Такие дифракционные задачи цри строгой математической формулировке оводятся к интегрированию волнового уравнения или уравнений Максвелла с учетом граничных условий на поверхно- сти тела. Однако найти решения в случае реальных тел сложной конфигурации не удается. Это можёт быть. сделано лишь для тел простейшей геометрической формы — таких, как бесконечно длинный цилиндр, сфера, диск и т. д. При этом оказывается, что полученные решения позволяют эффективно вычислить дифракционное поле лишь при условии, если длина волны больше или сравнима с конечными размерами тела. В квазиоп-тическом случае, когда длина волны много меньше размеров тела, строгие решения обычно теряют свою практическую ценность, и их необходимо дополнять трудоемкими и сложными асимлтотическими исследованиями. Численные методы решения граничных задач [c.7]

Волновые нормали света — см. Световые волны — Нормали Волновые поверхности света — см. Световые волны — Распространение Волновые уравнения — Интегрирование методом Фурье 1 (1-я) — 246 Волны, воздушные в магистральных трубопроводах тормозов 13 — 708 Волны одиночные Скотт Русселя 1 (1-я) — [c.39]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

Основное в динамике Гамильтона— Якоби— вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования канонических уравнений Гамильтона и уравнение в частвсых производных Гамильтона — Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или действия ), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике. [c.216]

Значения кр= 1/У2а, соответствующего малым р. Если вместо того, чтобы сохранять Пкр фиксированным, как на нижней кривой рис. 2, будем для каждого значения р подбирать Пкр,, соответствующее максимальной скорости нарастания изгиб-ного движения, то коэффициент повышения напряжений ни при каких условиях не упадет ниже значения Ла 1,6, как показано на рис. 2. Эти критические значения п (или, более строго, значения безразмерного волнового числа Я) найдены численным интегрированием или уравнений (24), (25), или связанных уравнений (19) и (20). Оказалось, что в обоих слу- [c.36]

На основании полученных выражений с обобщенными коэффициентами, описывающих закон распределения колебательных амплитуд, можно найти плоскости, где расположены узлы и пучности. Метод входных сопротивлений, весьма плодотворный при анализе и расчете волноводов продольных колебаний [2] применительно к изгибным волноводам, з лож-няется двумя обстоятельствами. Первое из них заключается в том, что для изгибных волноводов следует учитывать два вида входных сопротивлений сопротивление для перерезывающей силы и сопротивление для изгибающего момента обязанных двум видам смещений элемента волновода (вертикальное перемещение и поворот плоскостей поперечного сечения). Вюрое обстоятельство связано с большей (чем для продольных колебаний) сложностью волнового уравнения, в результате чего приходится оперировать с четырьмя постоянными интегрирования. [c.249]

Вопросу исследования динамических напряжений в подъемных канатах посвящены известные работы А. С. Локшина, Г. Н. Савина, Ф. В. Флоринского [8] и других авторов. Однако во всех этих работах проволочный канат интерпретировался как сплошная упругая нить и задача сводилась к интегрированию известного уравнения продольных колебаний такой нити или волнового уравнения [c.148]

Другой пример. Для устранения прострельных волн предлагают производить в ПК интегрирование только по той части поверхности, освещенной первичным полем, которая видна из точки наблюдения. Конечно, такое решение не содержит прострельных волн. Однако этот прием плох. При его использовании от координат точки наблюдения зависят не только подынтегральное выражение (функции V и ду1д в ф-ле (5.1), но и пределы интегрирования. Поэтому решение не удовлетворяет волновому уравнению (напомним, что рещения в ПК и ФТД всегда являются точными решениями, а их приближенный характер проявляется в том, что они не удовлетворяют граничным условиям) и даже может оказаться разрывной функцией координат. Рассмотрим, напрнмер, дифракцию на пилообразной поверхности (рис. 5.6). При пересечении точкой наблюдения прямой ВС в направлении, указанном [c.146]

Перейдем к физической интерпретации полученного методом ВКБ приближенного решения волнового уравнения. Выражение (8.11) представляет собой совокупность двух волн, распространяющихся без взаимодействия в направлениях, симметричных относительно горизонтальной плоскости. Таким образом, в первом прибашжении геометрической акустики отражение волн отсутствует. Выражение в экспоненте дает набег фазы волны при распространении между горизонтами, служащими пределами интегрирования. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...