Решение волнового уравнения в сферических координатах

III. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ [c.442]

Поскольку потенциал Морзе зависит только от переменной г, можно использовать волновое уравнение в сферических координатах и искать решение, зависящее только от г, тогда [c.519]

Метод решения волнового уравнения в сфероидальных координатах разработан. Анализ этого уравнения показывает, что получить конечный результат для резонаторов со сферическими зеркалами круглой формы можно только при выполнении некоторых условий [c.73]

Чтобы визуализировать собственные колебания сферы, необходимо знать функции, описывающие распространение волн в сферических координатах. В разделе Волны вблизи плоской границы было замечено, что решением волнового уравнения в прямо- [c.123]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Решение волновых уравнений (1.3) в области изображений в сферических координатах имеет вид. 00 [c.288]

Решениями уравнения Шредингера являются волновые функции электронов Ч (г, 0, ф), задаваемые в соответствии с симметрией задачи в сферических координатах. Переменные в этой задаче разделяются, и волновые функции можно представить в виде произведения трех функций [c.10]

Рассмотрим сферические волны, идущие от источника / до поверхности о и от поверхности о до рассматриваемой точки Р. Для решения этой задачи используем волновое уравнение Д Алам-бера в сферических координатах. Это волновое уравнение, как известно, в общем случае имеет следующий вид [c.266]

Перейдем к рассмотрению свободных многоэлектронных атомов. Структура энергетического спектра сложных атомов обладает значительным сходством со структурой спектра атома водорода. Физическая причина этого сходства заключается в том, что и в более сложных атомах каждый электрон находится под действием приблизительно центральных сил с центром, расположенным на ядре. Как и в случае атома водорода, потенциальная энергия отдельного электрона является и в рассматриваемом случае функцией только расстояния от ядра. Уравнение Шредингера для многоэлектронного атома, как и для атома водорода, решается в сферических координатах методом разделения переменных, и при его решении находятся аналогичные наборы значений квантовых чисел п, /, т/, а выражения для угловых частей собственных волновых функций этого уравнения оказываются точно такими же, как и в случае атома водорода. Однако энергия отдельного электрона теперь оказывается зависящей не только от п, но и от что приводит к расщеплению атомных уровней энергии. [c.20]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

По существу этим задача об излучении звука пульсирущей сферой решена. Далее, воспользовавшись связью /> и 2 с потенциалом , можно найти р, 7)- и интенсивность звукового поля. Из изложенного видим, что задача об излучении пульсирующей сферой сводится к решению волнового уравнения в сферических координатах, удовлетворяющего условию на границе излучателя со средой и условию на бесконечности. Для такого излучателя согласно (Э. ) - [c.65]

Общий метод решения этой задачи состоит в том, что мы составляем волновое уравнение в сферических координатах и находим его общее решение, выраженное рядом по сферическим функциям. Зател мы находим радиальную скорость как [c.329]

Уравнение эйконала явля тсяхарактеристическим для соответствующего волнового уравнения. Решение уравнения эйконала определяет характеристический конус этого волнового уравнения в системе координат (х, у, z, т). В трехмерной однородной среде это - сферический (гипер)конус [c.14]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Падающая волна, встречая полость, порождает отраженные волны как расширения, так и сдвига. Потенциалы отраженных волн Ф, F определяются из решения волновых уравнений (2.31), (2.36 ) в сферических координатах. Учитывая, что задача характеризуется осевой симметрией относительно (хмОх , оператор Лапласа в волновых уравнениях запишем в виде [c.106]

Сферические волны общего типа. —Чтобы изучить несколько более сложные волны, излучаемые сферой, следует рассмотреть решения волнового уравнения, которые зависят не только от О, но также и от г и i. Мы ограничимся изучением волн, которые зависят только от угловой координаты О, т. е. симметричны относительно полярной оси (этого рсда волны называются зональными) и не зависят от 9. Анализ движения волн, которые зависят также и от долготы (азимута) 9, более сложен для изучаемых в этой книге задач рассмотрения таких волн не требуется. Волновое уравнение, которое требуется решить, в случае зональных волн следующее [c.345]

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара. При радиальных колебаниях и направлено по радиусу и зависит только от г (и от t). Поэтому rot U = 0. Введем потенциал смещения ф согласно = и= = dqildr. Выраженное через ф уравнение движения сводится к волновому уравнению Дф = ф, или для периодических по времени колебаний 1 [c.129]

В данной работе развит метод построения потенциала скоростей сжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом сосуде, содержащем несколько взаимодействующих сферических включений. Строится решение уравнения Гельмгольца для соответствующей пространственной многосвязной области. При этом решение, записанное в цилиндрических координатах, удается переразложить по системе сферических волновых функций (и наоборот), что позволяет удовлетворить соответствующим граничным условиям на сферических и цилиндрических поверхностях и в итоге получить бесконечную систему алгебраических уранений относительно коэффициентов искомых представлений. В качестве конкретной задачи [c.489]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...