Некоторые частные решения волнового уравнения

Некоторые частные решения волнового уравнения [c.289]

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 291 [c.291]

Рассмотрим некоторые частные решения уравнений (1.6), описывающие плоские волны в безграничной упругой среде при отсутствии объемных сил. Первое решение соответствует случаю а = О в (1.15). Решение волнового уравнения (1.16) для скалярного потенциала имеет вид [c.23]

Принцип Гюйгенса (и Гюйгенса — Френеля), основанный на опытах, представляет собой приближение, применение которого в некоторых частных случаях дает удовлетворительные результаты. Конечно, более точные результаты и строгое их объяснение возможно лишь на основе более глубокой теории (решения волнового уравнения). [c.387]

В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика) дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла) дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной. [c.105]

Не останавливаясь на общем решении этого волнового уравнения, рассмотрим здесь лишь процесс колебаний во времени. Отклонение является функцией как времени I, так и координаты X. Можно найти некоторые частные решения уравнения (2.46), представив искомую функцию в виде произведения двух функций функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координаты [c.45]

Рассматривая волновые процессы в волноводе, аналогично тому, как это делалось в предыдущих главах для полупространства, можно выделить задачи двух типов. В задачах первого типа мы не интересуемся источником волнового движения и ищем лишь возможные состояния волновода, согласованные с определенными условиями на его поверхности. По сути, речь здесь идет о поиске некоторых резонансных ситуаций — таких частных решений уравнений движения для гармонических процессов, которые обеспечивают нулевые граничные условия относительно некоторого числа статических и кинематических факторов. Эти частные решения называются нормальными модами или нормальными волнами в волноводе. [c.110]

Изложенный путь нахождения точных решений и их дальнейшего анализа (как правило, приближенного) эффективен лишь для некоторых частных законов движения границ, когда задачу удается решить методом разделения переменных. Более общий подход к поиску приближенных решений свободных колебаний мембраны при произвольном, но медленном движении границ основан на использовании инвариантных преобразований волнового уравнения (см. 5.7). [c.218]

Покажем, что закон движения шнура (4.26) и, конечно, его частный случай (4.25) являются решениями некоторого уравне- s(x,tg) ния движения, которое называется волновым уравнением. Эго волновое уравнение можно получить предельным переходом из уравнения (3.47). [c.71]

Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано в гл. 2, служит использование семейства характеристик в (ж, )-плоскости вдоль каждой характеристики уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. В некоторых случаях затем удается найти решение в аналитическом виде. Но в худшем случае уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим пошаговым численным интегрированием. В любом варианте решение можно построить последовательным локальным рассмотрением малых областей не обязательно вычислять сразу все решение в целом. Это, конечно, соответствует основным идеям волнового движения за любой малый интервал времени на поведение в выбранной точке могут оказать влияние только те точки, которые расположены настолько близко, что волны от них успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос возможны ли такие локальные вычисления для системы (5.1) Если они возможны, то система является гиперболической и можно сформулировать соответствующее точное определение. [c.116]

Теперь мы можем использовать результаты предыдущей главы для исследования процесса распространения волновых импульсов конечной ширины в среде, для которой справедливо обобщенное волновое уравнение (3.33) и его многомерные варианты. Благодаря тому, что эти уравнения являются линейными и причинными, знание их функций Грина дает возможность рассмотреть и построить решения задач о возбуждении и распространении волновых импульсов от источника, который начал действовать в первоначально невозмущенной среде в определенный момент времени (который всегда можно принять за нулевой) по некоторому, зависящему от времени закону. В обычных граничных задачах для линейных дифференциальных уравнений в частных производных эта проблема легко решается с помощью принципа Дюамеля, позволяющего выразить решение через свертку заданной функции источника с функцией Грина. Из-за наследственного последействия точечного источника в изучаемых моделях сред этот метод требует модификации [39]. [c.176]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

В этом уравнении а — произвольная постоянная. Нетрудно видеть, что при а комплексном решение уравнения (13.12) также даёт некоторое волновое движение. Основное решение, рассмотренное Н. Е. Кочиным, соответствует частному значе- [c.108]

Теперь рассмотрим те вопросы теории волн на поверхности воды, для решения которых мы желаем применить метод ГИУ. Характерная особенность теории волн на воде заключается в наличии свободной поверхности или границы раздела с другой жидкостью (например, с атмосферой), на которой может поддерживаться волновое движение (где восстанавливающим механизмом является гравитация), даже если основное дифференциальное уравнение, описывающее движение внутри жидкости, будет эллиптическим, например уравнение Лапласа для потенциала скорости ф (v = УФ) в случае безвихревого течения невязкой и несжимаемой жидкости. Такие предположения обычно применяются в задачах о волнах на поверхности воды они существенно нарушаются тогда, когда происходят некоторые особые физические явления, например разрушение волн. Исключая эти явления и некоторые другие эффекты, например поверхностное натяжение и т. д., мы получим [2] для Ф следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных внутри области D, занятой жидкостью [c.19]

Диспергирующие волны не поддаются классификации так легко, как гиперболические волны. Как уже объяснялось в связи с решением (1.3), о них идет речь при рассмотрении определенных типов осциллирующих решений, описывающих волновые пакеты. Такие решения получаются при интегрировании различных уравнений в частных производных и даже некоторых интегральных уравнений. Сразу ясно, что задача характеризуется дисперсионным соотношением [c.15]

Стандартный путь исследования задачи о распространении волн состоит в поиске подходящего приближенного метода решения волнового уравнения. Точные аналитические рашения получаются только для некоторых частных случаев профиля п ). Например, в методе Венцеля— Крамерса— Бриллюэна (ВКБ) [11] ищется приближенное решение, которое является асимптотическим по параметру е = ( п /( г ). Малость е означает, что показатель преломления [c.157]

В наиболее общем виде процесс распространения воли в среде описывается волновым уравнением (см. 53). В некоторых частных случаях его приближенное решение можно найти с помонтью геометрического 11ост])оеипя, основанного на принципе Гюйгенса. [c.216]

Прежде чем заниматься решением киантоиой задачи о собстненных значениях для новых конкретных систем, мы подробнее осветим общую связь между дифференциальным уравнением Гамильтона (у. Г.) некоторой механической проблемы и соответствующим волновым уравнением, т. е. в рассмотренном ранее частном случае связь кеплеровои задачи с уравнением (5) первого сообщения. Данная общая связь пока была лишь кратко выражена аналитическим образом посредством неясного самого по себе преобразования (2) и столь же неясного перехода от приравнивания нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным ). [c.679]

В. Е. Захаров и С. В. Манаков применили метод обратной задачи рассеяния для анализа укороченных уравнений (5.10), (5.16) при точном выполнении условий фазового синхронизма [3]. Авторами [3] указан алгоритм построения некоторого класса точных решений укороченных уравнений, соответствуюш их частному впду матриц рассеяния. В [3] также получены и проанализированы асимптотические (при ->- оо) решения задачи о резонансном рассеянии волновых пакетов друг на друге. Эти решения проясняют ряд тонких вопросов, связанных с влиянием соотношения групповых скоростей и исходных параметров волновых пакетов на характер их взаимодействия. [c.115]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...