Волновое и дисперсионное уравнения

Волновое и дисперсионное уравнения. Нормальными электромагнитными волнами будем называть все пропорциональные множителю решения однородных [c.53]

В указанной системе координат волновое и дисперсионное уравнения имеют вид (см. (2.26), 5, = 2 = 0, 5д=1) [c.72]

В уравнение непосредственно входят волновое число к, а также период структуры О и размер ячейки й. Частота колебаний входит в волновое число и его компоненты к, к , к , и дисперсионное уравнение является неявной функцией частоты. Остальные геометрические размеры (радиус отверстия в диафрагмах а и внутренний радиус волновода Ь) входят сомножителями в аргументы функций Бесселя. Зависимость правой части от размера а непосредственно видна из выражения (3.18). Чтобы определить зависимость левой части уравнения (3.18) от величин а и Ь, вспомним выражения для Во и р1. [c.69]

В предыдущей статье [3] была рассмотрена нелинейная теория установившегося течения жидкости большой глубины вдоль слабо модулированной волнообразной стенки. При этом использовалась теория Уизема [6, 7], описывающая дисперсию плавно изменяющихся цугов волн большой амплитуды. Метод основан на предположении, что локально цуг волн хорошо аппроксимируется идеально периодическим решением полных нелинейных уравнений движения и последующим вычислением среднего лагранжиана через волновые параметры. Дисперсионное уравнение, описывающее медленные изменения этих параметров, получается затем применением принципа Гамильтона. [c.215]

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от волнового вектора об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсионным. Уравнение (23,3) — третьей степени по со . Оно имеет три, вообще говоря, различных корня и = со/ (к) — три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины век- [c.131]

Первые три уравнения могут быть проинтегрированы независимо и приводят к следующему дисперсионному уравнению, определяющему связь между волновым вектором К и частотой со [c.253]

Эго основное ур-ние О. д. с.— дисперсионное уравнение, связывающее волновой вектор к с частотой 0), с параметрами среды в, р и со скоростью её движения и. Первые два слагаемых в этом ур-нии имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта, а последнее слагаемое, согласно (4), содержит величину (ш ). В системе покоя среды или при и = = о получается известное соотношение к — сй в (а))/с , где ко( ) е(а )р(щ) — показатель преломления по- [c.422]

Понятия о дисперсионном уравнении. Фазовая и групповая скорости. Анализ одномерных волновых явлений в неограниченной среде или среде с граничными поверхностями может быть осуществлен на основе уравнения [c.257]

Как и для полупространства, в случае слоя со свободными границами Р-и SV-волны не могут существовать независимо. В связи с этим картина волнового движения в слое для такого типа движений является более сложной. Однако при выводе дисперсионных уравнений можно с успехом использовать прием, указанный для SH-волн. [c.115]

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом k и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой (О будет распространяться вдоль оси Z в соответствии с выражением Е - exp[j((o/ — kz)], где к = к ьз) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна [c.515]

Тот факт, что амплитуда волны является функцией переменной t — z/vg, означает, что волновой пакет распространяется со скоростью vg без изменения формы. Эта скорость называется групповой скоростью импульса, а ее величина в соответствии с (8.103) определяется наклоном кривой зависимости а к) в точке (О = соо- Обратившись к выражению (8.102), заметим, что несущая волна импульса распространяется со скоростью v=a)o/ko, т. е. с фазовой скоростью непрерывной волны на частоте со=соо-Заметим также, что в общем случае дисперсионного уравнения, представленного на рис. 8.11, а, фазовая скорость несущей волны отличается, вообще говоря, от групповой скорости. Посмотрим теперь, что происходит, когда в среде распространяются два импульса, имеющих ширины спектральных линий соответственно Д(01 и Д(02 с центрами при oi и иг (рис. 8.11,6). Если наклоны дисперсионной кривой на этих двух частотах имеют разные значения, то оба волновых пакета распространяются с различными групповыми скоростями Ug, и ugj. Таким образом, если максимумы обоих импульсов входят в среду одновременно, то после прохождения ими в среде расстояния L они становятся разделенными во времени на величину задержки [c.516]

Распространению волн в слоистых средах посвящены монографии [14, НО]. Явление волнового фильтра исследовалось в работах [39, 40]. Использованное в параграфе дисперсионное уравнение для стержня получено в [39, НО]. Достаточно полный обзор работ по колебаниям и волнам в слоистых композитах дан в [43]. [c.302]

Классический пример незеркального отражения дает э4х )ект полного обратного отражения Я-поляризованной плоской волны от идеально проводящего эшелетта с прямым зубцом, когда волновой вектор падающей волны перпендикулярен одной из граней зубца решетки, а вдоль другой грани при условии (4.2) укладывается целое число полуволн. В этом случае W-n = 1 и Wm =0 для тФ—п. При -поляризации эшелетт также способен к сильной (однако неполной) концентрации энергии в одной из высших гармоник спектра [25]. Аналогичные эффекты (в основном в случае Я-поляризации) отмечались и при взаимодействии волн с другими периодическими отражателями. При этом в [280], пожалуй, впервые было показано, что 100 %-ное авто коллимационное отражение возможно и на гребенке не только для Я-, но и для -поляризованных волн. Причем это явление связывалось с существованием комплексных корней соответствующих дисперсионных уравнений. Позже различными авторами исследовались отдельные стороны незеркального отражения от гребенки возможность полного отражения сразу на двух поляризациях [79], влияние профиля и конечной проводимости решетки на амплитуду минус первой волны 181] и возможные приложения [78]. [c.170]

Это свойство известно как теорема Флоке (или Блоха) и будет доказано ниже. Нижний индекс К указывает на то, что функции Е, и H,j зависят от вектора К, который называется блоховским волновым вектором. Величины w и К связаны дисперсионным уравнением [c.170]

При частотах со, лежащих вне этой запрещенной зоны, корни уравнения (6.1.27) для К являются вещественными и решения отвечают распространяющимся волнам. Уравнение (6.1.27), устанавливающее связь между со и А", называется дисперсионным. На рис. 6.2 представлено графическое изображение дисперсионного уравнения (6.1.27) для типичной периодической среды. Для трехмерной периодической среды дисперсионное уравнение (6.1.6) соответствует поверхностям постоянной частоты в К-пространстве. В случае трехмерных периодических сред могут также существовать запрещенные зоны частот со. Волны с частотами в запрещенных зонах не могут распространяться, поскольку вследствие брэгговского отражения они затухают. Это нетрудно показать, если вычислить волновое число К в центре запрещенной зоны при оР- = (g/iy/fie [см. [c.176]

Дисперсионное уравнение (6.2.24) определяет блоховское волновое число К вдоль направления оси г для блоховской волны с частотой со и -составляющую волнового вектора. Эту дисперсионную зависимость можно представить в виде поверхности в трехмерном пространстве К,ку, со). Сечения этой поверхности пло- [c.185]

Вследствие отсутствия действительных частоты и волнового числа, являющихся корнями дисперсионного уравнения, знаменатель в (6.75) не обращается в ноль на множестве действительных СО, и интеграл оказывается сходящимся при всех параметрах системы. Если бы упругое основание было однородным ( lX = 0), знаменатель в (6.75) имел бы действительный кратный корень при выполнении условия [c.275]

Дисперсионное уравнение типа (П. 10) полностью характеризует волновые свойства линейных однородных систем и поэтому может быть положено в основу классификации происходящих в них волновых процессов. [c.297]

Из этого следует, что фазовая скорость Ст есть, по существу, фазовая скорость волнового следа для горизонтального направления распространения свободных волн, разрешенных дисперсионным уравнением. Эти рассуждения показывают, что дисперсия в идеальных волноводах определяется геометрическими свойствами волновода и не зависит от молекулярных и термодинамических свойств вещества. [c.324]

Зависимость I, отношения скорости волн Рэлея /J к скорости сдвиговой волны Сх в твердом теле от коэффициента Пуассона а изображена на рис. IX.5.1. По найденному параметру можно найти волновое число. Поскольку корень дисперсионного уравнения не зависит от частоты, произведение также не зависит от частоты и является скоростью волны Рэлея = где С/г определяется из приведенного графика или может быть вычислено по приближенной формуле [c.416]

Еще на одну сложность в случае дифракции рентгеновских лучей указывает периодическое ослабление полос в секционной топограмме (см. фиг. 9.10). Как было показано, такое ослабление возникает из-за поляризационных эффектов. Две компоненты вектора смещения электромагнитного поля, поляризованные параллельно и перпендикулярно дифракционной плоскости, имеют различные волновые векторы и амплитуды в кристалле в результате действия фактора Р в дисперсионных уравнениях [см. (8.14)1. Поэтому получаются два независимых ряда полос, немного отличающихся по периоду. Периодическая модуляция Контраста полосы объясняется тогда биением этих двух периодичностей. [c.209]

Показать, что дифференциальные уравнения (10.32) согласуются с двухволновой формой уравнений Бете (8.10) без поглощения и решениями для плоскопараллельного кристалла (8.25) и (8.26). Аналогично показать, что -волновая форма (10.33) согласуется с дисперсионным уравнением (8.7). [c.233]

Поведение векторных диаграмм волновых и диффузионных моделей отличается друг от друга при больших частотах о кривые векторных диаграмм стремятся к конечным величинам или неограниченно возрастают при и) оо для волновых и диффузионных моделей соответственно. Аналогично ведут себя корни характеристических уравнений при возрастании времен релаксации (ретардации) Ге(о.) от О до оо в задачах о свободных колебаниях вязкоупругих стержней, а также дисперсионные зависимости скоростей гармонических волн, распространяющихся в полубесконечных вязкоупругих стержнях, при ш —> оо, если поведение материалов стержней подчиняется реологическим уравнениям волнового или диффу- [c.716]

ДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА — распределённая среда, параметры к-рой зависят от частот m и волновых векторов к возбуждаемых в ней гармопич. полей. Понятие Д. с. чётко устанавливается только для линейных однородных сред, где гармонич. поля могут существовать самостоятельно (см. Нормальные волна). При описании Д. с. принято говорить о дисперсии того или иного конкретного параметра проводимости, показателя преломления, модуля упругости и т. д. Различают дисперсию временную (зависимость параметра от ш) и пространственную (зависимость от к), однако в тех случаях, когда со и А в гармонич. процессах связаны дисперсионным уравнением, такое разделение видов дисперсии является условным. [c.639]

Традиц. описание Д. в. основано на представлении произвольного волнового поля в линейных однородных системах в виде совокупности гармоиич. нормальных волн А exp io)f—ikr). Г1иклич. частоты w и волновые векторы к нормальных воли связаны дисперсионным уравнением [c.644]

Первые работы по исследованию корней трансцендентных уравнений (2.13) в высокочастотной области выполнены Холденом [190] для продольных мод и вещественных волновых чисел. Он предложил эффективный метод исследования свойств корней дисперсионных уравнений Аналогичный метод был независимо развит и широко использован в ряде работМиндлина иО ноэ. В работе [236] приведено краткое изложение сути метода и дан обзор результатов других исследователей. [c.118]

Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные А , Лд, F и удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических движений частота определяется источником сил или перемещений, а у является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье. Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для постоянных А , Аз и F. Условие существования ее нетривиального решения определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и со. [c.147]

Описанное выше явление краевого резонанса для тонкого диска так же четко проявляется и при анализе форм колебаний длинных цилиндров. При этом краевая мода характеризуется сильно выраженной локализацией области интенсивных движений вблизи торцов. В спектре собственных частот цилиндра (зависимости Qj от h) таким модам соответствуют плато, подобные указанным на рис. 75. Важно отметить, что в этом случае краевой резонанс в одинаковой мере проявляется как для симметричных, так и для антисимметричных относительно плоскости г = О движений. Это естественно, поскольку оба типа деформации связаны с волновыми движениями, описывающимися одним дисперсионным уравнением Похгаммера — Кри (9.3) главы 4. [c.208]

Формулы (2.5) и (2.7) показывают, что все характеристики волнового поля являются результатом сложения бесконечного чивла волн. В такой суперпозиции принимает участие конечное чивло N + М) нормальных волн, соответствующих вещественным I, = = и чисто мнимым корням дисперсионного уравнения, [c.249]

Понятия фазовой и групповой скоростей, а также скорости переноса энергии в периодической слоистой среде являются весьма тонкими и требуют внимательного анализа. Электромагнитные бло-ховские волны определяются выражением (6.2.25), а дисперсионное уравнение, связывающее к , К и можно получить из (6.2.24). Важно иметь в виду, что блоховское волновое число К определяется выражением (6.2.24) не однозначно, а с точностью до произвольного целого числа, умноженного на 2тг/Л. Обычно используемая в физике твердого тела схема приведения к зоне Бриллюэна неприменима при рассмотрении фазовой скорости электромагнитной бло-ховской волны. Если Ej (z) разлагается в ряд Фурье [c.218]

Волноводные системы обладают интересной особенностью, если речь идет об импульсном режиме. В общем случае при равенстве фазовых скоростей Оф групповые скорости Uyp различны и импульсы на частотах накачки и сигнала расходятся, что может привести к прекращению взаимодействия, - усиление происходит только на ограниченном расстоянии. Здесь же, как следует из дисперсионного уравнения (2.3), вьтолняется соотношение v lv = , так что равенство фазовьгх скоростей означает и равенство групповых, и, пока волновой пакет не распльшется из-за дисперсии, его усиление будет происходить так же, как и усиление непре-рьшного сигнала. [c.158]

Л,-где ось 2 направлена в глубину среды. Подстановка этих выражений в уравнения дви ке-ния и требования нетривиальности решения (т. е. коэффициенты А[, 5,- не равны тождественно нулю) позволяют выразить коэффициенты затухания по глубине в, г через волновое число и параметры среды. Дальнейшая подстановка решения в граничные условия (отсутствие возмущений напряжений в скелете среды и давленпя в жидкости) приводит к искомому дисперсионному уравнению. Это уравнение весьма сложно, поэтому Джонс ограничивается следующим замечанием исследуемое движение будет поверхностной волной, если коэффициенты г, 5 — действительные, положительные числа. Это возможно при нулевом коэффициенте вязкости, т. е. при ТО) 0. В связи со сложностью общего дисперсионного уравнения Джонс ограничивается далее рассмотрением этого случая, когда дисперсионное уравнение сводится к алгебраическому уравнению шестого порядка и показывает наличие по крайней мере одного корня, соответствующего двум возможным поверхностным волнам Релея. В сплошной однофазной упругой среде, как известно, такая поверхностная волна одна — наличие двух волн связано с существованием деформации двух типов, переупаковки и изменения плотности фаз. Частный случай волны Релея в отсутствии эффекта сжимаемости фаз рассматривался Э. А. Бондаревым [26]. [c.140]

Di), где /,, /г — компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси л цилиндра. Функции / , 1% выражаются через функции Бесселя /о (/г,г), i = 1,2, JI (h r), где vi hg — константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и II рода и поперечных волн. При этом условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях. [c.142]

Переход от передаточной функции типа (3.19), связывающий частотновременные импульсы вход-выход, к уравнениям (3.89) и (3.90), определяющим связь между волновыми импульсами вход-выход в продольном и поперечном направлениях соответственно, должен учитывать дисперсионное уравнение среды, устанавливающее функциональную зависимость со = И (хт ). Написанные уравнения предполагают эту зависимость линейной, т.е. со = txxi. Такой подход соответствует модели замороженной среды и справедлив для компонент с совпадающими фазовой и конвективной скоростями. Используя для взаимного спектра и его составляющих выражения в форме (4.54), получим на основании (3.92) две компоненты [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...