Решение интегральных уравнений

Учитывая трудности экстраполяции или интерполяции результатов, полученных методом интегральных уравнений полезно исследовать простой метод вычисления приближенных значений еа(х) и Еа(г), который не требует решения интегральных уравнений для каждого значения L, D, R и Ew [c.335]

В случаях когда материал работает в условиях сложного напряженного состояния, линейное уравнение связи напряжений и деформаций может быть получено как решение интегральных уравнений (5.20) и (5.27). [c.221]

Таким образом, проблема определения контактного давления (а вместе с ним и перемещений) привелась к решению интегрального уравнения (5.398), являющегося интегральным уравнением Фредгольма I рода, причем специфика задачи состоит в том, что область, где задано это уравнение (зона контакта), заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи. [c.298]

При решении интегрального уравнения методом механических квадратур задача сводится к решению системы SN линейных алгебраических уравнений (N — число элементов, на которое разбивается поверхность) [c.99]

Таким образом, задача определения U (г) сводится к решению интегрального уравнения Абеля (3), в котором левая часть — известная функция. Используя значение интеграла [c.108]

При низких температурах решение интегрального уравнения не столь просто. Ни Сц, ни с,/г уже но являются константами с,/ не равно с,,. [c.263]

Фиг. 9. График решения интегрального уравнения S- = = e(I T/hv , согласно работе [69].

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ [c.365]

Результаты вычислений представлены в графе 3 табл. 11.1. Для сравнения в графе 2 той же таблицы приведены значения а (t), отвечающие точному решению уравнения. Как видно, численный метод дает возможность получить решение интегрального уравнения с достаточно высокой точностью. [c.368]

Заметим, что при таком подходе к решению интегрального уравнения (11.26) задача теории вязкоупругости сводится к решению задачи теории упругости для тела с изменяющимися во времени упругими характеристиками. [c.369]

Численные методы решения интегральный уравнений 365 Член сингулярный 374 [c.395]

Прибегая далее к операционному методу решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, перейдем к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, что позволяет найти эти изображения, а по ним определить и оригиналы. [c.171]

Остановимся на свойствах самих решений интегральных уравнений. Будем полагать, что ядро k(x,y) непрерывно в целом— это значит, что по данному е>0 можно найти такое O > О, что [c.42]

Следует остановиться на вопросе о решении интегральных уравнений, когда %. есть собственное значение (как принято говорить, расположенных на спектре). Во-первых, необходимо определить собственные функции союзного уравнения, а во-вторых, проверить выполнение условий (2.25). Первая задача оказывается весьма сложной, поскольку воспользоваться формулой [c.46]

Недостатком решений, представляемых посредством интегральных преобразований, является громоздкость структуры — они выражаются через двукратный интеграл, поскольку сначала нужно вычислить трансформанту от заданных функций, а по-. том, определив трансформанту искомой функции, перейти к оригиналу, Следует отметить еще одно весьма серьезное обстоятельство. Допустим, что трансформанта найдена. Тогда задача обращения фактически представляет собой задачу решения интегрального уравнения первого рода, например, для преобразо- [c.73]

Тогда согласно (4.25) окончательное решение интегрального уравнения (4.42) имеет вид [c.77]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

Метод интегральных уравнений позволяет установить корректность гармонических задач в классе непрерывных краевых условий, когда граничная поверхность (или поверхности) принадлежит классу Ляпунова. Действительно, из установленной сходимости метода последовательных приближений будет следовать, что при заданной точности решения можно ограничиться определенным числом итераций и тогда задача сведется к вычислению конечного количества интегралов. Малые же изменения нулевого приближения (правой части) приведут соответственно к малым изменениям решения интегрального уравнения. [c.107]

Аппарат интегральных уравнений позволяет сравнительно просто дать ответ на вопрос о корректности решения в зависимости от краевых условий, поскольку представление решения интегральных уравнений через резольвенту (фиксированную функцию, так как поверхность считается неизменной) сводит задачу к задаче об изменении интеграла в связи с изменением подынтегральной функции. Не составляет труда показать, что в этом случае имеет место корректность решения. Тогда и сами потенциалы, определяемые решением интегрального уравнения, будут меняться незначительно. [c.254]

С учетом разложения (9.14) решение интегрального уравнения (9.12) будем искать в виде [c.523]

Следовательно, решение интегрального уравнения (10.20) та- [c.536]

Таким образом, задача сводится к решению интегрального уравнения (11.21) и нахождению функции ф/г( ), с помощью которой определяются все компоненты упругого и электромагнитного полей для отраженной волны. [c.544]

Спектральные свойства резольвенты рассматриваемых уравнений позволяют утверждать следующее (см. 2 гл. 1) в случае задач 1+ и Ц- решение интегрального уравнения может быть [c.564]

Если все рассуждения провести, исходя из внешней задачи, то и получится решение интегрального уравнения для внешней задачи. Приведем лишь ответ [c.569]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Численные методы решения интегральных уравнений базируются в первую очередь на возможности вычисления самих интегралов, присутствующих в уравнениях, независимо от применяемого способа решения уравнений, идет ли речь о методе последовательных приближений (когда на каждом этапе из- [c.571]

Перейдем теперь непосредственно к методам решения интегральных уравнений. Реализация метода механических квадратур приводит к системе алгебраических уравнений порядка [c.574]

Остановимся на вопросе о вычислении напряжений и смещений уже после непосредственного решения интегрального уравнения. Собственно говоря, речь должна идти о вычислении напряжений в точках граничной поверхности, поскольку вычисление смещений и напряжений во внутренних точках области сводится к вычислению интегралов с аналитическими ядрами, а вычисление смещений в точках поверхности — к вычислению несобственных интегралов ), которые могут быть вычислены известными методами. Следует, правда, обратить внимание на необходимость в процессе проведения вычислений в точках, расположенных вблизи границы, введения вторичной дискретизации поверхности в зоне, расположенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом используемая при вычислениях плотность должна получаться посредством того или иного интерполирования, исходя из полученного решения интегрального уравнения. Искомые значения напряжений и смещений могут считаться определенными с достаточной степенью точности (диктуемой степенью точности решения интегрального уравнения) лишь тогда, когда при вторичной (все более мелкой) дискретизации не произойдут изменения в искомых величинах. [c.580]

При использовании интегрального уравнения (2,5) смещения иа поверхности находятся из решения интегрального уравнения. [c.580]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

На рис. 68 приведены значения компоненты Ог, полученные посредством решения интегрального уравнения (кружки), а также асимптотическое представление (сплошная линия). [c.584]

Аналогичным образом определяются и постоянные в асимптотиках, справедливых в окрестности конической точки. Здесь вводится локальная (с центром в конической точке) сферическая система координат. Отметим равенство Ог = Оч, выполняющееся на оси вращения. В таблице 9 приведены значения компонент напряжений на оси вращения, полученные из решения интегрального уравнения. [c.585]

Or, полученные посредством решения интегрального уравнения (кружки), и асимптотическое представление (сплошная линия). [c.585]

Если для внешней и внутренней задач частота колебаний меньше первой собственной частоты для внутренней задачи, то решение интегрального уравнения может быть получено последовательными приближениями. В общем же случае целесообразно пользоваться методом механических квадратур, сводя задачу к системе алгебраических уравнений. Эта же система позволяет устанавливать значения собственных частот, поскольку они являются корнями ее определителя. [c.588]

Поскольку каждый из интегралов является неотрицательной величиной, то смещения тождественно равны пулю. Таким образом, если допустить неединственность решения интегральных уравнений, то придем к существованию потенциала простого слоя, обращающегося в П в нуль, что влечет за собой равенство нулю и самой плотности. [c.599]

Будем поэтому и решение интегрального уравнения (5.10) искать в виде ряда [c.601]

Подставив значения Xj /) в урянмение (в), убедимся в том, что полученное решение дифференциального уравнения (д) одновременно является решением интегрального уравнения (в). [c.274]

В качестве желаемого выходного сигнала рассматривалось изо-бражение тестюбъекта Л,у, отфильтрованное устройством с известным импульсным откликом (рис. 6). В результате решения интегрального уравнения (6) nojjy4HM матрицу отсчетов функции //(I x.. соответствующую Фурьеюбразу Л,у (рис. 7). [c.21]

Опишем еще один способ численного решения интегральных уравнени Фредгольма. Очевидно, что входящий в (2.1) интеграл можно приближенно заменить конечной суммой, если воспользоваться той или иной квадратурной формулой. Разобьем отрезок [а,Ь] на п частей точками а = хо, ац, х ,. .., Хп-, Хп = Ь. Тогда интеграл в (2.1) можно представить, например, в виде [c.47]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Выше излагались методы решения плоской задачи теории упругости, которые в отдельных случаях (как, например, при решении интегральными уравнениями Шермана — Лауричеллы) оказываются непосредственно применимы и для случая много- [c.405]

Заметим, что если наложить на поверхность и краевые условия дополнительные ограничения, то можно прийти к классическому решению. Действительно, пусть 5еД2(а) и F q) е Р. Тогда решение интегрального уравнения будет принадлежать классу С Р и потенциал двойного слоя будет представлять собой регулярное решение (функцию класса С Р). [c.569]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

Изложим прием, позволяющий определять значения этих постоянных, исходя из приближенного решения краевой задачи, и одновременно окрестность особой точки, в пределах которой асимптотики справедливы. Воспользуемся приведенными в таблице 8 данными расчета напряжений в точках срединной плоскости, полученными на основе решения интегрального уравнения, когда достигнуто стабильное значение функции q ( /). [c.583]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...