Решение векторного волнового уравнения

Вещественная гармоническая векторная волна общего вида V (г, /) является решением векторного волнового уравнения. Проекции V на оси координат Vx, Vy, Vz представляются выражениями вида (1.3.23), т. е. [c.50]

Решение векторного волнового уравнения [c.144]

Здесь со — круговая частота процесса. При такой записи величина Фо (р) является амплитудой плоской волны, зависящей только от направления распространения. Аналогично для векторного волнового уравнения в (1.16) решение в виде плоской гармонической [c.26]

Рассмотрим решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат (г, 6, хг). Скалярное уравнение для установившихся волн имеет вид [c.28]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Не ограничивая по суш еству общности задачи, рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х вдоль границы полупространства с вакуумом (см. рис. 1.1). В этом случае движение не зависит от координаты и у векторного потенциала г ) будет отлична от нуля только компонента по оси у. Эту компоненту обозначим просто через ф. Для плоской гармонической волны уравнения движения (1.3), (1.4) будут удовлетворены, если потенциалы ф и ф являются решениями двух волновых уравнений вида [c.7]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела. [c.9]

Следует заметить, что выражения (12.28) и (12.29) естественно получаются, если для векторного потенциала (декартовы составляющие которого удовлетворяют волновому уравнению) получить сначала разделением переменных в цилиндрической системе координат систему частных решений, зависящих от параметра W. Различный аналитический вид частных решений при г<а и г>а связан с тем, что при г->О поля должны быть непрерывны, а при г— оо — удовлетворять принципу излучения. Образуя суперпозицию этих частных решений (такую, при которой векторный потенциал непрерывен при г=а), получаем соответственно выражения (12.28) и (12.29). Если вычислить по формулам (12.08) и (12.16) скачок тангенциальной составляющей магнитного поля при г = то оказывается, что выражение [c.69]

Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе Трактата о свете (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, импульсивным — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — скалярному случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — векторному случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени At, и в течение этого времени она является [c.275]

Для большинства целей векторная природа амплитуды волны не имеет значения. Например, для простых экспериментов по рассеянию с использованием неполяризованного падаюш,его излучения единственным следствием векторных свойств является умножение рассеянной интенсивности на поляризационный фактор, который зависит только от угла рассеяния. Следовательно, как правило, мы можем упростить рассмотрение, предполагая, что функция амплитуды г з (г)— скалярная величина, которая является решением волнового уравнения [c.16]

Как видно из приведенных представлений общего решения векторного уравнения движения (1.8.6), динамическая задача термоупругости сводится к волновым уравнениям при их решении применяется преобразование Лапласа. [c.252]

Решение волнового уравнения. Когда нет зарядов и токов, нам остаётся только решить волновое уравнение (10.18) для векторного потенциала А поля в резонаторе с подходящими граничными условиями на его стенках. Если мы имеем решение A(r,t) = = Ау г,Ь), Az r,t)), то есть знаем все компоненты Ax,Ay,Az [c.295]

Как и в плоском случае (см. разд. 1), введем для областей пространства, занятых упругой средой, скалярный и векторный потенциалы ср и г . Поскольку решения не должны зависеть от 2, у векторного потенциала г] будет отлична от нуля только компонента по оси г, которую мы обозначим а ). Потенциалы ф и а ) должны удовлетворять двум следующим волновым уравнениям [c.65]

Таким образом, предлагаемая книга предназначена для инженеров и научных работников, интересующихся вопросами распространения и рассеяния оптического, акустического и СВЧ излучения в атмосферах планет, в океанах и в биологических средах, особенно для тех из них, кто занимается проблемами связи в таких средах и вопросами дистанционного зондирования свойств этих сред. Данную книгу можно рассматривать как введение в круг основных понятий и результатов статистической теории распространения волн. Включенное в книгу систематическое описание теории переноса излучения и теории многократного рассеяния представляет интерес также для химиков, геофизиков и специалистов в области ядерной физики. Предварительная подготовка, необходимая для понимания книги, предполагает некоторое знакомство с методами решения волновых уравнений, уравнений Максвелла, с векторным исчислением, рядами и интегралами Фурье. [c.7]

Разработан метод исследования динамики твердых тел (частиц), расположенных у границы сжимаемой вязкой жидкости, при прохождении акустической волны. Действие жидкости на тело (частицу) определяется средними по времени силами, представляющими постоянные во времени слагаемые гидродинамических сил. В связи с этим используется разработанный ранее метод вычисления давления в сжимаемой вязкой жидкости с сохранением слагаемых, квадратичных по параметрам волнового поля. Метод основан на использовании упрощенной (применительно к волновым движениям жидкости) системы исходных нелинейных уравнений гидромеханики. Оказалось возможным при вычислении напряжений в жидкости сохранить величины второго порядка, не решая систему нелинейных уравнений. Напряжения удается выразить через величины, определяемые с помощью линеаризованных уравнений сжимаемой вязкой жидкости. Для этого используются представления решений линеаризованных уравнений через скалярный и векторный потенциалы. На основе этого метода сформулирована задача для цилиндра у плоской стенки при падении волны перпендикулярно стенке, и рассмотрен конкретный пример. [c.342]

Переходя к этому уравнению, мы отбросили аддитивное решение в виде некоторой функции от времени, не дающей вклада в волновое движение среды. Аналогично для векторного потенциала [c.195]

Решение. Напомним кратко известную задачу квантовой механики о движении электрического заряда е в однородном магнитном поле Н = (О,О, Я). Введем соответствующий этому полю векторный потенциал А = (0,Я ,0). Предположим сначала, что частицы не обладают собственным магнитным моментом. Волновая функция тогда является однокомпонентной и удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы, в котором сделана замена [c.227]

Оставляя подробное обсуждение этого обстоятельства до параграфа 19,. скажем пока только, что источник трудностей лежит в том, что хотя связь скалярных полей Ф< (см. 16.6) с А и локальна, само сопоставление векторному полю над некоторым пространством скалярных полей существенно зависит от свойств пространства как целого, что проявляется хотя бы в том, что обратные выражения векторного поля А через Ф< интегральны. В частности, в доказательстве теоремы об обращении в нуль векторного поля, все три инварианта которого суть нули, существенно использовалось то обстоятельство, что после обращения Ф1 в нуль задача о построении ненулевого А с равными нулю Фо и Фг сводится к нахождению нетривиального векторного (двумерного) поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа иа всюду ортогональной К поверхности. На сфере таких решений не существует, ио иа касательной к сфере плоскости, которую мы получаем, заменяя поле в волновой зоне плоской волной, такие нетривиальные решения есть. Поэтому, если мы хотим сопоставлять векторному потенциалу инвариантные скалярные поля, то Мы должны (даже в волновой зоне ) учитывать кривизну сферы — волнового фронта излучаемой системой волны — что сводится к учет г возникающих при [c.277]

Смысл Г. в. состоит в сведении ретиешш системы А1аксвелла уравнений для двух векторных величия (Е и И )к решению неоднородного волнового уравнения для одного вектора (П пли П ) с источником ила [c.442]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Выше было показано, что рентгенографические измерения не дают понижения дебаевской температуры при уменьшении размера частиц металлов до 200 А. Недавние исследования с помощью эффекта Мёссбауэра снизили этот предельный размер до 50 А. С другой стороны, у частиц РЬ D = 22 37 60 А) и In (Д = 22 А), внедренных в пористое стекло [59, 60], а также у аэрозольных частиц V (р = 38 65 А) [607] и Pd (Д = 30 66 А) [608] обнаружено превышение удельной темплоемоксти над значением для массивного металла, возрастающее с понижением температуры при Т 10 К, и одновременное уменьшение отношения 0/0oq до значения 0,8 для частиц диаметром 22 — 30 А (см. [8]). Опубликовано несколько теоретических работ, объясняющих аномалии теплоемкости малых металлических частиц (см. [8, 609, 610]). Однако все они основаны на решении скалярного или векторного волнового уравнения для гомогенной непрерывной упругой среды, а такое приближение вряд ли пригодно в случае частиц диаметром 30 А. [c.209]

Запаздывающие потенциалы. Рассмотрим решения неоднородных волновых уравнений (И) и (12) дли векторного и скалярного потенцпалов, иод-чипяющнеся соотношению (10), и покажем вначале, что этим уравнениям [c.85]

Покажем, что решение векторного уравнения (Д.8) можно записать в форме (Д. 19), и найдем уравнения, которым удовлетворяют скалярный и векторный потенциалы. Для этого подставим вектор перемещений (Д. 19) в систему дифференциальных уравнений (Д.8). Учитывая, что операторы Лид взаимно перестановочны с grad и rot, а также, что divrot s О, rotgrad = 0, получаем волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов [c.198]

Используя некоторые существенные приближения, можно, как правило, показать, что гюйгенсовское решение в оптике (как, например, ее строгая векторная форма в формулировке преобразования Фурье) выводится из уравнений Максвелла. Одно из главных приближений состоит в том, что принцип Гюйгенса применим только вблизи центра квазисферического волнового фронта, образующего изображение. При рассмотрении проблем дифракции и образования изображений необходимо отдавать себе отчет в приближенном характере принципа Гюйгенса. И во всяком случае кажущаяся простота принципа Гюйгенса даже в той его приемлемой форме, которая получена эвристически на базе принципа суперпозиции и спектрального разложения по плоским волнам, не должна слул<ить оправданием для его использования в качестве основы строгого решения, получаемого путем добавления к первоначальному приближению членов более высоких порядков. Однако, если правильно использовать принцип Гюйгенса, выраженный с помощью преобразования Фурье, то он становится достаточно универсальным средством для рассмотрения проблем образования изображений. В частности, его применяют для отыскания распределения интенсивности в пределах дифракционной картины, образуемой волновым фронтом конечного размера при отражении, преломлении и дифракции света в оптических элементах (зеркалах, линзах, призмах, решетках). [c.38]

ПОМНИТЬ, не вдаваясь в подробности, некоторые выводы из векторного анализа волновых пучков, полученные Губау и Шверингом [14]. Используя подход, основанный на решении уравнений Максвелла, эти авторы показали, что волновые пучки только тогда адекватно описываются выражениями, аналогичными (7.7.3), когда они немного расходятся (на несколько градусов). Этот результат согласуется с тем фактом, что только хорошо коллимированные пучки могут быть представлены ТЕМ-волнами, к которым применение скалярной теории является корректным. [c.503]

В качестве отправной точки при рассмотрении упругих нормальных волн в твердом цилиндре мы используем интегрирование уравнений упругого движения/при помощи потенциальных функций, подобно тому, как это сделано для пластинок. Будем использовать обычную цилиндрическую систему координат с радиальной г, угловой 0 и осевой z координатами. Вектор смещения и можно представить опять ска гярной и векторной потенциальными функциями, как показано в (2.2) — (2.4), но, конечно, уравнения д гя компонент должны быть теперь записаны в соответствующей форме для цилиндрических координат. Решения уравнений для компонент мы будем искать в форме, соответствующей волновым дви>1 ениям, распространяющимся в положительном направлении оси Z. Предположим, что решения имеют вид [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...