Классическое волновое уравнение

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому преобразованию. Причина такого положения в неточности, допуш,енной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства d/dt отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответству-юш,ее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнений (1.1) — (1.3) в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. [c.17]

Что касается начальных условий, то для уравнений (1.6) они формулируются так же, как и для классического волнового уравнения [129]. В начальный момент времени = О во всем объеме В, занимаемом упругим телом, задаются смещения и скорости всех частиц среды, т. е. [c.24]

Интегрированию уравнений движения (1.6) с начальными условиями (2.1) в безграничной упругой среде посвящено значительное число работ выдающихся математиков и физиков прошлого столетия [8Й. В них обобщалась картина движения [129], описывающегося классическим волновым уравнением. Несвязанность двух типов волн привела к тому, что и в случае упругого пространства физическая картина распространения возмущения из конечной области оказалась довольно ясной [82, 123, 270]. [c.24]

Уравнения (2.36-13) и (2.36-16) содержат полное описание поведения исследуемых атомных систем. Вместе с классическим волновым уравнением для макроскопического электрического поля в свободном пространстве или с уравнениями для напряженности поля в резонаторе и в соответствии с теми или иными экспериментальными условиями получается система уравнений, позволяющая охватить взаимное влияние атомных систем и электрического поля. При этом, конечно, следует [c.261]

Классическое волновое уравнение. Уравнение (14) — весьма знаменитое уравнение второго порядка в частных производных. Оно называется классическим волновым уравнением. Мы будем часто с ним встречаться и познакомимся со многими свойствами его решений и с физическими ситуациями, которые описываются этим уравнением. (Конечно, положительная константа То/ро характерна для задачи о струне. В других физических задачах, которые приводят к волновому уравнению, появляются другие положительные константы.) [c.62]

Это уравнение переходит в классическое волновое уравнение, только если Го(2) и ро(2) превращаются в константы, не зависящие от 2. В нормальной моде неоднородной струны, так же как и в моде однородной струны, каждая часть струны совершает гармоническое колебательное движение с одинаковой частотой и фазовой константой [c.77]

Выведите классическое волновое уравнение (14) следующим способом. Начните с уравнения (62) и перейдите к непрерывному приближению. Замените индекс п на координату г, принимая во внимание, что расстояние между грузами равно а. Воспользуйтесь разложением правой части уравнения (62) в ряд Тейлора. Рассмотрите случай, когда в разложении имеется на один член больше, чем необходимо для получения классического волнового уравнения. Определите критерий, по которому можно пренебречь этим членом и членами более высокого порядка. [c.99]

Волновое уравнение Клейна — Гордона. Уравнение (63) — знаменитое уравнение. Оно превращается в классическое волновое уравнение, когда сОд равно нулю. Его иногда называют волновым уравнением Клейна—Гордона . (Оно справедливо для волн де Бройля в случае релятивистских свободных частиц. См. Д. 2.) [c.131]

Недиспергирующие волны и классическое волновое уравнение. Любая гармоническая бегущая волна вида [c.282]

Волны, сохраняющие свою форму, удовлетворяют классическому волновому уравнению. Любая бегущая волна, сохраняющая свою форму по мере распространения, должна удовлетворять уравнению [c.283]

Также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если = у для всех частот. (Для стоячих волн Уф означает со/ , Хотя понятие фазовой скорости не будет естественным параметром Для описания стоячих волн.) Это также следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы встретились в п. 2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне. [c.283]

Недиспергирующие волны. Покажите, что любая дифференцируемая функция/(Г), где 1 =(—(г/и), удовлетворяет классическому волновому уравнению. [c.292]

Итак, составляющие электрического поля Е , Еу я Е отдельности удовлетворяют классическому волновому уравнению для недиспергирующих волн [см. уравнение (18), п. 7.2. Исключив Е из уравнений Максвелла, мы получим классическое волновое уравнение для трех компонент В. (Задача 7.12.) [c.319]

Выведите классическое волновое уравнение для В, как предлагается в пояснении к уравнению (796), п.7.4. [c.344]

Уравнение (9) называется уравнением Клейна — Гордона. Обратите внимание, что если мы положим от=0, то получим классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. о соответствует тому, что фотон имеет нулевую массу покоя. [c.489]

Для специального случая, когда е и х вещественны, положительны и не зависят от частоты, уравнение (59) представляет собой классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Эти условия выполняются в вакууме [х=е=1. Нас интересует более общий случай нейтральной и изотропной линейной среды, где е и л — комплексные величины, зависящие от частоты. При этом поля Е и В описываются комплексными величинами, зависимость которых от времени определяется множителем ехр (—/соО- Таким образом, для всех шести величин, представляемых функцией г1з(л , у, г, t), имеем [c.499]

Классический точечный источник 420 Классическое волновое уравнение 283 [c.523]

Из классического волнового уравнения для поля Р (х), взаимодействующего с распределением источников р(х), [c.31]

Как и следовало ожидать, в пределе а- закон дисперсии (3.22) переходит в закон дисперсии свободных плоских волн в однородной среде без потерь к =со , которое соответствует классическому волновому уравнению д и = с 8]и для некоторого волнового поля u x,t), возбужденного в такой среде. [c.138]

Уместно сделать еще одно замечание по поводу уравнения (3.33) (как и эквивалентному ему в интегро-дифференциальном представлении уравнению (3.38)). Очевидно, что при непрерывном изменении его параметров, это уравнение, в отличие от (3.32), может перейти в форму, соответствующую классическому волновому уравнению для волн без затухания, двумя путями, а не одним, как (3.32) [c.147]

Мы вновь воспользовались (3.122) и тем, что в этом пределе выражение под интегралом обращается в тождественный нуль. Очевидно, что полученный предел соответствует сферической функции Грина для классического волнового уравнения [66], и должно быть в соответствии с естественными физическими ожиданиями. [c.174]

Приведенная выше классическая трактовка гармонического-осциллятора является только приближенной, если частица имеет атомные размеры. Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора таково [c.85]

Вместо старой модели атома была предложена новая, в которой положение электрона в атоме в данный момент времени определяется не точно, а с некоторой вероятностью, величина которой задается волновой функцией, являющейся решением волнового уравнения. Квантовая механика не только повторила все результаты теории Бора, ио и объяснила, почему атом не излучает в стационарном состоянии, а та кже позволила подсчитать интенсивности спектральных линий. Кроме того, квантовая механика дала объяснение совершенно непонятному с точки зрения классической физики явлению дифракции электронов. [c.17]

Отметим, что классическим представителем уравнений гиперболического типа является волновое уравнение [c.128]

Круг явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявляются квантово-механические закономерности, определяется в первую очередь их очевидной несовместимостью с классическими представлениями. К этому кругу относятся прежде всего явления, обусловленные волново-корпускулярным дуализмом в движении микрочастиц. Построение модели такого движения привело к формулировке уравнения Шредингера, которое является новым уравнением физики и не может быть выведено из ранее известных уравнений. Однако в физике давно было известно, что любые волны описываются соответствующим волновым уравнением. Исторически и логически уравнение Шредингера возникло как уравнение для волн де Бройля. Такой подход к уравнению Шредингера является наиболее простым и естественным в рамках индуктивной формулировки физической модели в курсе общей физики. Однако необходимо со всей возможной полнотой подчеркнуть, что при этом речь идет не о возникновении еще одной новой области физики, которая описывается соответствующим новым дифференциальным уравнением, а о новой области физики, модель которой может быть описана и без дифференциального уравнения Шредингера. С этой точки зрения более целесообразно начинать изложение квантово-механической модели в матричной формулировке, в которой она и была открыта Гейзенбергом. Однако из педагогических соображений более предпочтительно рассматривать матричную формулировку после уравнения Шредингера как представление. [c.9]

Рассмотрим уравнение (2.17) при v=0. При iWуравнение Лапласа, т. е. классическое уравнение эллиптического типа при уИ>1 — волновое уравнение, т. е. классическое уравнение гиперболического типа. [c.36]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Качественное своеобразие микрочастиц, резко отличающее их от частиц классической физики, требует и качественно нового подхода к описанию их движения по сравнению с методами классической механики. Из наличия у микрочастиц волновых свойств следует, что закон движения их должен определяться законом распространения волн де Бройля, связанных с этими частицами. Так как распространение любого волнового процесса описывается волновым уравнением, то следует ожидать, что и движение микрочастиц должно описываться волновым уравнением. Такое уравнение было найдено впервые Шредингером и носит его имя. Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией U (х, у, г, t), уравнение Шредингера имеет следующий вид [c.96]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Разберем применение спектрального метода исследования на примере волнового уравнения в классической форме [c.241]

Расчет квантовых генераторов и усилителей сводится к реше-нию системы уравнений, описывающих распространение электромагнитного излучения в активной среде и взаимодействие этой среды с излучением. Электромагнитное излучение может описываться с помощью уравнений Максвелла или с помощью выведенных из них волновых уравнений (с той или другой степенью упрощения, в зависимости от решаемой задачи). Такое описание электромагнитного поля в лазере получило название классического. [c.17]

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела. [c.9]

Из уравнений движения классической теории упругости следует волновое уравнение относительно w [c.102]

Уравнение (9.16) —классическое волновое уравнение. Величина йа — скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя Ф из решения (9.16), определим скорость v = gradф. Определим давление, используя интеграл Лагранжа [c.124]

Трехмерные волновые уравнения и классическое волновое уравнение. Любая трехмерная синусоидальная гармоническая волна независимо от того, является ли она стоячей, бегущей илн волной смешанного типа, удовлетворяет следующим уравнениям (вы легко дюжете это доказать) [c.303]

Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной суперпозиции стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме. Уравнение (17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе. Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение с на с11у тас1 г)), что иначе можно записать в виде или [c.303]

Выше мы работали с этими четырьмя уравнениями в случае вакуума (когда плотности заряда р к тока J равнялись нулю). Мы нашли (в п. 7.4), что в этих условияхЕ и В подчиняются классическому волновому уравнению для недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. Далее, мы нашли соотношение между Е и В для больших расстояний от источника, полагая, что при достаточном удалении волны можно считать плоскими. Чтобы найти, как излучение зависит от движения источника, нужно рассмотреть уравнения Максвелла с членами, определяющими наличие источника. В уравнениях Максвелла имеются два источника. Один из них — это плотность заряда р и второй — плотность тока J. Эти источники зависят друг от друга, и связь между ними выражается законом сохранения заряда [c.329]

Распростравение упругой волны. При ст сто деформации 8 стержне будут упругими, тогда скорость движения волны постоянна (а = ао) и уравнение (77.3) переходит в классическое волновое уравнение. Решение его в форме Даламбера имеет вид [c.372]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

В этой вводной главе дается обзор и вывод некоторых основных соотношений для классических электромагнитных полей. Исходя из у ивнений Максвелла и материальных уравнений, мы получим выражения для плотности и потока энергии электромагнитного поля. Будет доказана теорема Пойнтинга, а также выведены законы сохранения и волновые уравнения. Мы подробно рассмотрим распространение монохроматических плоских волн и некоторые их важные свойства, а также обсудим понятия фазовой скорости и групповой скорости волнового пакета, распространяющегося в среде с дисперсией. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...