Общее решение линейного волнового уравнения

Общее решение линейного волнового уравнения [c.16]

Общее решение скалярного волнового уравнения есть линейная комбинация таких частных решений. [c.144]

Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). [c.535]

Удовлетворение системы (9.2) является необходимым и достаточным условием того, чтобы и = / (О) было решением волнового уравнения. Непосредственная проверка доказывает справедливость следующего утверждения общий интеграл системы (9.2) представляет собой выражение, линейное относительно X, у и 1 [c.431]

Аналогичным образом были исследованы задачи об успокоении колебаний для линейных управляемых систем, описываемых волновым уравнением. Однако и этот путь связан с преодолением серьезных трудностей, поскольку в рассматриваемых случаях получается бесконечномерная проблема моментов и представляющий здесь основной интерес вопрос о возможности эффективной аппроксимации ее подходящей конечномерной проблемой пока еще далек от полного решения, а на общие вопросы об управляемости бесконечномерных систем скорее всего получаются отрицательные ответы. Упомянутый основной вопрос был исследован лишь в отдельных частных случаях, когда таким путем были получены значения оптимальных управляюш их воздействий как для задач программного управления, так и для отдельных проблем синтеза систем с обратной связью. Вообще задача об аппроксимации управляемых систем с распределенными параметрами подходящими конечномерными системами представляется весьма важной проблемой, разрешение которой открыло бы новые эффективные пути и для теоретического исследования и для конкретного численного решения. К сожалению, в литературе известно совсем мало результатов, относящихся к такому обоснованию. Помимо упомянутых выше исследований, связанных с использованием результатов, относящихся к проблеме моментов, и обоснованных пока лишь для отдельных частных случаев задач об управлении линейными параболическими и гиперболическими системами, можно упомянуть [c.240]

До сих пор мы рассматривали распространение пространственно неограниченных плоских волн. В настоящем разделе мы исследуем для случая линейно поляризованного света (с одной частотой) влияние описанных в разд. 4.11 нелинейностей на свет, напряженность поля которого изменяется в направлении, поперечном по отношению к направлению распространения. Для теоретического рассмотрения этой проблемы необходимо исходить из общего нелинейного волнового уравнения (1.32-1) и искать решения Е. ,х,у,г), удовлетворяющие этому уравнению и заданным граничным условиям. Однако решение такого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных связано со значительными трудностями (см. разд. 1.321) решение обычно проводится при помощи численных методов (см., например, [c.194]

Неравенство (1.3.2), при выполнении которого волну можно считать почти плоской, а среду почти однородной, является необходимым, но недостаточным условием применимости геометрической оптики. Достаточные же условия применимости должны тем или иным способом учитывать накапливающиеся погрешности, обусловленные тем, что поле нулевого приближения (1.3.3) не является точным решением волнового уравнения. Корректный учет такого рода погрешностей в общем виде представляет собой весьма трудную задачу, еще ждущую своего решения. Однако обобщая результаты многих работ, выполненных в указанном направлении, можно сформулировать некий эвристический критерий выполнимости геометрической оптики. Этот критерий требует, чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного размера первой зоны Френеля, не было резких изменений ни свойств среды, ни свойств поля. Если обозначить поперечный масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из масштабов) через / , то условие применимости геометрической оптики запишется в виде неравенства [c.44]

Общее решение составляется из решения неоднородного уравнения и двух волн, являющихся решениями однородного уравнения их волновые векторы и векторы поляризаций определяются линейными свойствами среды. Амплитуды этих волн, так же как амплитуда и поляризация нормально отраженной волны, должны быть определены из условий непрерывности для Ех, Еу, Я, Ну при 2 = 0. [c.140]

Подчеркнем, что (2.4) представляет собой обычное линейное волновое ур авнение, дополненное в правой части нелинейным источником. Общее решение такого уравнения содержит, как известно, решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения [c.336]

Теперь мы можем построить общее решение линейного уравнения движения. В случае гармонических колебаний движение атомов в цепочке, в силу линейности уравнения движения, можно предстз Вить в виде суперпозиции бегущих волн типа (5.21), каждая из которых характеризуется волновым числом k, частотой со и амплитудой А . Тогда смещение мы можем записать в виде [c.149]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

В теории упругости классическая во.тновая теоррш также по-иу чается после линеаризации. Однако даже в линейном случае ситуация оказывается более сложной, поскольку исходная система уравнений приводит по существу к двум волновым уравнениям вида (1.1) для двух функций фх, фг и двух скоростей отвечающим движению продольной и поперечной волн (волны сжатия и волны сдвига). Функции и фа связаны надлежащими граничными условиями, так что в общем случае задача гораздо сложнее, чем просто решение уравнения (1.1). На свободной поверхности упругого тела возникает новое усложнение, поскольку возможно появление поверхностных волн, так называемых волн Рэлея, [c.11]

Волновое уравнение, решенное относительно к а персионное соотношение и общие выражения для а у оптимального линейного тела имеют вид [c.112]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

В заключение отметим, что, если при выводе уравнения движения учитывать не короткодействующие, а дальнодействующие силы, то окончательный результат, в общих чертах, останется без изменений. При этом, хотя зависимость со = (х)(/г) будет иметь более сложный вид, но число нормальных колебанпй типа (5.21) по-прежнему останется равным N, т. е. числу допустимых значений волновых чисел k в интервале (5.34). При малых k зависимость f) = o(fe) остается линейной, а при k = nla групповая скорость обращается в нуль и решение в этом случае также описывается стоячими волнами типа (5.30). [c.151]

Выписанная довольно громоздкая система уравнений (4.1) — (4.5) полностью описывает линейные механические и электромагнитные процессы в пьезоэлектриках. Можно показать [6, 9], что в общем случае в пьезоэлектрических кристаллах могут распространяться в одном направлении пять волн смешанного типа, характеризующихся как механическими переменными, так и электромагнитными. Это соответствует трем возмущенным акустическим волнам, распространяющимся со скоростями, несколько большими соответствующих скоростей без учета пьезоэффекта, и двум возмущенным электромагнитным волнам, скорости которых практически не меняются. Поскольку, однако, параметр возмущения имеет порядок и/С 10 % где V — скорость акустической волны, ас — скорость света, то при решении акустической части задачи в большинстве практически важных случаев (но не во всех )) волновым характером электромагнитного поля можно пренебречь, рассматривая его в квазиста-тическом приближении. При этом задача сводится к решению системы [c.222]

В качестве примера другого рода в эту общую схему можно включить понятие групповой скорости. Как было уже указано в связи с формулой (1.26), для линейных диспергирующих волн существуют осциллирующие решения с локальным волновым числом к (ж, I) и локальной частотой со (ж, (). В этом случае к — плотность волн, т. е. число волновых гребней на единицу длины, а со — расход, т. е. число волновых гребней, проходящих через точку х за единицу времени. Если предположить, что чис.ло во.лновых гребней в процессе распространения сохраняется, то имеем дифференциальное уравнение сохранения [c.34]

Выше было отмечено, что дифференциальными уравнениями НЛП являются либо нелинейные уравнения первого порядка, либо линейные второго порядка с переменными коэффициентами. Для обоих типов уравнений отсутствуют общие методы от >1скания решений в виде конечного числа квадратур. Тем не менее для некоторых законов изменения волнового сопротивления оказывается возможным найти точные решения. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...