Образование волны. Волновое уравнение

Образование волны. Волновое уравнение [c.25]

Ясно, что при наличии сферы уравнение плоской волны не может удовлетворять граничным условиям на поверхности сферы, а поэтому надо допустить, что с внесением сферической неоднородности обязательно появится вторичная волна, удовлетворяющая волновому уравнению. Причем полное поле, образованное из плоской и дополнительной волн, должно полностью отвечать граничным условиям. [c.298]

Теория сверхзвукового обтекания тонкого тела, основанная на аппроксимации уравнения для потенциала скорости волновым уравнением, ввиду его линейности, не позволяет обнаружить эффекты, связанные с образованием ударных волн. [c.255]

Моды колебаний большинства твердых тел являются результатом образования в них системы стоячих волн. Эти моды выводятся из волнового уравнения для исследуемой колебательной системы, и каждая из них связана с целой серией обертонов, которые получаются в результате решения той же системы уравнений. Важными исключениями.из этого правила, помимо идеализированной системы с сосредоточенной массой и упругостью, являются тонкое кольцо и тонкая сферическая оболочка, колебания которых описываются соответственно аксиально симметричной и сферически симметричной модами. Эти две простейшие моды являются единственными решениями уравнений, которые по своему виду ближе к уравнению движения, чем к волновому уравнению. Прп выводе этих уравнений приближенно предполагается, что толщина стенок мала и поэтому напряжения и деформации постоянны на всем протяжении колеблющегося тела, причем для каждой его части справедлива одна и та же величина коэффициента связи. Следовательно, коэффициенты связи и кр, характеризующие свойства материала, могут быть определены с помощью этих двух колебательных систем в результате прямого эксперимента без поправок на геометрию образца. Поэтому эти случаи представляют особый интерес при рассмотрении принципов построения преобразователей и их эквивалентных схем. [c.266]

Эффекты, сходные с излучением Вавилова — Черенкова, хорошо известны в области волновых явлений. Если, например, судно движется по поверхности спокойной воды (озера) со скоростью, превышающей скорость распространения волн на поверхности воды, то возникающие под носом судна волны, отставая от него, образуют плоский конус волн, угол раскрытия которого зависит от соотношения скорости судна и скорости поверхностных волн. При движении снаряда или самолета со сверхзвуковой скоростью возникает звуковое излучение ( вой ), законы распространения которого также связаны с образованием так называемого конуса Маха . Явления эти осложняются нелинейностью аэродинамических уравнений. В 1904 г. Зоммерфельд рассчитал электродинамическое (оптическое) излучение подобного рода, которое должно возникать при движении заряда со скоростью, превышающей скорость света. Однако через несколько месяцев после появления работы Зоммерфельда создание теории относительности сделало бессмысленным рассмотрение движения заряда со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, и расчеты Зоммерфельда казались лишенными интереса. Физическая возможность появления свечения Вавилова — Черенкова связана с движением электрона со скоростью, превышающей фазовую скорость световой волны в среде, что не стоит ни в каком противоречии с теорией относительности. [c.764]

Заметим, что условия (53.5) получены не как запись граничных условий, которые всегда необходимы для получения решения задачи, сформулированной в виде дифференциальных уравнений. Они получены как следствие более общего физического, а не математического требования (53.4) цикличности волнового поля, что весьма существенно, посколы это требование в явном виде содержит предположение об образовании стоячих волн как результата суперпозиции бегущих волн. [c.316]

Солитон, т.е. изолированная бегущая волна, является часто встречающийся образованием в гидродинамике волнового движения. Линейные уравнения гидродинамики могут иметь в качестве решений только монохроматические волны. Одна изолированная волна порождается нелинейными членами при колебательном движении. [c.5]

Уравнения (3.13) впервые получены Леонардом Эйлером и называются уравнениями Эйлера. Теория движения идеального газа математически хорошо разработана и, как указывалось, во многих задачах дает удовлетворительную картину действительных движений. В то же время теория идеального газа не пригодна для объяснения явления поверхностного трения на поверхности обтекаемого тела, сопротивления формы, прилипания частиц газа к граничной твердой поверхности и т. д. В частности, эта теория приводит к парадоксальному результату тело, равномерно движущееся в безграничном газе со скоростью, меньшей скорости звука, не испытывает никакого сопротивления (парадокс Даламбера). При равномерном движении тела в газе со скоростью, большей скорости звука, образование ударных волн приводит к появлению сопротивления тела, называемого волновым сопротивлением. Хотя это явление изучается в рамках модели идеальной жидкости, само образование ударной волны связано с влиянием вязкости и, таким образом, в определении волнового сопротивления вязкость учитывается косвенным образом. [c.110]

Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более широкого класса модулированных волн — несинусоидальных (и даже не обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения параметров дисперсии О и нелинейности N. Когда N < В, волна будет квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом волну можно записать в виде А(г, ) ехр(г ) - - к. с., где А — медленно изменяющаяся амплитуда, а ф — полная фаза (эйконал). В рамках такого описания можно построить нелинейную геометрическую оптику (по поводу линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения зависит от ее амплитуды (это само-воздействие именно к такому классу явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов). [c.411]

Первый шаг для изучения сильно нелинейных циклотронных волн — вьшод упрощенных уравнений, учитывающих лишь основные линейные и нелинейные эффекты. В ленгмюровских волнах вследствие определяющей зависимости ленгмюровской частоты от плотности плазмы основным механизмом, приводящим к обсуждавшимся выше сильно нелинейным эффектам, таким как коллапс волн или образование солитонов, является формирование ям плотности в области локализации волнового пакета. Частота циклотронных волн зависит в основном от внешнего магнитного поля. Поэтому, как показано в [4.11], основным нелинейным механизмом, определяющим поведение циклотронных волн, является образование ям постоянного магнитного поля в области локализации циклотронных волн. [c.69]

В общем случае это уравнение имеет периодические решения (волновые пакеты, образованные огибающей исходного модулированного волнового пакета ), в которых а осциллирует между двумя простыми пулями числителя правой части. Уединенные волны соответствуют предельным случаям. [c.505]

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к возникновению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы, как и сильные, представляют собой в действительности некоторые переходные слои. Однако в отличие от ударных волн, ширина которых зависит только от их интенсивности и постоянна во времени, ширина слабого разрыва растёт со временем, начиная с момента образования разрыва. Легко определить закон, по которому происходит это возрастание. Для этого снова воспользуемся сделанным в начале этого параграфа замечанием о том, что движение каждого участка поверхности слабого разрыва происходит по тем же уравнениям, как и распространение любого слабого возмущения в газе. При наличии вязкости и теплопроводности возмущение, сконцентрированное первоначально в малом элементе объёма ( волновой пакет ), по мере своего перемещения с течением времени расширяется закон этого расширения был определён в 77. Поэтому мы можем сразу заключить, что ширина 8 слабого разрыва — порядка величины [c.425]

Если участок горизонтальной поверхности жидкости подвергается малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, таким образом, возникает волновое движение жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потенциальное. Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.72), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Кощи (1.39). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось z направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением [c.85]

В этом разделе мы рассмотрим обратную связь для излучения в пассивном оптическом резонаторе. Такой резонатор обычно является открытым, т. е. в соответствии с рис. 2.1 у него нет боковых стенок, а имеются только два расположенных друг против друга зеркала. Приближенно, однако, открытый резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, можно заменить при расмотрении закрытым, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда с идеально отражающими стенками. Будем считать ось г направленной по его длине (полная длина равна L), а оси X и у направим по сторонам квадратного поперечного сечения (длина стороны 2а). Волновые поля в таком резонаторе вблизи его оси лишь мало отличаются от соответствующих полей открытого реального лазерного резонатора. Как известно, для идеального полого резонатора решение волнового уравнения с учетом граничных условий имеет вид стоячих волн. На- [c.55]

Посвящена теории распространения упругих волн в образованиях слоисто го характера как в искусственных структурах, употребляемых в ультразву ковой технике, так и в природных средах - океане, атмосфере, земной коре Дан вывод различных форм волнового уравнения и их точных решений. Описа ние упругих волн в твердом теле ведется на основе матричного формализма Рассмотрено влияние движения среды на звуковое поле. Излагается методика построения асимптотических разложений волновых полей на основе эталонных уравнений и эталонных интегралов. Значтелнюе внимание уделяется физической интерпретации результатов. [c.2]

Рассмотрим качественно эволюцию плоской волны, распространяющейся вправо и описываемой уравнениями (3.44), (3.45). Зададим начальные профили II х, 0) и с х, 0) так, как указано на рис. 3.3, а. Картина возникающего течейия в плоскости х, i приведена на рис. 3.3, б. Характеристики аЬ и ей параллельны друг другу, их уравнения есть dx dt = со. Характеристика ef имеет больщий наклон или большую скорость в лабораторной системе координат по сравнению со всеми другими характеристиками, в том числе с характеристиками аЪ и d. Таким образом, с течением времени характеристика е/ будет приближаться к характеристике аЬ и отдаляться от характеристики d. Ширина волнового пакета не меняется с течением времени, так как точки а ш Ъ распространяются с одинаковой скоростью, равной скорости звука. Однако внутри волнового пакета происходит существенное перераспределение 7 и с значения максимумов не меняются, но их относительное положение претерпевает значительное изменение. С течением времени профили скорости искажаются все сильнее и сильнее с нарастанием крутизны фронта волны (см. рис. 3.3). Если продолжить решение в область больших i таких, что произойдет пересечение характеристик одного семейства (в рассматриваемом случае а-характеристик), то решение получается неоднозначным. Для ликвидации неоднозначности решения необходимо допустить образование сильных разрывов, т. е. ударной волны. Таким образом, рассмотренное решение типа простой волны имеет смысл в течение ограниченного отрезка времени до образования сильного разрыва. Аналогичным образом [c.91]

Подобное соотношение остается справедливым и для импульса в форме гиперболического секанса с той лишь разницей, что численный коэффициент 0,39 следует заменить на 0,43. Для пикосекундных импульсов с Го = 1 ПС и f o 1 Вт длина 100 км. Однако для фемтосекундных импульсов < 100 фс и Pq > 1 кВт г, обычно становится < 1 м. В результате значительное укручение волнового фронта импульса может иметь место уже на длине в несколько сантиметров. Оптическая ударная волна, соответствующая бесконечно резкому заднему фронту, никогда не формируется на практике из-за ДГС чем круче становится волновой фронт импульса, тем большее значение имеет дисперсионный член в уравнении (4.3.1), и его нельзя игнорировать. Влияние ДГС на укручение волнового фронта будет рассмотрено в этом разделе несколько ниже. На длину формирования Z, ударной волны также оказывают влияние и потери. В бездисперсионном случае потери световода а задерживают образование оптической ударной волны, а если az > 1, то ударная волна вообще не формируется [40]. [c.99]

Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким образом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии. Здесь могут существовать так называемые солитоны-образования, обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов. Сам термин солитон относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкновениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в волоконных световодах интересен не только как фундаментальное явление, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оптических линиях связи. В данной главе изучается распространение импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, особое внимание уделяется солитонному режиму распространения. В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости. Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции (ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован для нахождения солитонных рещений уравнения распространения. Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаментального солитона и солитонов высщих порядков. Следующие две главы посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3 рассматривается солитонный лазер разд. 5.4 посвящен использованию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные эффекты высщих порядков, такие, как дисперсия нелинейности и задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в разд. 5.5. [c.104]

Используя некоторые существенные приближения, можно, как правило, показать, что гюйгенсовское решение в оптике (как, например, ее строгая векторная форма в формулировке преобразования Фурье) выводится из уравнений Максвелла. Одно из главных приближений состоит в том, что принцип Гюйгенса применим только вблизи центра квазисферического волнового фронта, образующего изображение. При рассмотрении проблем дифракции и образования изображений необходимо отдавать себе отчет в приближенном характере принципа Гюйгенса. И во всяком случае кажущаяся простота принципа Гюйгенса даже в той его приемлемой форме, которая получена эвристически на базе принципа суперпозиции и спектрального разложения по плоским волнам, не должна слул<ить оправданием для его использования в качестве основы строгого решения, получаемого путем добавления к первоначальному приближению членов более высоких порядков. Однако, если правильно использовать принцип Гюйгенса, выраженный с помощью преобразования Фурье, то он становится достаточно универсальным средством для рассмотрения проблем образования изображений. В частности, его применяют для отыскания распределения интенсивности в пределах дифракционной картины, образуемой волновым фронтом конечного размера при отражении, преломлении и дифракции света в оптических элементах (зеркалах, линзах, призмах, решетках). [c.38]

Рассмотрим в качестве примера систему регистрации спектральной голограммы Фурье в двухлучевом интерферометре, в котором волновые фронты каждого из плеч образуют между собой малый угол 6 (рис. 41). Система интерференционных полос, регистрируемая фотографически в плоскости, параллельной биссектрисе угла, образованного волновыми фронтами, представляет собой некогерентное наложение систем монохроматических полос, отвечающих каждой длине волны Я. Как будет показано ниже, уравнение системы полос в плоскости фотопластинки имеет вид [c.177]

Следует сказать, однако, что и одномерную постановку нельзя считать исчерпанной. Так, до последнего времени недостаточное внимание уделялось развитию теории неустановившихся течений в открытых руслах в приближении Буссинеска, которое может быть названо вторым приближением теории длинных волн (если первым считать приближение Сен-Венана). Из немногочисленных работ, выполненных в этом направлении в СССР, отметим лишь статью Н. А. Картвелишвили (1958), в которой гидравлические уравнения неустановившегося движения в русле выводятся из гидродинамических уравнений Рейнольдса без введения гипотезы о гидростатическом распределении давлений, а также статью Т. Г. Войнича-Сяноженцкого (1965), в которой аналогичные уравнения выводятся из гидродинамических уравнений турбулентного движения, предложенных А. Н. Колмогоровым (1942). В то же время теория Буссинеска, опубликованная в его знаменитом трактате в 1877 г., и последующие работы, развивающие ее, позволили понять некоторые волновые явления в потоках и открытых руслах, необъяснимые в рамках теории Сен-Венана. В качестве одного из наиболее характерных явлений подобного рода укажем явление образования вторичных волн (ондуляций) у фронта прерывной волны при относительно малых высотах последней. Благодаря работам Ж. Буссинеска и его последователей ) стало ясно, что вертикальное ускорение, возникающее благодаря кривизне линий тока, составляет основу подобных явлений. В таких течениях линии тока имеют столь значительную кривизну, что течение не может считаться плавно изменяющимся. Вертикальные ускорения уже не являются [c.729]

Принципиальные особенности движения газа со сверхзвуковыми скоростями — волновой его характер — были отмечены впервые в 1847 г. Допплером. Наличие волн было позже (1875—1897) экспериментально обнаружено и изучено австрийскими физиками Э. Махом и Л. Махом. Риман (1826—1866) в классическом мемуаре О распространении волн конечной амплитуды , относящемся к 1860 г., установил получившие в дальнейшем широкое применение инварианты — функции давления и скорости или скорости звука и скорости, сохраняющие свои значения вдоль характеристик уравнений динамики газа, и тем самым заложил теоретические основы исследования сверхзвуковых потоков. Теория Римаиа объяснила необходимость образования в сверхзвуковых потоках так называемых ударных волн или скачков уплотнения. [c.29]

Нелинейная теория распространения простой волны развита в предыдущих разделах2.8—2.12 для любой жидкости, имеющей нри отсутствии возмущений однородные физические характеристики, помещенной внутри трубы или канала с постоянным невозмущенным поперечным сечением. При этих условиях основные свойства простой волны, пока она остается непрерывной, легко устанавливаются для задач с начальными условиями с помощью уравнений (156)—(163), а для задач с граничными условиями — с помощью уравнений (168)—(171), в то время как соответствующий сдвиг волнового профиля развивается согласно уравнениям (184)—(191). Хотя образование разрыва проанализировано выше только в двух случаях (для плоских звуковых волн и длинных волн в открытых каналах), эти случаи наводят на мысль, что любое распространение простой волны, создающее лишь слабые разрывы, может быть описано с высокой точностью введением в полученный однородным сдвигом непрерывный волновой профиль (для обеспечения его однозначности) разрывов, сохраняющих площадь. [c.228]

Оба эти свойства аналогичны свойствам волн на мелкой воде в соответствии с этим было обнаружено, что дисперсия, так же как и для скачка в открытом канале, препятствует образованию ударных волн. Далее, динамические уравнения этой упругой системы можно преобразовать в уравнение Кортевега — де Фриза (см. [14], 7), которое описывает распространение длинных волн на воде. Поэтому вопрос об устойчивости периодических волн в этой новой системе решается немедленно ссылкой на исследование возмущений, которое Уизем применил к периодическим решениям (т. е. кноидальным волнам) уравнения Кортевега — де Фриза его результаты показывают, что в обеих физических системах однородные цуги волн устойчивы. Однако для волн растяжения с большими волновыми числами неустойчивость заведомо остается возможной, в частности, ввиду того, что функция f"(k) дважды меняет знак при увеличении к от нуля. (Но при к-> оо стационарные цуги волн постоянной амплитуды становятся невозможными, поскольку / ( )->- onst и дисперсия волн исчезает.) Заслуживает исследования также [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...