Групповое свойство

Уравнения газовой динамики в общем случае имеют первый порядок. Для получения полной системы законов сохранения здесь используется прямой подход [8, 9], в котором не нужны ни групповые свойства уравнений, ни вариационный принцип. [c.17]

Обсудим теперь групповые свойства операторов трансляции. Под оператором трансляции Т(п) будем понимать оператор, применение которого к кристаллической решетке совмещает ее с собой. Это означает, что [c.150]

Отметим также, что класс функционально-инвариантных решений волнового уравнения, как было показано, определяется структурой функции й (а, (/,/), удовлетворяющей системе (9,2) и имеющей вследствие этого вид (9.3) при условии (9.4). Сами функции /(Й) при этом могут быть, как указывалось выше, произвольными дважды дифференцируемыми (или аналитическими) функциями. Это свойство решений волнового уравнения и отражено в названии самого метода функционально-инвариантных решений. Название этого метода отражает некоторые общие групповые свойства решений волнового уравнения. [c.432]

Воспользуемся теперь групповыми свойствами канонических преобразований (см. гл. VII, п. 7). Оба преобразования, как qi. Pi, к Qi, Pi, так и Qt, Pi к qi, pi являются каноническими. Следовательно, результирующее преобразование от qi. Pi в qi. Pi тоже каноническое. Производящая функция результирующего преобразования равна разности двух производящих функций отдельных преобразований [см. (7.7.3)]. Отсюда получается следующее замечательное соотношение [c.300]

Ввиду наличия у поворотов групповых свойств произведение кватернионов [c.346]

Отсюда легко установить основное групповое свойство. Возьмем любую аналитическую функцию / (r i, ГС2,. . ., Xjn) и проследим за ее изменением при движении точки х вдоль траектории. Имеем [c.407]

До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства 2jv+2i как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению dw. Однако из групповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства Ег +2 вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения Дгг для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства E2N+2 в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предполагается, что канонические уравнения движения интегрируемы). [c.308]

Обычно от преобразований q = q (l, s, t) требуют (иногда по традиции, иногда с дальним прицелом) выполнения групповых свойств [c.106]

Рассмотренные ниже сплавы нескольких семейств с металлургической точки зрения весьма различны. Для простоты изложения каждое семейство описано и проанализировано отдельно, а важные групповые свойства затем сопоставляются и обсуждаются в заключительных разделах. Очередность рассмотрения различных сплавов не имеет большого значения, но все же, исходя из приближенной степени их распространенности, была выбрана такая последовательность стали, алюминиевые, титановые и никелевые сплавы. [c.51]

Г. А. Лоренц нашел даже носящие его имя преобразования Лоренца , не заметив, правда, что они обладают групповыми свойствами. Для него уравнения Максвелла в пустом пространстве были справедливы только в определенной системе координат, которая казалась преимущественной благодаря своей неподвижности относительно всех остальных систем координат. Это было поистине парадоксальное положении, потому что теория, казалось, ограничивает инерциальную систему сильнее, чем классическая механика. Это обстоятельство, которое с эмпирической точки зрения представлялось совершенно необоснованным, должно было привести к специальной теории относительности. [c.11]

Нфй точка ц(Г, Н) не принадлежит критич, поверхности. В окрестности ц оператор может быть линеаризован след, образом если ц=( + 5ц (где S i в нек-ром смысле мало), то ур-ние ц = Л,(1 можно записать в виде 5/i = f 5 i + 0((Sp) ), где Rs—линеаризованная часть оператора Л,, для к-рой существует набор собственных векторов (ортов) ву и собственных значений р>(. ) , причём групповое свойство R, обусловливает степенной вид зависимости (> j — критич, показатель, не завися- [c.623]

Согласно (3.10), если Ф(2) и 4 (2 ) удовлетворяют граничным условиям, то Ф(С12) и F( i2) ( l — произвольное действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф г) и 2W z) (С2 — произвольный действительный параметр) также будут решениями. Следовательно, общее решение, порожденное некоторыми решениями Ф(2) и 4 (2), имеет вид соответственно С2Ф(С12) и 2 F( i2) иначе говоря, множество искомых функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Согласно определению группового свойства Р ], функции Ф(2) и Ч (2) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.60]

Согласно (3.27), если ф (Р и a ( ) удовлетворяют граничным условиям, то ф (С1 )+С2 и ij ( 3 ) + С4 соответственно -также будут решениями краевой задачи, и множество искомых функций допускает группу (Сь Сз — произвольные действительные, а Сг, i — произвольные комплексные числа, С2 С4 = 0). Согласно определению группового свойства функции ф ( ) и должны удовлетворять функциональному уравнению [c.67]

Пусть Oih x,y,z) представляют собой некоторое решение поставленной канонической сингулярной задачи. Тогда, очевидно, будут решением также функции Oik x, у, zС ), т. е. множество искомых функций обладает групповым свойством, согласно определению которого функции Oik x,y,z) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.68]

Легко заметить, что указанное групповое свойство имеет место также в том случае, когда в точке О сходится произвольное число секторов с различными упругими постоянными, причем каждый из секторов однороден и анизотропен, а вместо трещины может быть пустой сектор. Поэтому применяемый метод решения годится и в этом более общем случае. [c.95]

Из группового свойства и из общего решения уравнений равновесия при помощи функции Эри вытекает, что сингулярное решение краевой задачи должно иметь вид [c.112]

Производя очевидную замену переменной интегрирования во втором слагаемом и используя групповое свойство (О а — [c.237]

Может показаться, что мы, перейдя от приведенных функций распределения к корреляционным функциям, ничего не добились, так как нелинейные уравнения (3.2.6) выглядят намного сложнее, чем линейные уравнения (3.1.16). Заметим, однако, что формальная простота уравнений (3.1.16) обманчива. Дело в том, что 5-частичные функции распределения удовлетворяют нелинейным граничным условиям, причем эти условия различны для функций разных порядков. С другой стороны, задаваемые источниками граничные условия в уравнениях (3.2.6) линейны. Более того, они одинаковы для всех корреляционных функций и очень просты О при t —оо. Ниже мы покажем, что цепочка уравнений (3.2.6) предпочтительнее для построения теории возмущений, поскольку корреляционные функции обладают важным групповым свойством [c.183]

МИ распределения и корреляционными функциями легко доказать, что условие (3.2.8) эквивалентно групповому свойству (3.2.7) (см. задачу 3.7). [c.184]

Этот оператор обладает групповым свойством [c.17]

Так как правые части системы (1.2) не зависят явно от времени, то выполняется соотношение (групповое свойство динамической системы) [c.10]

Доказательство сформулированного общего приема вычисления первого интеграла осуществляется прямой подстановкой решения Х = С, . . ., Сп) функцию F x). При этом приходится рассматривать выражения <Рк[г, Си., Сп), , i,. .., Сп)], которые, в силу группового свойства решений автономной системы [c.124]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка /у (х , u/i, Pik) = 0, где а / —незави-симыо переменные, —искомые ф-ции, p,-ff--=du jdxi. Всевозможные за.чены переменных х/, Uf,, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопарамегрич, подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след, процедура. [c.19]

Оператор Т удовлетворяет групповому свойству Т Т =Т , Г (,=о = 1 и задаёт однопараметрич. группу преобразований фазового пространства на себя (параметром группы является вр мя t). Ipynna преобразований фазового пространства, задаваемая оператором Т , наз. фазовым потоком. Ф. т. являются орбитами этой группы. Фактически Ф.т. образуется в результате движения фазовой точки. v(/) в фазовом пространстве под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точке. ч и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т. Для получения полной Ф.т. необходимо максимально продолжить кривую (1) не только в область t>0. но и в область (<0. [c.266]

Тем самым в Ф. п. выделяется фазовая траектория, проходящая через точку. v . Оператор Т задаёт однопарамет-рич. группу преобразований Ф. п. на себя (параметр— время I) и удовлетворяет групповому свойству Т т =Т . группа преобразований Ф. п., задаваемая оператором Т , наз. фазовым потоком. [c.267]

При переходе от ячеечных к блочным спинам происходит также соответствующий переход от исходного ячеечного к блочному гамильтониану, к-рый осуществляется посредством преобразования Каданова (L. Р. K.adanoff, 1966) К . обладающего групповым свойством К,ъ [c.622]

Реиормализационная группа (РГ) для критических явлений. Сочетание описанных выше операций крупнозернистого разбиения и изменения масштаба определяет совокупность преобразований РГ Д , обладающих групповым свойством = (точнее, полугрупповым, т. к. для них не определено обратное преобразование). Окончательно преобразование R, для РГ можно определить как преобразование = в т. н. параметрическом или (1-пространстве, где каждая точка ц представляет собой набор параметров эфф, блочного гамильтониана, а совокупность преобразований (/Ij—семейство нек-рых траекторий в нём. В общем случае размерность пространства ji превосходит размерность пространства параметров исходного ячеечного гамильтониана (го, и, г) и растёт по мере роста числа преобразований РГ, однако обычно удаётся ограничиться подпространством основных (доминирующих) взаимодействий. Наиб. физ. интерес в методе РГ представляют неподвижные точки ц, инвариантные относительно преобразований симметрии т. е. обладающие свойством при нек-ром конечном S (а следовательно, и в пределе s-> ). Для этих точек вводится понятие критической поверхности, [c.623]

В большинстве случаев преобразования, входящие в ДС, образуют однопараметрич. группу Г . Параметр t, интерпретируемый как время, обычно принимает любые действительные или любые целые значения. В первом случае говорят о ДС с непрерывным временем (потоке), во втором — о ДС с дискретным временем (каскаде). Иногда t принимает лишь неотрицат. значения и Т является не группой, а полугруппой преобразований. (В этом случае иногда употребляют термины п о л у п о т о к и п о л у -каскад .) 11)упповое свойство системы 7 выражается тождеством Т Т х= Т х, справедливым для любого хеХ и любых двух значений параметра. Вследствие группового свойства каскад Т полностью определяется преобразованием Т= Т и часто отождествляется с ним. Инвариантность меры(1 означает, что для любого множества и любого г О выполняется равенство i(T A)= = ц(/1), где Т А= Т ) Ы = хеХ Т хе А — полный прообраз множества А при отображении Т . [c.625]

Обобщение этих правил на произведения любого числа корреляционных функций 51 52 " 9sn очевидно. Как и в рассмотренном нами примере, члены, связанные с произведениями "9sn обращаются в нуль благодаря групповому свойству (3.2.7), а итерационная процедура приводит к сумме членов 6si9s2 "9sn > 9si s2 "9sn т-Д- [c.186]

При разложении по целым степеням 1/В линейные и нелинейные члены в (11) также будут выражаться через некоторые целые, степени, т. е. целые степени обладают групповым свойством. Для замкнутости нобходимо, чтобы таким свойством было наделе- [c.282]

Представление реше ия в виде (2) не удовлетворяет полным урав 1ениям Навье — Стокса. Основываясь на разложениях (2), подобно тому, как это было сделано в 2, можно построить общее решение урав ений Навье — Стокса (npi условии, что абор собственных функций w, q обладает полнотой в С —1, 1] (О si0=in), что предполагается), если ввести разложение по более полному набору показателей степени, включающему, в частности, степени, которые возникают при подстановке (2) в нели 1ейные чле 1Ы. Это семейство степеней долж 0 обладать групповым свойством, так чтобы линеЙ ые и нелинеЙ ые члены давали показатели степени из того Hie семейства. Дополнительные члены разложения возникают как решения неоднородных линейных урав ений, правая [c.314]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...