Волновое уравнение в электромагнитных волн

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Проблема, которая встала перед нами, может быть описана следующим образом. У нас есть совокупность уравнений движения (уравнения Максвелла в случае электромагнитного поля, волновое уравнение в случае звуковых волн и т. д.), описывающих интересующее нас явление вполне удовлетворительным образом. Мы пред- [c.206]

Эти уравнения являются стандартными волновыми уравнениями для электромагнитного поля. Им удовлетворяет хорошо известное решение в виде плоской волны [c.18]

Материальное уравнение, устанавливая связь между поляризацией и полем, позволяет замкнуть систему уравнений Максвелла и решить задачу о пространственном и временном распределении электромагнитного поля для среды с заданными свойствами и заданными, падающими извне на среду, волнами. Последние определяют граничные условия для описывающего поле внутри среды волнового уравнения, в которое сворачиваются [c.17]

Исследуем теперь связанные дифференциальные уравнения для электромагнитных волн и волн давления в случае дискретного спектра частот. Из уравнения (2.51-16) видно, что подстановка только одной электромагнитной волны, например лазерной волны с амплитудой ([ь), не дает необходимого результата. В самом деле, получающаяся волна давления тогда имела бы частоту 2/1,, полностью выпадающую из области частот акустических волн. (Нас не интересует одновременно возникающее постоянное давление.) Поэтому наряду с лазерной волной следует ввести в рассмотрение по крайней мере еще вторую электромагнитную волну с амплитудой ([в)- В этом случае возникает разностная частота /1, —/о, которая может попасть в область частот акустических колебаний. Для давления примем существование только одной волны с частотой и амплитудой = Предполагается, что присутствующие в решениях частоты и волновые числа удовлетворяют дисперсионным соотношениям, указанным в разд. 2.51. Колебательная амплитуда компоненты 2 с частотой /1, —/о имеет вид [c.148]

Пример 2. Электромагнитные волны в однородной диспергирующей среде. Если принять во внимание дисперсионное соотношение (11), то волновое уравнение для гармонической волны частоты со будет иметь вид [c.303]

Создадим в резонаторе электромагнитное поле с частотой V при этом возбуждение создает электрическое поле, параллельное оси Ог. Исходя из уравнения для электромагнитной волны и условий, налагаемых на волновое поле на стенках, покажите, что можно получить стационарные состояния, в которых поле Е параллельно оси Ог и имеет значение, не зависящее от г, для которого существует соотношение между длиной резонатора Е и длиной волны Яо в вакууме для плоской волны с частотой V. Примем [c.77]

Давление излучения характерно для волн любой природы, в том числе для электромагнитных волн (вспомним давление света). Его происхождение связано с изменением в некотором объеме (например, у препятствия или вследствие поглощения волн на пути их распространения) среднего по времени переносимого волной импульса. Отличие звукового радиационного давления от давления света состоит в том, что волновое уравнение для световых волн линейно (еслн не рассматривать задач нелинейной оптики, имеющей дело с мощным лазерным излучением), тогда как в акустике, даже при относительно небольших интенсивностях звука, возникают нелинейные эффекты (см. гл. 3, 4), которые в ряде случаев приходится принимать во внимание. [c.118]

Изложены общие вопросы теории волн различной физической природы (электромагнитных, звуковых и т. д.). Рассмотрены закономерности распространения волн в линейных и нелинейных средах. Большов внимание уделено изложению различных математических методов анализа волновых уравнений. В книгу включен ряд вопросов современной теории волн, представленных до сих пор только в специальной научной литературе. [c.2]

Рассмотрим геометрические соотношения между основными векторами в электромагнитной волне. Уравнения (1.22) остаются справедливыми и в анизотропных средах. Введем единичный вектор нормали к волновому фронту N = к/ = = кс/ со, тогда (1.22) можно переписать в виде [c.197]

При изучении направленного распространения электромагнитных волн в диэлектрической среде, описываемого в дайной главен гл. 6, ие будем излишне усложнять изложение материала. С одной стороны, будем предполагать, что читатель знаком с основами теории электромагнитных колебаний. С другой стороны, подробное и строгое рассмотрение вопроса выходит за рамки данной книги и заинтересованным читателям советуем обратиться к более фундаментальным учебникам, например таким, как [5.11 — [5.3]. Даже в простейшем случае ступенчатого цилиндрического волокна с бесконечно толстой оболочкой решение уравнений Максвелла представляет сложную задачу. Интересно отметить, что разного рода дополнительные предположения и упрощения, к которым обычно прибегают, чтобы рассмотреть более сложные типы волокна, в любом случае формально эквивалентны лучевой модели. Сначала рассмотрим ступенчатые волокна, а затем в гл. 6 изучим распространение световых волн в некоторых видах градиентных волокон. Поскольку многие читатели могут быть знакомы с теорией направленного распространения электромагнитных волн в металлических волноводах, начнем рассмотрение с представления решений волновых уравнений в виде, обычно используемом в теории металлических волноводов. Будем использовать приближения, которые позволяют упростить выражения для волоконных световодов. Некоторые читатели, вероятно, знакомы с приближением Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна [c.119]

Поскольку граничные условия для оптического волокна имеют осевую симметрию и нас интересуют электромагнитные волны, распространяющиеся в направлении его оси, будем искать решения волнового уравнения в виде [c.470]

Как известно из курса электричества, колеблющийся диполь является источником сферической электромагнитной волны, векторы напряженности которой на больших расстояниях от источника , в так называемый волновой зоне, равны по величине и взаимно перпендикулярны. В этом легко можно убедиться , если воспользоваться сферической системой координат. Положим, что радиус-вектор R, проведенный из точки О в точку наблюдения М, составляет угол О с направлением дипольного момента р (рис. 2.5). Решая волновое уравнение для волновой зоны, можно получить следующие выражения для (t) и Н (t) [c.30]

Основные свойства электромагнитных волн (поперечность и ортогональность векторов Е и Н) были получены в 1.1 из прямого анализа уравнений Максвелла, причем молчаливо предполагалось, что существование электромагнитной волны бесспорно. Для более строгого доказательства того, что электромагнитное поле распространяется в виде волны, покажем, что из уравнений Максвелла для однородной непроводящей среды следует волновое уравнение. [c.26]

Из электромагнитной теории света вытекает непосредственно, что световые волны поперечны. Действительно, вся совокупность законов электромагнетизма и электромагнитной индукции, краткое математическое выражение которой заключено в уравнениях теории Максвелла, приводит к выводу, что изменение во времени электрической напряженности Е сопровождается появлением переменного магнитного поля Н, направленного перпендикулярно к вектору Е, и обратно. Такое переменное электромагнитное поле не остается неподвижным в пространстве, а распространяется со скоростью света вдоль линии, перпендикулярной к векторам и //, образуя электромагнитные, в частности световые, волны. Таким образом, три вектора Е, Н ц скорость распространения волнового фронта о взаимно перпендикулярны и составляют правовинтовую систему т. е. электромагнитная волна поперечна ). [c.370]

Интерференция электромагнитных волн. Интерференция электромагнитных волн подробно изучена в электромагнетизме и оптике. Математически волна любой природы в однородной среде описывается универсальным волновым уравнением [c.41]

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрическом полупространстве (рис. 9-4). Напряженность электрического поля удовлетворяет волновому уравнению (см. 1-1) [c.141]

Интегродифференциальное уравнение (2.44) с ядром типа (2.47) может описывать волновые процессы в вязкоупругих линейных средах, процесс распространения с конечной скоростью температуры в сплошных средах, электромагнитные волны в средах с конечной проводимостью и другие нестационарные физические процессы. [c.28]

Поскольку функция pv не зависит ни от формы полости, ни от природы диэлектрической среды, рассмотрим для простоты прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, равномерно заполненную диэлектриком (рис. 2.1). Расчет функции pv начнем с вычисления распределения стоячих электромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля Е х, у, z, t) волны должна удовлетворять волновому уравнению [c.27]

Это выражение описывает поляризацию, осциллирующую на частоте 2 и распространяющуюся в пространстве в виде волны. Данная волна поляризации излучает на частоте 2 . Таким образом, мы получили генерацию электромагнитной волны на частоте второй гармоники 2 [аналитическое рассмотрение, приводимое ниже, включает подстановку данного значения поляризации в волновое уравнение (8.65)]. Электрическое поле этой электромагнитной волны запишется в виде [c.493]

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом k и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой (О будет распространяться вдоль оси Z в соответствии с выражением Е - exp[j((o/ — kz)], где к = к ьз) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна [c.515]

Переходя к выяснению структуры электромагнитного поля вблизи поверхности вогнутого зеркала, рассмотрим сразу два возможных варианта поляризации излучения, характеризующихся наличием продольной (вдоль оси цилиндра г) компоненты электрического или магнитного поля. Если волна распространяется в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра г, то компоненты поля и Я не зависят от г и удовлетворяют двумерному волновому уравнению [c.133]

Лазерный пучок представляет собой когерентное электромагнитное излучение. Поэтому его распространение должно определяться уравнениями Максвелла. Векторы поля В и Н, которые описывают распространение лазерного пучка, удовлетворяют векторным волновым уравнениям (1.4.7) и (1.4.8). Для пучков с малой угловой расходимостью и сред, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, векторное волновое уравнение ср датся к скалярному [1]. Действительно, из (1.4.7) и (1.4.8) можно получить скалярное волновое уравнение, если предположить, что относительное изменение диэлектрической е и магнитной /х проницаемостей мало в масштабе длины волны излучения. В этом случае волновое уравнение (1.4.7) или (1.4.8) принимает вид [c.31]

При решении задач для многосвязных областей связываем с каждой граничной поверхностью местную систему координат так, чтобы граничная поверхность совпадала с одной из координатных поверхностей. В каждой из этих координатных систем представляем решение исходных уравнений в виде ряда с разделенными переменными, в который входят неизвестные постоянные, и решение для всей области, занимаемой телом, получается как сумма решений для отдельных односвязных областей. Применяя теоремы сложения специальных функций, входящих в решения, решения для всего тела записываем в каждой из систем координат в виде ряда с разделенными переменными этой же системы координат и удовлетворяем условиям на граничных поверхностях. В итоге получаем бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных, входящих в решения уравнений в виде ряда с разделенными переменными [44]. Этим методом в работе [50] решаются задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких телах для одного волнового уравнения. [c.52]

В дальнейшем ограничимся рассмотрением двухмерных электромагнитных волн, магнитное поле которых имеет единственную составляющую Ях=Ф(1/, -г), не зависящую от координаты X вдоль лент и удовлетворяющую волновому уравнению [c.251]

Уравнение эйконала. Любая ю компонент амплитуды полей световых волн в вакууме удовлетворяет волновому уравнению (2.12). В среде, скорость распространения электромагнитных волн в которой i , волновое уравнение принимает для любой из компонент вид [c.118]

Под Е (г, t) здесь можно понимать любую из проекций векторов Е и В. Амплитуда оо и начальная фаза ф плоской монохроматической волны не зависят от г и /, т. е. одинаковы во всем пространстве во все моменты времени ( однородная волна ). Никакие реальные волны этим свойством не обладают, поэтому образ плоской монохроматической волны представляет идеализацию, применимость которой к описанию реального волнового процесса зависит не только от рассматриваемого процесса, но и от характера решаемой задачи. Условия применимости этой идеализации в каждом конкретном случае требуют специального рассмотрения. Сейчас же необходимо заметить, что изучение свойств плоской монохроматической волны важно еще и потому, что любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции таких простых волн (благодаря линейности уравнений Максвелла сумма любых решений также является решением). [c.15]

Здесь V — фазовая скорость волны, т. е. скорость, с которой поверхность равных фаз перемещается в направлении волновой нормали N. Прежде чем вводить материальное уравнение, связывающее векторы Е и О в анизотропной среде, рассмотрим те свойства электромагнитных волн, которые следуют непосредственно из уравнений (4.3). Эти свойства отражают взаимное расположение векторов О, Е, В и N [c.180]

Пришедшая на смену старой волновой теории электромагнитная теория света практически не внесла ничего нового в постановку этого вопроса. Рассматривая свет как частный вид электромагнитных волн, она позволила обойтись без противоречивых механических представлений об эфире, но не затронула предположения о возможности определять движение тел относительно эфира. Считалось, что уравнения Максвелла справедливы в определенной системе отсчета, за которой и сохранилось название эфира. Задача экспериментального обнаружения этой привилегированной системы отсчета по-прежнему оставалась актуальной. Предполагалось, что при переходе к другой инерциальной системе отсчета уравнения Максвелла в отличие от уравнений механики Ньютона должны изменить свой вид. Другими словами, считалось, что принцип относительности, т. е. утверждение об эквивалентности всех инерциаль-ных систем отсчета, выполняется только для механических явлений и не справедлив для электромагнитных и оптических явлений. [c.392]

Представление о волновом движении электромагнитного ноля возникло после того, как Максвелл усовершенствовал существовавшие до него уравнения электромагнетизма и в результате получил уравнения, названные впоследствии его именем. Электромагнитные волны явились прямым следствием введенного Максвеллом в уравнения тока смеш ения. С пониманием возможности волнового движения пришло и понимание возможности использования резонаторов для наблюдения электромагнитных волн. Действительно, первое наблюдение электромагнитных волн Герцем было связано с использованием резонатора — так называемого вибратора Герца, который в дальнейшем широко использовался в технике и дожил до наших дней — многочисленные телевизионные антенны, расположенные на крышах домов, представляют собой слегка модифицированный вариант вибратора Герца. Отметим, что по современной терминологии вибратор Герца следовало бы назвать открытым резонатором, поскольку часть запасенной в нем энергии могла излучаться в свободное пространство, более того, сама возможность наблюдения электромагнитных волн была обусловлена именно этой особенностью вибратора Герца. [c.5]

Характеристические уравнения (56.26) и (56.30) и выражения для импедансов (56.25) и (56.31) совпадают, если одновременно выполняются условия (56.18) и (56j27). Следует иметь в виду, что импеданс (56.31) в общем случае зависит не только от частоты и от размеров гребенки, но и от параметра т), т. е. от волнового числа h электромагнитной волны подобная зависимость называется пространственной дисперсией . Зависимость Z от т] пропадает при выполнении условий [c.315]

Приведенные выше рассуждения делают очевидным общий результат из уравнений для электромагнитных волн и волн давления с днскретныхм спектрохм частот получается для волновых амплитуд система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых присутствуют нелинейные члены. [c.149]

Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной суперпозиции стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме. Уравнение (17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе. Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение с на с11у тас1 г)), что иначе можно записать в виде или [c.303]

Мы видим, что электромагнитная теория сразу привела к однозначному выяснению проблемы, представляющей чрезвычайные затруднения в старой волновой теории света. Действительно, опытами Френеля и Араго была экспериментально доказана по-перечность световых волн, но истолконание этих опытов в рамках представлений о распространении упругих волн в эфире было крайне трудно и потребовало введения искусственных предположений, чрезвычайно усложнивших теорию. Сейчас это совер-uieHHo не актуально, светоносный эфир неприемлем не только как конкретная среда, но и как абстрактная система отсчета (см. гл. 7), и отсутствие продольной составляющей свободной электромагнитной волны оказывается простым следствием уравнений Максвелла. Интересен вопрос о возможности экспериментального доказательства этого фундаментального свойства электромагнитных волн. На данном этапе имеет смысл указать на возможность эффектной иллюстрации их поперечности в опытах с современными источниками СВЧ (рис. 1.1). [c.22]

Воздействие ударных волн на твердые тела сопровождается появлением экстремальных давлений, температуры, деформации, рядом структурных изменений в веществе. Измерение этих величин позволяет создавать широкодиапазонные уравнения состояния, охватывающие области от твердой фазы до плотной плазмы. Ударная волна в исследуемом веществе возбуждается ударником, разогнанным пороховой пушкой, или в электромагнитном рельсотроне до скоростей, превышающих 1 км/с. Длительность ударно-волнового воздействия составляет 10 —10 с, давление превышает 5 ГПа. [c.433]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

В этой вводной главе дается обзор и вывод некоторых основных соотношений для классических электромагнитных полей. Исходя из у ивнений Максвелла и материальных уравнений, мы получим выражения для плотности и потока энергии электромагнитного поля. Будет доказана теорема Пойнтинга, а также выведены законы сохранения и волновые уравнения. Мы подробно рассмотрим распространение монохроматических плоских волн и некоторые их важные свойства, а также обсудим понятия фазовой скорости и групповой скорости волнового пакета, распространяющегося в среде с дисперсией. [c.9]

Интегральные принципы описания распространения электромагнитных волн широко применяются в теории оптических приборов [7, 8]. В линейной оптике основой такого описания является принцип Гюйгенса — Френеля, позволяющий с единой точки зрения построить геометрическую (см. Прилояуение 1) и дифракционную [7, 8] теории прибора. Имеющиеся в литературе расчеты нелинейно-оптических преобразователей основаны, как правило, на непосредственном решении укороченных волновых уравнений [1—6] с использованием различных упрощающих предположений [159—160]. Подход функций Грина, аналогичный подходу Гюйгенса — Френеля, может эффективно применяться в теории параметрического преобразования изображения из ИК-области в видимую [175—177, 219, 223, 224]. [c.54]

Рассмотрим теперь свойства нашей диффракционной системы при малых д. Следует отметить, что коэффициенты Ао и Во приближенно (Вычислены Ламбом [40]. Метод Ламба мож1но йа-звать 1квазистатическим — оя основан на юрашении статического решения с решением волнового уравнения и пригоден лишь при д<1. Хотя в 1[40] этот метод применен к звуковым волнам, перенесение его на электромагнитные волны не представляет никаких затруднений. В наших обозначениях формулы Ламба имеют вид [c.293]

Отметим, что любое решение системы уравнений (1 14) (1-17) обязательно удовлетворяет волновым уравнениям (1.20), (1,21), но обратное утверждение неверно, т. е, не всякое решение волноных уравнений дает электромагнитное поле, которое может существовать. Поясним ато на простом примере. Волновое уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение, поэтому волновые уравнения допускают, например, решение в виде бегущей волны электрического поля без магнитного поля. Уравнения Максвелла такого решения не допускают. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...