Уравнение волновое дифференциальное

Несмотря на радикальное отличие новых идей от концепций старой физики, основной чертой дифференциальных уравнений волновой механики является их самосопряженность. Это означает, что они получаются из вариационного принципа. Поэтому, несмотря на все различия в интерпретациях, вариационные принципы механики продолжают играть важную роль в описании всех явлений природы. [c.395]

В линейной теории вычисления могут быть проведены относительно простыми аналитическими средствами, так как линеаризированные уравнения потока в основном совпадают с уравнениями волнового движения малой амплитуды. Следовательно, многие хорошо известные методы теории волн могут быть применены в такой упрощенной сверхзвуковой аэродинамике это особенно справедливо для случая тонких тел вращения (например, для фюзеляжа самолета, корпуса снаряда и для плоских тел, подобных крылу самолета). В этих случаях может быть сделано дальнейшее упрощение, которое касается граничных условий задачи, а именно, требования плавного обтекания. Это условие определяет, в случае осесимметричного потока, направление вектора скорости на поверхности, а в случае плоского тела — направление составляющей вектора скорости, лежащей в плоскости нормальной к средней поверхности тела. Линеаризированные дифференциальные уравнения при указанных граничных условиях можно решить точно, но, обычно, приходится применять численные и графические методы. Поэтому желательно дальнейшее упрощение задачи, которое достигается с помощью предельного перехода от точных граничных условий к условиям, относящимся к оси тела вращения или к плоскости плана крыла вместо действительной поверхности. Приводимые ниже результаты основаны на этом приближении. Строго говоря, только это приближение согласуется с допущениями линейной теории, потому что если удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были отброшены в дифференциальных уравнениях. [c.13]

В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика) дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла) дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной. [c.105]

Дифференциальное уравнение волновое 282 [c.555]

Описанные построения не обязательно производить при помощи сфер. В общем случае сферу можно заменить любой поверхностью, зависящей от одного параметра, так как поверхности этого типа всегда имеют характеристики и огибающие. Геометрическая сторона принципа Гюйгенса и в этом случае сохраняет свое значение. Только математическая его формулировка не будет пригодна, поскольку она опирается на дифференциальное уравнение волнового типа в частных производных, а поверхность волнового фронта может и не быть интегралом волнового уравнения. [c.185]

Уравнение эйконала было выведено нами из уравнений Максвелла (дифференциальных уравнений первого порядка), однако его можно получить и из волновых уравнений (уравнений второго порядка) для векторов электрического пли магнитного полей. Для этого следует подставить выражения (1) и (8) в волновое уравнение (1.2.5), и тогда после простых преобразований получим [c.119]

В общем случае для систем уравнений с частными производными, описывающих волновые задачи для упругопластических и упруго/вязкопластических тел, нельзя определить решение в замкнутом виде. Ввиду этого для нахождения решения применяются приближенные методы [115]. Основой этих методов является аппроксимация производных в дифференциальных уравнениях отношениями разностей и решение полученных систем разностных уравнений вместо дифференциальных систем. [c.65]

Примеры, приведенные в этой главе, уже дают некоторое представление о том, как один и тот же математический аппарат (тригонометрические формулы, векторные диаграммы) может быть с успехом применен к задачам о суперпозиции колебаний самой различной физической природы. В следующей главе мы познакомимся с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора, которое описывает колебания множества физически совершенно разнородных систем в главе V —с волновым дифференциальным уравнением, одинаково применимым к акустическим и электромагнитным волнам в главе XI—с понятием спектра функции и со спектральным разложением, частным случаем которого является ряд (2.16) и которое также служит одним из наиболее универсальных и сильных математических средств теории колебаний н волн. [c.54]

Дифференциальное волновое уравнение. Установим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (40.1), описывающая волну, распространяющуюся в направлении оси Ох. Рассматривая эту функцию как сложную функцию двух переменных X и 4 = /(.х-у1) = /[и(х,1)], где и(х,1) = х-у1, найдем ее первые и вторые частные производные по х и Г, учитывая, что ди дх = 1 и ди1 1 = -у [c.131]

В гл. II излагается общая теория конечных элементов. При этом свойства конечноэлементных моделей полей общего вида представлены в форме, пригодной для пространств любой конечной размерности. Рассматриваются различные типы конечноэлементных моделей, а также критерии сходимости метода и некоторые приложения к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям, волновым явлениям и динамике разреженных газов. Кроме того, в зтой главе подробно обсуждаются понятия сопряженных подпространств и сопряженных аппроксимаций. [c.7]

Эта проблема рассматривает частицу, вынужденную двигаться в ограниченной области пространства, определенного прямоугольным ящиком с размерами ребер а, Ь и с. Волновое уравнение для этой системы дано уравнением (2-12). Решение этого дифференциального уравнения с частными производными с тремя неизвестными переменными можно получить, если принять, что [c.77]

Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение, описывающее волновое движение, т. е. уравнение, решением которого будет любая функция от аргумента Ы — х) или и( + х), будет иметь вид [c.27]

Впоследствии (1882 г.) Кирхгоф показал, что принцип Гюйгенса—Френеля может быть получен из дифференциальных уравнений оптики (из волновых уравнений) при этом все отмеченные нами поправки входят автоматически. [c.170]

При решении дифференциального уравнения (5.20) мы ничего не говорили о граничных условиях задачи. Задание граничных условий позволит установить интервал изменений волновых чисел k и число допустимых значений k в этом интервале. До сих пор мы имели дело с бесконечно длинной цепочкой. Ясно, что силы, действующие на атомы в середине цепочки, отличны от сил, действующих на ее концах. Это приводит к тому, что полона [c.148]

Принцип Гамильтона (4), содержащий в себе геометрическую конструкцию траектории по волновому принципу Гюйгенса, как никакой другой принцип динамики позволяет с общей точки зрения осветить методы интегрирования дифференциальных уравнений движения. [c.278]

Круг явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявляются квантово-механические закономерности, определяется в первую очередь их очевидной несовместимостью с классическими представлениями. К этому кругу относятся прежде всего явления, обусловленные волново-корпускулярным дуализмом в движении микрочастиц. Построение модели такого движения привело к формулировке уравнения Шредингера, которое является новым уравнением физики и не может быть выведено из ранее известных уравнений. Однако в физике давно было известно, что любые волны описываются соответствующим волновым уравнением. Исторически и логически уравнение Шредингера возникло как уравнение для волн де Бройля. Такой подход к уравнению Шредингера является наиболее простым и естественным в рамках индуктивной формулировки физической модели в курсе общей физики. Однако необходимо со всей возможной полнотой подчеркнуть, что при этом речь идет не о возникновении еще одной новой области физики, которая описывается соответствующим новым дифференциальным уравнением, а о новой области физики, модель которой может быть описана и без дифференциального уравнения Шредингера. С этой точки зрения более целесообразно начинать изложение квантово-механической модели в матричной формулировке, в которой она и была открыта Гейзенбергом. Однако из педагогических соображений более предпочтительно рассматривать матричную формулировку после уравнения Шредингера как представление. [c.9]

Уравнение дифференциальное волновое 36 [c.230]

Возмущения, вызванные в сжимаемых жидкостях и газах, в том числе и распространение звука, могут быть в зависимости от условий либо малыми, либо конечными возмущениями. Известно что в обычных условиях акустические возмущения являются ма лыми возмущениями и распространяются со скоростью звука а при сильных взрывах они будут конечными и скорость их рас пространения может значительно превосходить скорость звука Движение при малых возмущениях и движение при конечных возмущениях математически описываются совершенно различными уравнениями. Первое определяется линейным дифференциальным уравнением в частных производных, называемым в математике волновым уравнением. Обычно это уравнение имеет вид [c.149]

Дифференциальное уравнение (6.6.1) называется волновым уравнением, оно описывает всевозможные динамические процессы. в стержне, распространение волн, а также колебания. [c.188]

Для определения характеристической функции соответствующего ВОЛНОВОГО движения необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (13.11) для функции xW-В самом общем случае получаются волновые движения, обладающие особенностями на свободной поверхности жидкости. [c.108]

Интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений, составленных Герстнером, дает возможность построить линии a ib и a b i, т. е. построить эпюры волнового давления. [c.620]

Для потока свободных частиц волновая функция Ф выражается формулой (3) 17, причем длина волны и частота v определяются соотношениями (1) того же параграфа. Возникает вопрос, как определить волновую функцию для частицы, движущейся под влиянием данных сил. Такая задача была решена Шредингером, нашедшим в 1925 г. дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет волновая функция Ч " для случая любого силового поля. Это уравнение можно получить путем следуюш,его обобщения. Подставим в волновую функцию W, выражаемую для свободных частиц формулой (3) 17, вместо X и V их значения по формуле (1) 17 введем еще h Л/2тг, тогда получим [c.90]

Волновое уравнение — дифференциальное уравнение 2-го порядка, описывающее связь изменения смещения или другой акустической величины во времени и пространстве. Для изотропного твердого тела оно имеет вид [c.6]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Лучевые свойства механических траекторий являются лишь частью глубокой аналогии, существующей между оптикой и механикой. Построение волнового фронта на основе принципа Гюйгенса также имеет механическую аналогию. Действительно, дифференциальная формулировка принципа Гюйгенса совпадает с уравнением в частных производных Гамильтона для оптики. [c.307]

Значение уравнения в частных производных Гамильтона в теории распространения волн. Выше было выяснено, что уравнение в частных производных Гамильтона (8.7.17) в оптике выражает принцип Гюйгенса в дифференциальной форме. Хотя принцип Гюйгенса основан на предположении о волновом характере движения, построение с помощью этого принципа последовательности волновых фронтов является методом геометрической, а не физической оптики. Для того чтобы более глубоко изучить связь между уравнением в частных производных Гамильтона и принципами физической оптики, мы несколько преобразуем определение волнового фронта. До сих пор мы рассматривали волновые поверхности в связи с распространением элементарных световых возбуждений в геометрической оптике, однако они имеют не меньшее значение и в физической оптике при изучении распространения световой волны определенной частоты. При этом волновые поверхности могут быть определены как поверхности равной фазы. Скорость распространения света является в то же время скоростью распространения фазового угла, например ф, в направлении, перпендикулярном волновым поверхностям. [c.315]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Известно, что волновые процессы, возникаюш,ие в трубопроводах гидросистем, описываются системой дифференциальных уравнений, полученных И. А. Парным [c.15]

В настоягцей работе расчет волновых процессов в неоднородной гидросистеме проводится методом входных импедансов, разработанным в теории длинных линий [2]. Изучение волновых процессов в сложных гидросистемах при этом проводится на основании формальной аналогии записи дифференциальных уравнений Движения жидкостей в трубопроводах и уравнений распространения электрического тока вдоль линии с распределенными по длине емкостью С, индуктивностью Ь и сопротивлением Е, [c.16]

Явления, происходящие в сплошных средах, таких как упругие тела, газы и жидкости, а также электромагнитные явления, как правило, приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными [59], причем волновые. процессы и процессы переноса (диффузия, теплопередача) описываются здесь уравнениями соответственно гиперболического и параболического типов, а состояния равновесия — уравнениями эллиптического типа. [c.9]

Учитывая сравнительно небольшую длину трубопроводов, соединяющих насос с гидромотором (<5 м), волновыми процессами в трубопроводах пренебрегаем конструктивные параметры системы, а также температура и вязкость рабочей жидкости во всем процессе регулирования принимаются постоянными колебание передаточного отношения в редукторах и винтовых передачах, вызванное неточностью изготовления зубчатых колес и винтовых пар, при составлении дифференциальных уравнений не учитывается усилия, которые привод в процессе резания должен преодолевать, не считая сил сухого трения в подвижных частях 520 [c.520]

Как известно, один из основных недостатков явного метода решения дифференциальных уравнений — значительная погрешность, имеющая место из-за ошибок округления даже при отсутствии заметной ошибки аппроксимации. Рассмотренный метод позволяет сократить эту погрешность, уменьшить число операций (примерно вдвое) и облегчить труд расчетчика. Этот метод может быть распространен и на другие классы дифференциальных уравнений (например, волновое уравнение). [c.215]

Переходный режим работы привода, а также режим с переменным входным воздействием без учета волновых процессов описываются системой дифференциальных уравнений, порядок которых определяется числом учитываемых факторов. [c.51]

Подобные системы, дсижение которых, наряду с обыкновенными уравнениями, описывается дифференциальными уравнениями в частных промзводных, принято называть системами с распределенными параметрами. Одним из важнейших вопросов, возникающих при конструировании и исследовании такого рода систем, является вопрос об устойчивости малых колебаний. Устойчивой мы будем называть систему, малые свободные колебания которой с течением времени затухают. Наличие волновых процессов в отдельных звеньях системы придает ей сущестаенно новые свойства и может привести к неустойчивости, что в большинстве случаев недопустимо. [c.128]

Составим теперь дифференциальные уравнения волновой поверхности. Для этого подставим в формулы (10) вместо их числовые значения, указанные выше получилг [c.636]

Подчеркнем, что все сказанное о волнах справедливо для распространения сравнительно малых возмущений (условие малости деформаций использовалось при выводе дифференциального волнового уравнения в рассмотренных задачах об упругих волнах в стержне и струне). Сильные возмущения подчиняются более сложным уравнениям, чем дифференциальное волновое уравнение (40.4), и их поведение весьма специфично. Упомянем ударные воякь [, солитоны в жидкостях и газах и т.п. Некоторые явления, связанные с распространением сильных возмущений, например смерчи, до сих пор не объяснены. [c.141]

Дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные, разностные, трансцендентные, равносильные, эквивалентные, Диофантовы, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, алгебраические, вековые, дробно-рациональные, волновые, условные, канонические, варьированные. .. уравнения. [c.93]

Однако как понимать наличие у электрона волновых свойств Что такое волна де Бройля На эти вопросы ответа не было. В 1925 г. де Бройль ввел в употребление таинственное понятие о волнах материи , описываемых так называемой волновой функцией. В 1926 г, немецкий физик Эрвин Шредингер предложил для волновой функции дифференциальное уравнение, вошедшее в квантовую теорию как уравнение Шредингера . Еще через год в опытах Дэвиссона и Джермера и, независимо от них, П. С. Тарта- [c.89]

Система уравнений (4.23) замечательна во многих отношениях. Например, будучи одной из форм уравнения Шредингера, она состоит из алгебраических, а не дифференциальных уравнений, что упрощает оперирование с ними. Но наиболее важная его особенность состоит в том, что она связывает коэффициенты С (к). В силу этого соотношения коэффициенты С (к) в волновой функции (4.10) не могут выступать самостоятельно, а обязательно зходят вместе со шлейфом коэффициентов С к ), аргументы которых различаются на g = 2лп/а. [c.59]

Использование ЭВМ во многом ощ еделило практическую ценность и эффективность анализа Фурье при мочелировашш ОЭП для описания волновых процессов, для решения дифференциальных уравнений, которые с помощью преобразования Фурье переводятся в алгебраические уравнения. [c.75]

В 1927 г. Шредингер предложил оригинальную идею углубить аналогию между геометрической оптикой и механикой, установленную уравнением в частных производных Гамильтона и перейти от фазовой функции f к волновой функции Ь. Так, вводя де-бройлеву длину волны (8.8.10) в амплитудное уравнение (8.8.14), получим знаменитое дифференциальное уравнение Шредингера [c.318]

Прежде чем заниматься решением киантоиой задачи о собстненных значениях для новых конкретных систем, мы подробнее осветим общую связь между дифференциальным уравнением Гамильтона (у. Г.) некоторой механической проблемы и соответствующим волновым уравнением, т. е. в рассмотренном ранее частном случае связь кеплеровои задачи с уравнением (5) первого сообщения. Данная общая связь пока была лишь кратко выражена аналитическим образом посредством неясного самого по себе преобразования (2) и столь же неясного перехода от приравнивания нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным ). [c.679]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...