Решение неоднородного волнового уравнения

Это уравнение удовлетворяется тождественно, если в качестве F и V мы возьмем решения неоднородных волновых уравнений [c.288]

С учетом сказанного общее решение неоднородного волнового уравнения (2.12), по аналогии с уравнением Пуассона (2.13), можно записать в виде [c.47]

Давление второго приближения является решением неоднородного волнового уравнения (2.94) [c.72]

Условие Лорентца при этом автоматически выполняется, а уравнения 12) и (13) для А и ф также будут удовлетворяться, если и Пт являются решениями неоднородны, волновых уравнений [c.90]

Решение исходных уравнений отыскивается в виде р = Рв + Ри, где р , - слабая низкочастотная компонента. В нелинейные и диссипативные слагаемые будем подставлять лишь поле накачки (р р ), причем, поскольку волна близка к плоской, в них можно использовать соотношения р = РоСо - Сор , отвечающие линейной плоской волне. Наконец, считая медленно меняющейся функцией, усредним уравнения (1.156) гл. 1 по времени на интервале порядка нескольких периодов накачки, как это уже делалось выше. Тогда для медленно меняющейся компоненты поля получим линейное неоднородное волновое уравнение [c.130]

Решается система уравнений Максвелла, причем решение находится через вектор Герца П, удовлетворяющий неоднородному волновому уравнению [c.126]

В формуле (8.4.40) мы имеем неоднородное волновое уравнение для с членом — 2/г п,и в качестве источника. Его решение можно легко найти как свертку функции Грина для свободного пространства (импульсный отклик) ехр(/йо г )/ г с [c.372]

Существенным также является вопрос о применимости метода для расчета преобразования гауссовых волн в неоднородной среде. Корректность матричного метода обычно проверяется сравнением с результатами решения соответствующего волнового уравнения. Как известно [6], решение приближенного волнового уравнения вида [c.111]

Волновой лазерный пучок в силу своей высокой направленности имеет много общего с плоской волной. Отличие же его от плоской волны состоит в том, что распределение интенсивности в нем неоднородно (мощность пучка, в основном, сконцентрирована вблизи оси), а фазовый фронт несколько отличается от плоского. Поэтому решение приведенного волнового уравнения, описывающее распространение такого пучка, будем искать в виде [c.51]

Первые три члена дают постоянную величину, соответствующую граничному значению амплитуды прошедшей волны последний член изменяется с расстоянием г вследствие интерференции между волнами, являющимися решениями однородного и неоднородного волновых уравнений. Для расстояний г, настолько малых, что не появляется сколь-нибудь заметного рассогласования фазовых скоростей, интенсивность волны растет пропорционально 22. Амплитуда волны имеет компоненту, сдвинутую по фазе на 90° [c.354]

Решение. Излучение плоских волн описывается неоднородным волновым уравнением Даламбера [c.306]

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

В соответствии с общей процедурой для дифференциальных уравнений типа (1.43) запишем результат в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (плоская волна с волновым вектором кв) и решения однородного уравнения (плоская волна с волновым вектором кс). Последнее позволяет удовлетворить условия на границе (1.47). В среде (I) (z < 0) имеем тогда плоскую волну с волновым вектором кв [c.21]

В этой главе на основе решения волнового уравнения для крутильных колебаний неоднородного стержня дается ряд соотношений, необходимых для практических расчетов при конструировании стержневых крутильных концентраторов. [c.307]

Решение задачи с неоднородными граничными условиями будем искать в том же виде. Продифференцируем функции Un t) дважды и воспользуемся волновым уравнением получаем [c.40]

Возможны две точки зрения на место геометрической оптики в системе современных оптических представлений. Согласно первой из них геометрическая оптика рассматривается как самостоятельный раздел оптики, основанный на определенной системе постулатов. К наиболее важным из них относятся законы прямолинейного распространения света, законы его отражения и преломления. В такой постановке геометрическая оптика является основой вычислительной оптики [11], на базе которой осуществляются расчеты разнообразных оптических элементов и систем. Согласно второй точки зрения основные выражения и соотношения аппарата геометрической оптики являются по своей сути приближенными решениями волновых уравнений, во многих случаях облегчающих их анализ. Исходя из целевой установки данной книги мы будем придерживаться второй точки зрения. При этом сосредоточимся на вопросах распространения света в неоднородной среде, показатель преломления которой плавно меняется в пространстве. Световое поле представляется в форме локально плоской волны. В приближении геометрической оптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а частота, которая считается большой величиной, входит только в фазовый множитель. [c.35]

Смысл Г. в. состоит в сведении ретиешш системы А1аксвелла уравнений для двух векторных величия (Е и И )к решению неоднородного волнового уравнения для одного вектора (П пли П ) с источником ила [c.442]

Используя общие методы решения неоднородного волнового уравнения (см., например, [1]), Кэрль [2] на основе теории Лайтхилла получил такую формулу для флуктуаций плотности в точке наблюдения, находящейся на расстоянии г от области g [c.425]

Акустические нагрузки. Задача о колебаниях упругих систем под действием акустического излучения работающих двигателей приобрела в последние годы большую важность в связи с так называемой проблемой акустической усталости конструкций [6, 43]. Экспериментальные данные по частотным спектрам пульсаций давления в различных точках акустических полей работающих двигателей приведены в работах [42, 43, 49]. Пространственную корреляцию в принципе можно рассчитывать в соответствии с теорией Лайт-хилла [52], исходя из решения неоднородного волнового уравнения. В некоторых случаях, однако, пространственную корреляцию можно оценивать на основании чисто геометрических соображений [32]. [c.534]

В полном соответствии с предьщущим анализом решения уравнения Пуассона объемный интеграл в (2.18) есть частное решение неоднородного волнового уравнения. С физической точки зрения объемный интеграл представляет часть обтцего решения волнового уравнения (2.12), обусловленную всеми акустическими источниками, расположенными внутри V, а поверхностный интеграл представляет собой общее решение однородного волнового уравнения и физически соответствует изменению состояния жидкости, обусловленному всеми акустическими особенностями, расположенными за пределами поверхности S, охватывающей область V, т.е. Ф(х, I) = ф(х, i)k + ф(х, t)s. [c.48]

Запаздывающие потенциалы. Рассмотрим решения неоднородных волновых уравнений (И) и (12) дли векторного и скалярного потенцпалов, иод-чипяющнеся соотношению (10), и покажем вначале, что этим уравнениям [c.85]

КЙРХГОФА ФОРМУЛА — ф-ла, выражающая регулярное решение и ос, f) неоднородного волнового уравнения в трёхмерном пространстве [c.370]

Если вместо изменения массы в точке мы имеем дело с изменением массы в единице объема, то тогда вместо q t) будем иметь некоторую функцию Q t). При наличии источнииа Q t) в уравнение неразрывности (1.11), в правую его часть, нужно включить эту величину. Тогда в волновом уравнении (10.1) правая часть будет равна dQ/dt. Решение этого неоднородного волнового уравнения имеет вид (аналогичный запаздывающему потенциалу в электромагнитной теории) [c.384]

Возможности учета неоднородностей среды при миграции по Кирхгофу ограничиваются допущениями, лежащими в основе интеграла Рэлея-Зоммерфельда как рещения волнового уравнения. Во-первых, это - не интеграл Соболева (1930), дающий строгое решение акустического волнового уравнения для неоднородной среды, а интеграл, являющийся упрощенным решением волнового уравнения для однородной среды, причем для дальней зоны. Следовательно, миграция по Кирхгофу а) заведомо непригодна для малых расстояний источник - точка изображения и точка приема - точка изображения, (Ь) среда может быть лишь слабо неоднородной, и (с) шаг пространственной дискретности должен быть мал. Чтобы обеспечить выполнение этих ограничений, модель скоростного разреза, используемая для расчета функции ж, сглаживается растяжение сейсмического импульса, особенно сильное при малых временах и большом вертикальном градиенте скорости, подавляется либо автоматически, либо разумным выбором мьютин-га вводится регулируемое подавление эффектов зеркальных частот, возникающих при крутых углах наклона отражающих границ и особенно опасных для высокочастотной части спектра сейсмического поля. Одним из способов такого подавления является искусственное ослабление высокочастотной части спектра сейсмических волн, отраженных от крутопадающих границ - а это снижает разрешающую способность миграции. [c.50]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

При os2 QJ os2 р + os у = 1 (1.24) удовлетворяет волновому уравнению. Заметим, что это утверждение справедливо также и в том случае, если, например, os а > 1. При этом углы теряют свой простой геометрический смысл, становятся некоторыми комплексными величинами. Такие решения — так называемые неоднородные плоские волны — возникают при исследовании полного внутреннего отражения и в некоторых более сложных задачах. [c.18]

В последних двух главах рассматривается концентрация поля в некоторых ограниченных областях пространства, в которых имеют место определенные комбинации длин волн и неоднородностей среды это приводит к эффекту, который можно назвать своего рода удержанием излучения. В частности, в гл. 7 мы рассмотрим пассивные и активные резонаторы, используемые в лазерных устройствах и предназначенные для удержания излучения вблизи оси оптических резонаторов и интерферометров Фабри — Перо. При этом мы будем проводить изучение главным образом на основе теории дифракции. В гл. 8 для исследования удержания излучения в поперечном направлении вблизи оси диэлектрического световода задача решается аналитически с использованием модовых решений волнового уравнения. Это позволяет рассмотреть единым образом самые современные вопросы, связанные с такими нелинейными оптическими явлениями, как фазовая самомодуляция и солитоны. [c.9]

Вьнпе были рассмотрены различные формы и методы решения волнового уравнения в предположении нестащюнарности источников, формирующих правую часть этих уравнений. Что касается среды распространения звука, то во всех рассмотренных случаях ее физические параметры считались однородными и стационарными. Если среда неоднородна и нестационарна, то вследствие процессов рассеяния на неоднородностях монохроматические волны будут искривлять первоначальный фронт, также будет разрушаться корреляция вдоль волнового фронта, а при распространении стационарного шумового сигнала его статистические характеристики будут трансформироваться. [c.69]

Для тфеодоления описанных недостатков УВТ нужно осуществить переход от лу%вых методов к методам, основанным на решении волнового уравнения, учитывающим дифракционные эффекты при распространении ультразвука в неоднородной среде. [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...