Трехмерные волновые уравнения

Успехи в развитии статистической дифракционной теории распространения света [20, 36, 52, 53], основывающейся на параболическом уравнении квазиоптики , в немалой степени связаны с тем обстоятельством, что волна в этом случае удовлетворяет принципу причинности. Задача решения трехмерного волнового уравнения является краевой, и, следовательно, для нее принцип причинности не выполняется. [c.39]

Томсоновское поперечное сечение рассеяния 342 Трехмерные волновые уравнения 303 [c.526]

Положим X = X os X у sin X, Тогда (что легко непосредственно проверить) функция и t, х os X + у sin Я, г, X) удовлетворяет трехмерному волновому уравнению [c.131]

Параметр X есть угол поворота координатной системы (X, F, z) вокруг оси Z относительно координат (х, у, г), а функция и t, X, Z, X) представляет собой решение плоской задачи в координатах (X, z). Таким образом, соотношение (24.28) позволяет представить решение трехмерного волнового уравнения (24.27) как совокупность решений плоских задач, определенных в плоскостях, повернутых относительно плоскости (х, z) на всевозможные углы (A). [c.131]

Таким образом, трехмерному волновому уравнению (24.27) удовлетворяют решения [c.132]

Отсюда трехмерному волновому уравнению удовлетворяют потенциалы фд , г ) , определяемые по формуле (24.28), где и заменяется [c.132]

Излучение очень малой пластинки. Весьма важно знать (см. гл. УИ1, 7), как излучает пластинка, линейные размеры которой малы по сравнению с длиной волны в среде, колеблющаяся синусоидально в отверстии неподвижного щита (рис. 205). Пусть смещение пластинки Е = Теория, основанная на рассмотрении трехмерного волнового уравнения (обобщение одномерного волнового уравнения, полученного в 4), показывает, что такой источник создает в среде акустическую сферическую волну, в которой давление на расстоянии г от источника меняется согласно уравнению [c.209]

Принцип Гюйгенса—Френеля можно доказать, исходя из трехмерного волнового уравнения, являющегося обобщением одномерного волнового уравнения, рассмотренного в гл. V, 8. При этом получаются формулы, устанавливающие количественную связь между величинами, характеризующими источники вторичных волн, и величинами, описывающими реальное колебание в соответствующих точках поверхности а. Такое доказательство выходит за пределы математических методов, применяемых 8 этой книге ), и нам придется пойти по другому пути. [c.358]

Процесс излучения волн описывается трехмерным волновым уравнением для потенциала скорости ip (v =V(f) [c.141]

В случае замкнутого объема трехмерное волновое уравнение (2.4.8) с периодическими граничными условиями приводит к ограничениям на волновой вектор, аналогичным одномерному случаю [c.136]

Этот результат составляет знаменитую теорему Блоха, которая для трехмерного случая гласит собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию Uk (г), периодическую в решетке кристалла [c.60]

Таким образом, задача о распространении упругих волн в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в однородной, изотропной, упругой среде, заполняющей безграничное пространство, любое малое возмущение может быть представлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига. Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть пространства, то могут возникать другие типы волн, например волны, распространяющиеся в окрестности границы среды. Такого рода волны будут рассмотрены ниже. [c.403]

Для решения двумерных и трехмерных стохастических задач параметрического типа наиболее подходящим является метод интегральных спектральных представлений. Применим этот метод к одномерному волновому уравнению и сопоставим с решениями [c.234]

Волновое уравнение для трехмерных упругих тел выводят обычно из динамических уравнений Ламе. В общем случае эти уравнения имеют вид [81 [c.240]

С точки зрения практических приложений важно знать, как влияют на распространение волн трехмерные полости и включения произвольной формы. Исследование этого обстоятельства крайне затруднительно, поскольку не удается разделить переменные в волновом уравнении. Исключение составляет случай сфероидального тела. Однако и в сфероидальных координатах векторное волновое уравнение допускает разделение переменных только в осесимметричном случае [68]. [c.114]

Рассмотренные ранее волновой и лучевой варианты теории трехмерной голограммы весьма наглядны, однако имеют тот недостаток, что в дополнение к ограничениям, накладываемым на величину дифракционной эффективности самим характером первого прибли--жения, требуют также еще введения ограничений, свойственных приближению геометрической оптики. Вместе с тем такого рода ограничения совершенно не характерны для механизма записи голограммы, который, как известно, обеспечивает регистрацию не только малых объектов, но и объектов большой протяженности. В связи с этим рассмотрим два варианта теории, базирующейся на решении волнового уравнения, ограничиваясь при этом только рамками кинематического приближения и не накладывая каких-либо ограничений на размеры регистрируемого на голограмме объекта. В соответствии со смыслом характерных для этих представлений преобразований их можно назвать пространственным и частотным операторными вариантами теории трехмерной голограммы [2, 51. [c.697]

Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе Трактата о свете (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, импульсивным — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — скалярному случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — векторному случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени At, и в течение этого времени она является [c.275]

Подставив теперь связь между F2 ир2 в (6.12) и затем в (6.1), получим волновое уравнение для рг, которое в трехмерном случае (с заменой р х на Др ) имеет вид [c.174]

Волновое уравнение для трехмерного пространства [c.11]

В отличие от (8.9) и (9.4), где суммирование в трехмерной задаче производится по трем индексам, индекс п в (10.3) — двойной, а в двумерных задачах сумма в (10.3)—однократная. Это получается, по существу, потому, что функции определяются своими значениями на поверхности, а решения волнового уравнения определяются граничными значениями однозначно (4ЛЗ). [c.100]

Регулярный способ, позволяющий использовать решение статических задач для решения электродинамической задачи дифракции, состоит в том, чтобы вычислить из статики индуцированный ток, или — для диэлектрических тел — индуцированную поляризацию (1.11), а по нему дифрагированное поле во всем пространстве. Однако за исключением некоторых двумерных задач (см. п. 19.6), всегда можно применить какой-либо более простой прием. Для трехмерных задач таким приемом является сшивание полей на поверхности, лежащей в области (19.2). Для этого надо, вообще говоря, по (19.21), (19.10) найти тангенциальные компоненты Е и Я на сфере большого (р а) радиуса, а затем по ним вычислить вне этой сферы поле, удовлетворяющее волновым уравнениям и условиям излучения. Однако фактически и 5ту краевую задачу можно решить, не производя никаких вычислений, а просто сшивая на какой-либо сфере радиуса, лежащего в промежуточной области (19.2), поле статического диполя и поле элементарного диполя (3.2). [c.192]

Кроме того, эти уравнения описывают также трехмерную акустическую задачу распространения звуковых волн в неоднородной среде. Если скорость звука с есть функция точки, а плотность среды р постоянна, то волновое уравнение для давления U имеет вид (5.1), где [c.44]

Идеи решения задач управления для волнового уравнения были применены В.А. Ильиным [59-61] для решения задач управления сферически симметричными колебаниями трехмерного шара и для для процессов, описываемых уравнением k x)[k x)ux x,t)]x —uu x,t) — 0. [c.17]

Это волновое уравнение имеет фундаментальное значение в распространении акустических и оптических волн. Предположим, что начальные условия однородны, так что единственной причиной, вызывающей волновое движение, будет источник Y(x, /), который является заданной функцией переменных х, t. Мы начнем с рассмотрения распространения волны в трехмерном пространстве х = (л 1, Х2, л з). [c.618]

В заключение необходимо назвать работы [6, 44, 47, 48], которые хоть и не связаны непосредственно с рассматриваемыми здесь методами расчета статистических моментов поля лазерного излучения на локационных трассах, но затрагивают близкие вопросы. Указанные работы направлены на построение решения трехмерного стохастического волнового уравнения Гельмгольца [c.39]

В работах [6, 44, 47, 48] исходная трехмерная краевая задача распространения сводится либо методом инвариантного погружения [6, 36], либо путем построения решения волнового уравнения в виде ряда по кратности обратного рассеяния [44, 47, 48] к решению уравнений, уже удовлетворяющих условиям динамической причинности. Такая формулировка задачи, с одной стороны, позволяет получить [48, 55] уточненные решения уравнений для низших статистических моментов поля прямой волны, свободные от ограничений френелевского (2.27) и малоуглового (2.48), [c.39]

Целесообразность изучения волнового уравнения в трехмерном пространстве очевидна, поскольку только при таком числе измерений волновое уравнение для сферически симметричного потенциала ф может быть сведено к одномерному волновому уравнению (65). для функции гф. Для этого уравнения в соответствии с формулами (15) и (18) можно записать общее решение [c.32]

Пусть плоская волна падает на плоскую границу раздела сред, / и 2 под углом 6j к ее тюрмали (рис. 40). При произвольной ориентации волнового вектора к относительно прялюугольных осей координат уравнение плоской волны, удовлетворяющее трехмерному волновому уравнению (И 1.32), должтю быть записано в виде [c.153]

Доказать, что при отсутствии массовых спл функции u — = ф, удовлетворяют уравР1ению движения (6.35), если каждая из функций ф и гр,. является решением трехмерного волнового уравнения. [c.218]

Трехмерные волновые уравнения и классическое волновое уравнение. Любая трехмерная синусоидальная гармоническая волна независимо от того, является ли она стоячей, бегущей илн волной смешанного типа, удовлетворяет следующим уравнениям (вы легко дюжете это доказать) [c.303]

В 3 дано описание ДГС-лазера как диэлектрического волновода, а в 4 рассматривается распространение волны в симметричном трехслойиом плоском диэлектрическом волноводе. Центральный слой — это область в ДГС-лазере, в которой происходит генерация света и которая называется активным слоем. Трехмерное волновое уравнение для электрического поля оптической частоты выводится из уравнений Максвелла. Далее выводится дифференциальное уравнение, описывающее распространение электрического поля, поляризованного перпендикулярно направлению распространения, — поперечного электрического поля (ТЕ). Аналогичные уравнения описывают поперечные магнитные поля (ТМ), в которых магнитное поле поляризовано перпендикулярно направлению распространения. Эти поля зависят от двух пространственных переменных и времени, и решение волнового уравнения для них получается методом разделения переменных. Как следует из решений волновых уравнений, показатель преломления активного слоя должен быть больше показателей преломления прилегающих слоев, чтобы в трехслойной структуре происходило волноводное распространение излучения. Граничные условия для электрического и магнитного полей также выводятся из уравнений Максвелла. Применение этих граничных условий на границах раздела диэлектриков (гетеропереходах) приводит к дисперсионному уравнению, являющемуся уравнением на собственные значения, которое дает набор дискретных значений постоянной распространения. Получающиеся для этих дискретных значений конфигурации электрического и магнитного полей называются модами. [c.33]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

В случае периодических задач для волн с волновыми числами, близкими к точкам скольжения , происходит резкое изменение и значительное увеличение напряжений между отверстиями. Такое аномальное явление обнаружено впервые в задачах оптики и акустики для одного волнового уравнения и названо аномалией Вуда. При решении конкретных задач, проведенном в настоящей главе, обнаружено такое же аномальное поведение полей напряжений, возникающих в результате дифракции упругих волн на ряде препятствий. В случае антиплос-кой деформации, как и в задачах оптики и акустики, имеется одно семейство точек скольжения, соответствующее одному действительному волновому числу. Для периодических задач дифракции упругих волн в условиях плоской деформации существуют два семейства точек скольжения для двух действительных волновых чисел. Для трехмерных периодических задач дифракции упругих волн имеется также два семейства точек скольжения в силу того, что в теле могут распространяться два типа волн. Из полученных результатов следует вывод о том, что в конкретных конструкциях необходимо учитывать ее рабочую частоту, чтобы избежать попадания на точку скольжения. [c.183]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Строго говоря, в электродинамике уравнение (5.1) имгет место только для двумерных задач. Если е не зависит от 2 (и, в частности, если границы раздела, т. е. разрыва Е, являются цилиндрическими поверхностями, параллельными оси z) и от г не зависят также источники f, то, как известно, существуют два класса решений залач дифракции с djdz sbO. В первом классе ( -поля-ризация) отличны от нуля компоненты Е,, Ну, во втором (//-поляризация)—компоненты Ех, Еу. Для и — Е в задачах первого класса выполняется двумерный вариант уравнения (5.1). Уравнения и условия на границе раздела диэлектрика, рассмотренные в 3, 4, также справедливы для U — Е, в двумерном случае для /Г-поляриэагии . Волновое уравнение (6.1), которое мы рассмотрим в следующем параграфе, описывает тоже двумерную задачу для //-поляризации (U=H ). Трехмерные электродинамические задачи приводят к уравнениям для полей, более сложным, чем (5.1) или приведенные в следующем параграфе (6.1), и к граничным условиям, более сложным, чем (4.11). При этом удобнее оперировать с уравнениями первого порядка, т. е. непосредственно урявие11ичми Максвелла соответствующий аппарат будет развит в 8. [c.43]

Укажем на некоторые свойства точечных источников, излучающих векторные поля. Напомним, что в скалярной теории точечный источник, создающий поле, пропорщюнален трехмерной 5-функции, появляющейся в виде возмущающего члена в волновом уравнении [см. (4.2.2)]. В векторном случае мы должны представить себе поле излучения как соответствующую комбинацию полей элементарных электрических и магнитных мультиполей. В простейшем случае мы имеем дело с электрическим диполем р и магнитным диполем Ш, локализованными в точке Tg = (atq, q). Если источник находится в однородной среде, то поле, излучаемое диполями р и ш, дается выражением (см. книгу [c.296]

Оценим скорость частиц газа иа различных расстояниях г от колеблющегося тела. Рассмотрим сначала расстояния Так как г<сХ, то в волновом уравнении (13.7) можио пренебречь левой частью по сравнению с праюй они отличаются в угу> >1 раз. В правой части (13.7) содержится частная производная д р /дх . В общем трехмерном случае ее, очевидно, нужно заменить на лапласиан Ар. Таким образом, на указанных расстояниях гСХ уравнение для р а следовательно, и для р и V имеет вид уравнения. Лапласа в частности, [c.189]

Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной суперпозиции стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме. Уравнение (17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе. Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение с на с11у тас1 г)), что иначе можно записать в виде или [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...