Сферические волны Волновое уравнение для сферических волн

Волновое уравнение для сферических волн [c.202]

Волновое уравнение для сферических волн получим из общего волнового уравиения (П.32), записав в нем оператор Лапласа для потенциала скоростей Дф в сферических координатах. Поскольку Ф в данном случае есть функция только одной полярной координаты г, то в выражении (Н.36) для лапласиана ф в сферических координатах отличным от нуля будет лишь первый член, и линеаризованное уравнение (П.32) для этого случая будет иметь следующий вид [c.202]

Уравнение (3.78) — волновое уравнение для сферических волн, и решением его, как и для уравнения (2.20) предыдущей главы, является [c.77]

Общий вид решения волнового уравнения для сферической волны Р = (Рг/г) [Ф1 Ц — г с) -f Ф2 ( + г 1с)], [c.13]

Волновое уравнение для сферических и цилиндрических волн [c.31]

Общий вид решения волнового уравнения для сферической волны примет вид [c.39]

Приведем основанные на этих соображениях выкладки. Решение волнового уравнения для шаровой волны представляется в форме ряда по сферическим функциям. [c.382]

Как известно из курса электричества, колеблющийся диполь является источником сферической электромагнитной волны, векторы напряженности которой на больших расстояниях от источника , в так называемый волновой зоне, равны по величине и взаимно перпендикулярны. В этом легко можно убедиться , если воспользоваться сферической системой координат. Положим, что радиус-вектор R, проведенный из точки О в точку наблюдения М, составляет угол О с направлением дипольного момента р (рис. 2.5). Решая волновое уравнение для волновой зоны, можно получить следующие выражения для (t) и Н (t) [c.30]

Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения, записанного в сферических координатах, предположив, что производные по полярному и азимутальному углам равны нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако представляет интерес вывести для этого случая уравнение распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выявляются существенные особенности звукового поля. [c.57]

Моды колебаний большинства твердых тел являются результатом образования в них системы стоячих волн. Эти моды выводятся из волнового уравнения для исследуемой колебательной системы, и каждая из них связана с целой серией обертонов, которые получаются в результате решения той же системы уравнений. Важными исключениями.из этого правила, помимо идеализированной системы с сосредоточенной массой и упругостью, являются тонкое кольцо и тонкая сферическая оболочка, колебания которых описываются соответственно аксиально симметричной и сферически симметричной модами. Эти две простейшие моды являются единственными решениями уравнений, которые по своему виду ближе к уравнению движения, чем к волновому уравнению. Прп выводе этих уравнений приближенно предполагается, что толщина стенок мала и поэтому напряжения и деформации постоянны на всем протяжении колеблющегося тела, причем для каждой его части справедлива одна и та же величина коэффициента связи. Следовательно, коэффициенты связи и кр, характеризующие свойства материала, могут быть определены с помощью этих двух колебательных систем в результате прямого эксперимента без поправок на геометрию образца. Поэтому эти случаи представляют особый интерес при рассмотрении принципов построения преобразователей и их эквивалентных схем. [c.266]

Определим общее решение волнового уравнения, описывающее сферическую волну. Будем писать волновое уравнение, например, для потенциала скорости [c.327]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Рассмотрим сферические волны, идущие от источника / до поверхности о и от поверхности о до рассматриваемой точки Р. Для решения этой задачи используем волновое уравнение Д Алам-бера в сферических координатах. Это волновое уравнение, как известно, в общем случае имеет следующий вид [c.266]

Эти уравнения для волновых амплитуд принято называть уравнениями генерации . Для их вывода мы до сих пор ограничивались изотропной средой и волнами с одним направлением поляризации. Однако обычно в приложениях важную роль играют также анизотропные вещества, поскольку в них нелинейные эффекты проявляются уже во втором порядке. Кроме того, как в изотропных, так и в анизотропных веществах наблюдаются эффекты, в которых большое участие принимают компоненты поля с различными направлениями поляризации. В этих общих случаях система уравнений генерации сложным образом зависит от направлений распространения и поляризации отдельных волн. В дальнейшем мы сделаем упрощающие предположения, при которых уравнения генерации для компонент Е. будут подобны уравнениям для изотропной среды при фиксированном направлении поляризации. Вновь предположим, что волновые векторы всех участвующих в процессе волн имеют одно и то же направление, за которое мы выберем ось г лабораторной системы координат. Этого можно достичь, если направить излучение перпендикулярно к соответствующим образом вырезанной поверхности кристалла. Кроме того, мы ограничимся оптически одноосными кристаллами и расположим ось у лабораторной системы координат в плоскости главного сечения, т. е. в плоскости, образуемой направлением распространения луча и оптической осью. Ось х перпендикулярна этой плоскости. При таком выборе осей. -компонента волны с частотой I распространяется как обыкновенная водна с волновым числом = <7о (Л, а /-компонента — как необыкновенная волна с волновым числом ао /) . (Мы обозначаем через волновое число света с направлением поляризации .) Наконец, мы сделаем достаточно часто выполняющееся предположение, что эллипсоид линейного показателя преломления мало отклоняется от сферической формы. При этом предположении оказывается возможным во многих случаях пренебречь [c.101]

Если звуковые волны, излучаемые точечным источником (размеры распространяются в однородной среде равномерно по всем направле-шшл, то в (4.1) потенциал будет функцией только 2, т.е. зависит только от расстояния от источника и от времени и ке будет зависеть от и . В этом случае ш будем иметь дело с шаровой или сферической волной, для которой волновое уравнение принимает вид [c.31]

Уравнение (13.11) не является искомым точным уравнением, так как только решения типа 5-волны с малыми к совпадают с истинными решениями физической проблемы. Чтобы получить уравнение для расширенной волновой функции, которая бы в точности совпадала с ф /") при г а, необходимо обобщить уравнение (13.11) на произвольные значения к и решения, не обладающие сферической симметрией. Это обобщение проводится в приложении Б. Здесь нам достаточно указать, что в результате уравнение (13.11) видоизменяется следующим образом. [c.303]

Здесь г — исходный радиус волнового фронта. Отличие этих уравнений от уравнения Бюргерса для плоской волны состоит в том, что для сферических расходящихся волн как бы увеличивается (экспоненциально нарастает с г) эффективная вязкость (в сходящихся волнах эта вязкость экспоненциально убывает). В цилиндрических расходящихся волнах вязкость линейно растет с г (в сходящихся — линейно убывает с г). Такие качественные рассуждения полезны, но не совсем точны, поскольку при получении [c.85]

В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар указал, что общий характер решения различен для четного и нечетного числа пространственных измерений. Точные утверждения будут приведены ниже, но можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным числом измерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай сферической симметрии был рассмотрен первым, и цилиндрическое волновое решение будет выведено из сферического волнового решения. Здесь мы получим решение только для уходящих волн. [c.214]

При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. [c.254]

Геометрические эффекты в простейшей форме возникают при рассмотрении сферических волн. Если линеаризованная теория описывается волновым уравнением, то решение для расходящейся сферической волны имеет вид ) [c.302]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

Но иногда требование М < 1 оказывается недостаточным число Маха и сжатие среды могут быть малыми, в то время как смещения частиц не будут малы по сравнению с характерным размером движения жидкости. Это получится, если пространственная неоднородность поля определяется не волновым характером процесса, а геометрией задачи. Таково, например, движение в сферической волне вблизи центра (расхождение волны) или протекание жидкости в трубе переменного сечения. В этих случаях масштаб пространственной неоднородности не зависит от скорости звука и сохранился бы даже при полной несжимаемости среды. При таких движениях конвективная производная может не быть малой по сравнению с локальной производной даже при малом числе Маха поле быстро меняется в пространстве независимо от скорости временного изменения. Особенно нагляден пример установившегося протекания жидкости в трубе локальная производная любой величины, характеризующей течение, равна нулю во всех точках, а конвективная производная отлична от нуля критерий малости числа Маха при малой скорости течения будет выполнен, но критерий u/L 1 нарушится и линеаризацию уравнений произвести будет нельзя. Только требование u L < 1 универсально для любой формы волны и для любой сжимаемости среды. [c.40]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Волновые процессы. Я. И. Френкель (1944), рассматривая плоские монохроматические сейсмические волны в насыщенной пористой среде, установил существование двух типов продольных волн и отметил чрезвычайно быстрое затухание волн второго типа. Для анализа волн первого типа Френкель использовал разложение в ряды по параметру, являющемуся отношением некоторого характерного времени затухания к периоду колебания в волне, т. е. ограничился анализом случая малых частот. Френкель рассмотрел также характер затухания поперечных волн малых частот. Ааал огичйый анализ для варианта сферической симметрии на основе уравнений Френкеля был выполнен в работе [c.594]

Волновое уравнение в сферических координатах для сфери-чески-симметричной волны легко получить из общего вида волнового уравнения в векторной записи [c.274]

Вплоть до публикации Максвеллом в 1873 г. Трактата об электричестве и магнетизме успешное применение идей Френеля для решения большого числа задач рассеяния и дифракции основывалось на физической модели распространения через упругую среду. В частности, в 1861 г. Клебш описал дифракцию плоской волны на сферическом препятствии. Удивительно, что большинство из этих решений было подтверждено электромагнитной теорией уже в рамках уравнений Максвелла. Типичным примером являются решения Клебша для сферы. Такой успех обусловлен тем, что и электромагнитные, и упругие поля могут быть в принципе описаны скалярными функциями, удовлетворяющими скалярному волновому уравнению. Таким образом, это [c.247]

Если цилиндрические и сферические волны расходящиеся, то нелинейные эффекты проявляются значительно слабее, чем для плоской волны. Здесь вступает в силу геометрический фактор и плотность энергии волны, приходящаяся на единицу площади волнового фронта, убывает. Если произвести для сферически симметричных волн (/г=2) замену и=иг1гд и г= п г1гд), а для цилиндрически симметричных волн (/г=1) замену и=и г1г ) я г=2(г/г У то получаются уравнения [c.85]

В 8 - 10 приближенные методы используются для расчета коэффициента отражения плоской волны. Результаты, помимо самостоятельного интереса, имеют большое значение также и для решения задачи о поле точечного излучателя в слоистой среде, поскольку сферическая волна может быть разложена на плоские. К краевой задаче для ошомерного волнового уравнения сводится и расчет звукового поля в волноводе методом нормальных волн [52. гл. 7). [c.162]

Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению при г Фга, принципу, предельного поглошения и условию в источнике. Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что при <7-> 0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится к сферической волне р(г го) = - (4яЛ) ехр(/Аг Л Л), Решение для среды с (г) - I <7 I г строится аналогично изложенному вьпие. Его можно получить из (15.48), полагая <7=/ <7 I, При зтом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы оодынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура 7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно анализируются в с аяхволноводногоиантивдановодного распространения. Там же построено аналогичное (15.48) точйое решение для поля параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с = [c.344]

Источник сферической волны в твердой среде. В жидкой среде простейшим источником упругой волны является пульсирующая сфера малого радиуса. Однако любой другой источник нулевого порядка (источник с конечным значением объемной скорости), если только его размеры малы по сравнению с длиной волны, тякже излучает сферическую волну. Поэтому предположение о сферической форме излучателя делалось исключительно для простоты рассуждений. Сложнее положение в случае излучателя в твердой среде. Здесь характер волны будет существенно зависеть от формы излучателя.. Мы будем предполагать, что излучатель имеет цилиндрическую симметрию. По.этому поле упругих деформаций и напряжений может быть описано прп помощи трех вспомогательных функций ( потенциалов ) ф , 1( о Хо- удовлетворяющих волновым уравнениям [c.197]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Сферические волны общего типа. —Чтобы изучить несколько более сложные волны, излучаемые сферой, следует рассмотреть решения волнового уравнения, которые зависят не только от О, но также и от г и i. Мы ограничимся изучением волн, которые зависят только от угловой координаты О, т. е. симметричны относительно полярной оси (этого рсда волны называются зональными) и не зависят от 9. Анализ движения волн, которые зависят также и от долготы (азимута) 9, более сложен для изучаемых в этой книге задач рассмотрения таких волн не требуется. Волновое уравнение, которое требуется решить, в случае зональных волн следующее [c.345]

Это означает, что при больших г имеется вклад в интеграл от плоско волны при к-г л — с I М и от сходяшейся сферической волны при г с t Расходящаяся сферическая волна не дает вклада, так как для t < О производ ная по (U от kr — со/ всегда положительна. Следовательно, граничным уело вием, соответствующим ситуации, когда при = — оо в направлении к посы лается волновой пакет плоских волн, является g 0. При полющи тех же рассуждений мы получим при + оо вклады как от плоской волны, так и от расходящейся сферической волны при г t. Поскольку уравнения Максвелла линейны, то амплитуда этой сферической волны, называемой рассеянной волной, пропорциональна go- [c.22]

Несмотря на то, что выше мы не налагали никаких ограничений на функции и , такие ограничения возникают из-за особенностей, Щ)исущих сферическим волнам, В частности, если рассматривать расходящуюся сферическую лну, представляющую наибольший интерес для приложений, то нетрудно убедиться, о в случае ограниченного во времени волнового оцесса звуковое давление должно удовлетворять соотношению J (з оИ-О. В самом деле, проинтегрируем линеаризованное уравнение Эйлера (1,4) по времени в пределах от - до .В результате полу- [c.16]

Для определения уравнения профиля несферической анаберрационной поверхности используется принцип Ферма (рис. 71). Из предметной точки А выходит сферическая волна, нормаль к которой является лучом Л М. После преломления волновой фронт должен остаться сферическим и стягиваться в точку изображения А . Оптические длины путей лучей по оптической оси АО А и по направлению AMA должны быть одинаковыми. Начало системы координат принимается в вершине поверхности. Преобразование выражений для опрбделения длин путей лучей, приводит к уравнению [c.132]

Для упрощения анализа рассматривается движение в ограниченной области поверхности сферы (в некоторой р-плоско-сти), в которой сфера локально заменяется плоскостью, но при этом учитывается изменение кориолисового параметра в северном направлении. Можно показать, что как сферические гармоники, соответствующие бездивергентному движению, так и более общие сфероидальные гармоники, относящиеся к движению с дивергенцией, на самом деле сводятся локально к волновым движениям, удовлетворяющим уравнениям движения на р-пло-скости [7, 8]. Поэтому первый шаг заключается в том, чтобы изучить взаимодействие таких волн на р-плоскости. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...