Порядок точности

Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характеристика, называемая порядком точности разностной схемы. Разностная схема имеет порядок точности р, если погрешность результатов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. [c.60]

Если, кроме того, [ы] — с /i, с > О, /г > О, то имеет место сходимость порядка Л тогда говорят, что разностная схема имеет А-й порядок точности. [c.230]

Применяя разложение в ряд, можно показать, что в данном случае величина б ( е ) будет пропорциональна шагу h = Ах в первой степени. Следовательно, рассматриваемая разностная схема имеет первый порядок точности. [c.231]

Можно повысить порядок точности разностной задачи. Для этого необходимо воспользоваться представлением производной по формуле (7.4), со вторым порядком аппроксимации. Если при этом дополнительные условия (в данном случае начальные) также будут аппроксимированы со вторым порядком, то при условии сходимости разностная задача будет иметь второй порядок точности. [c.231]

В рассмотренных случаях порядок точности зависит от порядка аппроксимации производных и начальных условий. [c.231]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Коэффициенты в (1.25) можно, используя формулу Тейлора, определять из требования стремления к точному значению производной при стремлении к нулю Xi—Xi-u i=l, 2, п. Рассмотрим случай трех точек хо, Х[, Х2 с равномерным шагом h. Получим одностороннюю аппроксимацию, имеющую второй порядок точности. Имеем [c.13]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Схемы (3.9), (3.10) имеют второй порядок точности. Рассмотрим теперь схему Лакса (рис. 3.2, в) [c.78]

Оказывается, несмотря на первый порядок точности схемы Лакса, схема (3.12), (3.13) имеют второй порядок точности, так как в силу симметричности расположения полуцелых узлов в шаблоне схемы крест главные члены погрешности (3.12) компенсируются. Это нетрудно показать, используя формулу Тейлора. При этом удобнее исключить из (3.13) значения функции в полуцелых узлах. Имеем [c.79]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

Уравнения, преобразованные к новым переменным (6.3), содержат неизвестные функции ерь (О и их первые производные, которые совпадают со скоростями распространения соответствующих разрывов. Для всех трех типов разрывов скорость распространения определяется местными значениями основных газодинамических параметров. При описании численных процедур мы предполагали, что величины и [ф ]<, которые входят в коэффициенты характеристических соотношений, берутся с нижнего слоя. Именно поэтому уравнения, определяющие искомые функции слева и справа от разрыва, разделяются. При этом имеем первый порядок точности относительно шага по времени. Однако с помощью стандартной техники пересчета можно построить алгоритм, дающий аппроксимацию второго порядка. При этом для сокращения объема вычислений целесообразно сначала провести расчет в окрестностях всех линий разрыва, а затем находить неизвестные величины во внутренних узлах. [c.148]

Переход на следующие слои по времени осуществляется аналогично. Описанная разностная схема имеет первый порядок точности по т и h. [c.165]

Эта схема при > =1/2 имеет второй порядок точности. При "кф 1/2 порядок аппроксимации первый. При этом остаточный член содержит множитель (>i—1/2), так что при значениях, мало отличающихся от 1/2, схема по точности близка к схеме второго порядка. Функции А, В, Т содержат значения F, G и их производные по л на слоях п и п + Х. [c.168]

Рассмотренная схема имеет на гладких решениях первый порядок точности. Для устойчивости необходимо выбирать шаг таким образом, чтобы в каждом элементарном объеме волны, возникаюш ие на его ребрах в плоскости x=Xq, достигали его правой грани. [c.180]

Вычислительный цикл закончен. Заметим, что использование уравнения для полной энергии обеспечивает, в частности, консервативность разностной схемы. Рассмотренный вариант схемы имеет первый порядок точности. [c.195]

Из (7.43) и (7.44) следует, что решение разностного уравнения (7.42) стремится к точному при х->0 для всех s таких, что 0 5 1. Однако точность и устойчивость решения разностного уравнения зависят от величины этого параметра. При 5=1/2 решение имеет второй порядок точности, при s=l (явная схема типа схем Эйлера и Рунге — Кутта) и х 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение, равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации X мало (порядка 10 —Ю ), лишь с очень малым шагом (h x2x), что делает их абсолютно непригодными. [c.205]

Показатель степени шага h в оценке погрешности называют порядком точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности для функций, имеющих вторую производную, т. е. R = О (Л ). Заметим, что порядок точности обеих формул одинаков, хотя в одной использована интерполяция линейными функциями, а в другой — кусочно-постоянными. [c.62]

Т. е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности и является точной для полиномов степени не выше третьей. [c.62]

Рассмотрим основной, применяемый на практике, способ апостериорной оценки погрешности, называемый правилом Рунге. Пусть из теоретического анализа известно, что численный метод имеет порядок точности р, т. е. погрешность R пропорциональна h [c.62]

Такой метод подсчета уменьшает ошибки и упрощает подсчеты. После определения средних величин целесообразно сравнить порядок полученной величины с теми, из которых они получены. Крупные ошибки легко находятся. Расчеты ведутся с точностью до трех знаков. При подсчете средних значений необходимо знать точность проводившихся измерений. Полученные средние значения не должны иметь существенно более высокий порядок точности например нельзя указывать среднюю температуру 112,843° С, измеренную ртутным термометром с точностью до 1°С, правильным будет 112,8° С или 113° С. [c.154]

Для повышения точности аппроксимации по координате применялась новая разностная схема, имеющая порядок точности О(Ау ). Схема применима для уравнений типа [c.218]

Порядок точности. Сходимость разностной аппроксимации. Все приведенные выше конечно-разностные соотношения имеют второй порядок аппроксимации [30, 95], что соответствует удержанию в разложении ф (х, у) в ряд Тейлора слагаемых до второго порядка включительно. В этом случае конечно-разностная аппроксимация сходится к точному решению при Ах, Дг/ О со скоростью О ( h ), где h — максималь ный шаг. Если требуется повысить скорость сходимости, необходимо повысить поря- [c.186]

Обычно порядок точности схемы (192) достаточен для достижения нужной степени точности решения задачи Коши (188) — (189). Это обусловливает широкое использование именно этой вычислительной схемы методов Рунге—Кутта. [c.122]

КИМ образом, формулы (5.27) имеют первый порядок точности (по Л), формула (5.28) — второй и формула (5.29) — четвертый порядок точности. [c.137]

Численный метод решения задачи Коши имеет р-й порядок точности, если для его погрешности [c.144]

При определенных условиях явный и неявный методы Эйлера имеют первый порядок точности, а правило трапеций — второй порядок точности. [c.144]

Главный член погрешности аппроксимации есть 0,Бхд и1д1 — —[h l(2х)]д и/дх , и схема имеет первый порядок точности по h и t, если x=rh. [c.79]

Схема Лакса и схема Годунова обладают свойством монотонности при переходе от п к п+ сохраняется монотонный характер решения. Обе схемы имеют первый порядок точности по времени, и это не случайное совиадеине. Свойство сохранения монотонности присуще только схемам первого порядка [c.159]

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагают равным Xi-i или д ,+, для левого и правого конца соответственно. В остальных точках слоя x = xi. При вычислении производных трехточечная разностная схема в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по который обеспечивается итерациями по I. [c.190]

Порядок точности разностной схемы можно повысить, если использовать более сложные квадратурные формулы, в которых производная / (т, Г) вычисляется не в одной, а в нескольких точках отрезка Itj, Tj+,1. При таком подходе возникает задача определения приближений / и соответственно решения и в этих промежуточных точках. Эти приближения вычисляются последовательно по мере продвижения по отрезку [Tj, Tj+,] от точки Tj к точке Tj+i. Так как при этом согласно (1.29) функция/(т, Т) равна производной от решения Т (т), то приближения для решения и строятся на основе оценок значений его производной — значений функции / (т, и). Поэтому в окончательных формулах приближение для / (т. Г) в определенной точке выражается через приближения / (т, Т) в предыду1цих точках, см. ниже формулы (1.47), (1.48). [c.32]

Для контроля применялись также схемы более высокого порядка точности. Для повышения точности счета по времени применялась шеститочечная симметричная схема, имеющая порядок точности 0 АР). [c.218]

Импульсные системы при работе в диапазоне УКВ имеют дальность действия 500 км, в диапазоне гектомет-ровых (средних) волн 2000—3000 км, в диапазоне километровых (длинных) волн 3000—3500 км. Погрешность определения местоположения около 1 % дальности до ведущей станции. Фазовые системы имеют лучшую (примерно на один порядок) точность, чем импульсные. Импульсно-фазовые системы работают на частоте /=100 кгч, имеют дальность более 2000 км, погрешность 100 м. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...