Уравнение волновое для гармонических волн

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

Рассматривая волновые процессы в волноводе, аналогично тому, как это делалось в предыдущих главах для полупространства, можно выделить задачи двух типов. В задачах первого типа мы не интересуемся источником волнового движения и ищем лишь возможные состояния волновода, согласованные с определенными условиями на его поверхности. По сути, речь здесь идет о поиске некоторых резонансных ситуаций — таких частных решений уравнений движения для гармонических процессов, которые обеспечивают нулевые граничные условия относительно некоторого числа статических и кинематических факторов. Эти частные решения называются нормальными модами или нормальными волнами в волноводе. [c.110]

Нужно только не забывать, что уравнение (48) выведено в предположении, что при колебаниях стержня его сечения поворачиваются как целое, не искажаясь. В крутильных концентраторах это условие может нарушаться, так как могут возникнуть колебания сложной формы, для которых уравнение (48) неприменимо. Как следует из изложенного в гл. 1, даже для однородного стержня волновое уравнение для гармонических волн в случае искажения сечений будет суш ественно сложнее, чем уравнение (48) [см. выражение (16)]. Однако при практических расчетах все же можно применять уравнение (48), имея в виду, что в выполненном в материале концентраторе при его возбуждении принципиально можно ожидать возникновения сложных крутильных колебаний (типа колебаний с узловыми цилиндрами). [c.307]

Пример 2. Электромагнитные волны в однородной диспергирующей среде. Если принять во внимание дисперсионное соотношение (11), то волновое уравнение для гармонической волны частоты со будет иметь вид [c.303]

В слоистой стационарной среде волновые уравнения для гармонических волн можно упростить далее по сравнению с (1-23) и свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если перейти к спектральным харак-14 [c.14]

Решение. В данной задаче волны 5Я-поляризации не связаны с волнами других типов и поэтому они полностью описываются скалярным волновым уравнением (1.2.8). Его решение для гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х в пластине с плоскостью симметрии 2 = 0, удобно представить в виде [c.194]

Для гармонической волны волновое уравнение упрощается — подставляя (22.1) в волновое уравнение (16.1), получим так называемое уравнение Гельмгольца [c.67]

Явление геометрической дисперсии хорошо изучено для случая вытянутых тел, таких, как стержни или слои. Пример распространения гармонической волны в слое рассматривается в приложении Б. Частотное уравнение Рэлея — Ламба для слоя показывает, что можно получить из элементарных теорий, а именно что при малых значениях волнового числа фазовая скорость продольных гармонических волн (симметричных) с изменением этого числа меняется очень мало, в то время как фазовая скорость поперечных гармонических волн (антисимметричных) зависит от волнового числа линейным образом. На малых расстояниях направленно армированный композит в основном работает как система волноводов, и поэтому можно ожидать, что распространение в нем гармонических волн, в особенности поперечных (по отношению к направлению армирующих элементов), сопровождается дисперсией. [c.357]

Частотные уравнения для случая гармонических волн, распространяющихся перпендикулярно направлению слоев, мол<но найти в работе Рытова [58] — первой работе по этому вопросу, а также в книге Бреховских [16]. Плоские гармонические волны, распространяющиеся в произвольном направлении, изучались в работе Све [67]. Некоторые результаты Све представлены на рис. 5. Приведенный на этом рисунке частотный спектр отчетливо показывает различие в природе синусоидальных волн, соответствующих различным углам падения. Для возмущений, распространяющихся перпендикулярно направлению слоев, имеется полоса частот, для которых не существует волн с вещественным волновым числом. Это означает, что в данном случае слоистая среда работает как волновой фильтр. Если же направление распространения волны не перпендикулярно к направлению слоев, [c.369]

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой (О движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнений Гельмгольца [78 [c.75]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

Рассмотрим теперь условия распространения ультразвуковых волн в однородных слоях с точки зрения возможных частот и структуры поля. Для этого необходимо решить волновое уравнение (П1.4) с соответствующими граничными условиями. Для большей наглядности и удобства дальнейших рассуждений напишем волновое уравнение для гармонических смещений с вдоль оси х, перпендикулярной границам плоского слоя толщиной й. В этом случае для амплитуд смещений имеем [c.180]

Поведение векторных диаграмм волновых и диффузионных моделей отличается друг от друга при больших частотах о кривые векторных диаграмм стремятся к конечным величинам или неограниченно возрастают при и) оо для волновых и диффузионных моделей соответственно. Аналогично ведут себя корни характеристических уравнений при возрастании времен релаксации (ретардации) Ге(о.) от О до оо в задачах о свободных колебаниях вязкоупругих стержней, а также дисперсионные зависимости скоростей гармонических волн, распространяющихся в полубесконечных вязкоупругих стержнях, при ш —> оо, если поведение материалов стержней подчиняется реологическим уравнениям волнового или диффу- [c.716]

Нелинейная часть поляризации также имеет вид наложения гармонических волн с медленно меняющимися волновыми амплитудами р<нл) д возникающий спектр частот в общем случае уже не совпадает со спектром частот напряженности поля. С помощью соображений, аналогичных использованным при выводе уравнения (1.32-12), можно показать, что представляют интерес только те частотные компоненты нелинейной поляризации, для которых У1 — к- [c.232]

Не ограничивая по суш еству общности задачи, рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х вдоль границы полупространства с вакуумом (см. рис. 1.1). В этом случае движение не зависит от координаты и у векторного потенциала г ) будет отлична от нуля только компонента по оси у. Эту компоненту обозначим просто через ф. Для плоской гармонической волны уравнения движения (1.3), (1.4) будут удовлетворены, если потенциалы ф и ф являются решениями двух волновых уравнений вида [c.7]

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, необратимому превращению ее в тепло, т. е. поглощению звука И уменьшению его интенсивности. Формально коэффициент поглощения звука можно получить, если искать решение одномерных линеаризованных уравнений газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности в виде плоской гармонической волны типа ехр [i кх — wi)], где к — волновой вектор. При этом для к получается комплексное значение, действительная часть которого дает длину волны, а мнимая — коэффициент поглощения к = ki + г/сг ехр [г кх — ш/)] = [c.70]

Также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если = у для всех частот. (Для стоячих волн Уф означает со/ , Хотя понятие фазовой скорости не будет естественным параметром Для описания стоячих волн.) Это также следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы встретились в п. 2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне. [c.283]

Будем рассматривать случай плоской гармонической волны и искать решение этого уравнения в виде ф=ф ехр[/( oi—кх)]. Подставляя это значение в (2.9), получим для волнового числа к следующее выражение [c.40]

Поскольку волна плоская и движение не зависит от координаты у, у векторного потенциала будет отлична от нуля только компонента по оси у, эту компоненту обозначим просто через г]). Потенциалы ф и г]) называются соответственно потенциалами продольных и сдвиговых волн и удовлетворяют (для гармонических процессов) следующим волновым уравнениям [c.5]

Рассмотрим вначале задачу о распространении плоских гармонических поверхностных волн на границе двух полупространств — твердого и жидкого. Будем считать направлением распространения ось лг, а ось г направим перпендикулярно границе в глубь твердого полупространства (см. рис. 1). Твердое полупространство будем считать однородным изотропным абсолютно упругим, а жидкость идеальной. Выражения для потенциалов ф, продольных и поперечных волн в твердом полупространстве должны (как и для рэлеевских волн) удовлетворять волновым уравнениям (1.2), а выражения для потенциа- [c.55]

Решение. Согласно формулам (2 1), (2 2) решение волнового уравнения для давления в гармонической волне можно записать в виде [c.12]

Фронты гармонических волн — это поверхности равных фаз. Для сред, подчиняющихся волновому уравнению, скорость гармонической волны не зависит от частоты и равна скорости любой плоской волны. В более сложных случаях фазовая скорость ока- [c.54]

Польза описанного способа анализа станет очевидной несколько позже в этой же главе. Мы можем видеть, прежде всего, из уравнения (23.8), что для волнового движения, состоящего из двух простых гармонических волн, распространяющихся в противоположных направлениях, удельный акустический импеданс в произвольной точке х даётся величинами X ж R, соответствующими а = а и = — 21 к) х — Хо), если в какой-то точке он даётся величинами и или постоянными и Величины импедансов для различных точек вдоль волны на графиках соответствуют точкам пересечения круга постоянного а с кривыми р, которые определяются числом полуволн, укладываю- [c.268]

Процесс поглощения звука в жидкостях и газах описывается уравнениями гидродинамики с учетом вязкости и теплопроводности. Если искать решение линеаризованных уравнений гидродинамики для одномерного случая в виде плоской гармонической волны типа ехр кх — o ), то волновое число к оказывается комплексным вещественная его часть опреде- [c.7]

Здесь со — круговая частота процесса. При такой записи величина Фо (р) является амплитудой плоской волны, зависящей только от направления распространения. Аналогично для векторного волнового уравнения в (1.16) решение в виде плоской гармонической [c.26]

Уравнение (И) формально идентично волновому уравнению для непроводящей среды, но теперь волновое число комплексно. Простейшим решением (11) служит плоская гармоническая ио времени волна [c.569]

Пример 1. Электромагнитные волны в вакууме. Используя уравнения (16) и (10), ыы находим, что волновая функция для отдельной гармонической составляющей с частотой со и волновым числом к удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.303]

С точки зрения исследования распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели динамики сплошной среды является ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям так называемого гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими. Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэтому способны описать динамические явления в областях, расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного дифференциального оператора), то с помощью первых можно построить теории, применимые при более высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео- [c.6]

Рассматривая в предыдущих главах различные вопросы теории волн, мы не касались вопроса о возбуждении волн и о свойствах волнового поля в присутствии источников, создающих волны. Все рассмотренные линейные задачи описывались однородным волновым уравнением, а для гармонических во времени полей — эднородным уравнением Гельмгольца. [c.356]

Для решения задачи о распространении звука в плоском изоско-ростном слое для гармонической волны удобно представить волновое уравнение др -f О в силу цилиндрической симметрии в цилиндрических координатах [c.45]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким образом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии. Здесь могут существовать так называемые солитоны-образования, обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов. Сам термин солитон относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкновениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в волоконных световодах интересен не только как фундаментальное явление, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оптических линиях связи. В данной главе изучается распространение импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, особое внимание уделяется солитонному режиму распространения. В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости. Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции (ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован для нахождения солитонных рещений уравнения распространения. Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаментального солитона и солитонов высщих порядков. Следующие две главы посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3 рассматривается солитонный лазер разд. 5.4 посвящен использованию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные эффекты высщих порядков, такие, как дисперсия нелинейности и задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в разд. 5.5. [c.104]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной суперпозиции стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме. Уравнение (17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе. Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение с на с11у тас1 г)), что иначе можно записать в виде или [c.303]

Эти же авторы рассмотрели аналогичную задачу, но с соединительной прокладкой между слоями [3.114] (1968), которая беэинерционна и характеризуется только конечной, жесткостью на сдвиг. Условия равновесия прокладки приводят к равенству прогибов, а также нормальных и касательных напряжений на поверхностях примыкающих слоев. Для случая распространения гармонических волн в осевом направлении получено дисперсионное уравнение (определитель пятого порядка), в которое входит безразмерный параметр жесткости прокладки B = GH b Eyh +E2h2), где G и Ь — модуль сдвига и толщина прокладки Е[ и 2, и /12 — модули Юнга и толщины слоев. ]Дель работы состоит в исследовании влияния параметра В на колебания оболочки. В случае предельных частот (волновое число равно нулю) получены аналитические формулы для пяти фазовых скоростей (осевое и радиальное движения, три типа осевых сдвиговых движений). В общем случае вычисления выполнены на ЭВМ. Показано, что существует промежуточная область критиче- ских значений Бкр, которая разделяет области мягких и жестких В. При и Б>Б р применимы приближен- [c.206]

Выражение для а получено нами на основе волнового уравнения (2.9). Это же выражение для а можно получить другим путем, используя уравнение (1.2.12). Для этого следует воспользоваться известными термодинамическими соотношениями — для приращения температуры Т в звуковой волне, распространяющейся в жидкости со скоростью с и имеющей колебательную скорость и Г =рстГ/Ср (здесь р = (йУ/йГ)р/У — коэффициент теплового расширения), и выражением для разности теплоемкостей Ср—Су= = Т с С ,/Ср. В случае плоской гармонической волны (и= =и 81п((й —кх)) Е=—легко находится, и поскольку =ри /2, то с помощью третьего уравнения (2.4), используя определение коэффициента поглощения (2.3), получаем формулу (2.12) [6]. [c.41]

Итак, пусть в твердой абсолютно упругой пластинке толщины 2й (см. рис. 29), погруженной в идеальную жидкость, в положительном направлении оси х распространяется плоская гармоническая волна часто гы со. Выражения (И.1) для волновых потенциалов ф и г]), описывающих движение пластинки, должны удовлетво рять уравнениям (1.2), а выражения для потенциала фж—аналогичному уравнению (1.43). В соответствии с принципом погашаемости [15], потенциал фж должен соответствовать волнам, уходящим от пластинки, или неоднородным волнам, распространяющимся вдоль граней пластинки и экспоненциально убывающим при удалении от них. Кроме того, на плоскостях г= (1 должны выполняться граничные условия равенства нормальных смещений в жидкости и пластинке, равенства давления в жидкости и пластинке, равенства давления в жидкости напряжению Огг в пластинке и отсутствия касательного напряжения Охг- [c.131]

Третий и последний аспект акустической интерферометрии, который следует рассмотреть, связан с формой нормальных мод в процессе распространения акустических волн в трубе. Строго говоря, необходимо решить волновое уравнение для цилиндрического канала с жесткими стенками, на одном конце которого находится излучатель, являющийся источником гармонических колебаний, а на другом — отражатель. Метод Крас-нушкина [47], который в дальнейшем был развит Колклафом [c.107]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

Бели возмущения, характеризующие звуковую волну, являются гармоническими функциями времени, то волна называется монохроматической. Важным частным случаем таких волн являются бегущие плоские монохроматические волны. Значение этого класса волн весьма велико, поскольку любую волну можно представить в виде совокупности различных монохроматических плоских волн, т. е. в виде разложения в ряд или интеграл Фурье. Решение волнового уравнения для случая бегущих плоских монот хроматических волн-должно иметь вид [c.508]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...