Волновое уравнение для потенциалов

Рещение волновых уравнений для потенциалов отраженных волн ищем в виде интегралов Фурье [c.130]

Волновое уравнение для потенциалов [c.291]

Подставляя (4,58) в (4,60), получаем систему волновых уравнений для потенциалов [c.81]

Подставляя (4,98) в (4,97), получаем следующую систему волновых уравнений для потенциалов Н . . [c.92]

Решение уравнений (1.21) с граничными условиями (1.22) удается получить, если ввести так называемые скалярные потенциалы Дебая, однозначно связанные с составляющими электрического и магнитного полей. Решение шести дифференциальных уравнений Максвелла для отдельных составляющих полей в этом случае сводится к решению одного волнового уравнения для потенциалов соответственно электрического и магнитного поля. Для обоих потенциалов Дебая частное решение ищется в виде произведения функций г) У(0, ф), зависящих от координаты г и от координат (0, ф). Непосредственной подстановкой в волновое уравнение для потенциалов Дебая доказывается, что решениями этого уравнения будут решения дифференциальных уравнений [c.14]

Потенциалы ф и Ф — однородные функции. Так как ф удовлетворяет волновому уравнению для продольных волн, а Ф — для поперечных волн, то функции ф и Ф можно представить в виде [c.120]

В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравнениям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не производные от них, а затем поля находить дифференцированием потенциалов. Одним из таких потенциалов является электрический вектор Герца П, пропорциональный векторному потенциалу. Поля выражаются через него по формулам [c.16]

Одно векторное дифференциальное уравнение второго порядка может быть заменено системой двух волновых уравнений для скалярного и векторного потенциалов. [c.294]

В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь идёт о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позволяет работать с одним только векторным потенциалом. Мы проводим разделение переменных и получаем уравнение Гельмгольца для пространственной части и(г) векторного потенциала A(r,t). Поведение электрического и магнитного полей на стенках резонатора определяет граничные условия для и(г). [c.291]

Этот результат составляет знаменитую теорему Блоха, которая для трехмерного случая гласит собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию Uk (г), периодическую в решетке кристалла [c.60]

Через ai q,p) будем обозначать, для краткости, преобразование Лапласа от граничных значений компонент вектора напряжения на оси хг ai x%t)= an Q,X2,t). При решении уравнений (6.2) и (6.3) удобно выразить искомые перемещения через напряжения на плоскости xi =0, поскольку в рассматриваемой задаче напряжения непрерывны при переходе через эту плоскость. Для этой цели будем решать уравнения (6.2) и (6.3) следующим образом. Согласно результатам 5 гл. III решение уравнений (6.2), (6.3) для вектора перемещения u(ui,U2, Нз), не зависящего от хз, сводится к решению волновых уравнений (5.51), (5.52) гл. III для определения потенциалов Ф, 4 i и 4 2, связанных с вектором и формулой, получаемой из (5.50) и (5.57) гл. III, [c.494]

Остановимся на общих динамических задачах. Для их исследования можно построить обобщенные упругие потенциалы [192] (по типу запаздывающих потенциалов волнового уравнения ( 9 гл. I)) или же, воспользовавшись представлением смещений через четыре волновые функции (см. 5 гл. III), непосредственно исходить из самих волновых потенциалов [222]. [c.556]

Вообще говоря, каждому корню уравнения (3.6) соответствует пара выражений (3.2) для потенциалов продольных и сдвиговых волн, которые удовлетворяют волновым уравнениям и в сумме да ют такие выражения для перемещений, которые оставляют границу свободной от напряжений. [c.55]

Распространение нестационарных волн в однородной изотропной упругой среде в общем случае описывается волновыми уравнениями (1.8). При решении задач нестационарной дифракции упругих волн требуется найти решение уравнений (1.8), удовлетворяющее граничным условиям на препятствии, условиям затухания возмущений на бесконечности и начальным условиям. Поскольку отраженные препятствием волны возникают лишь с момента времени, когда падающая волна достигнет препятствия, начальные условия для потенциалов отраженных волн берутся нулевыми [c.69]

Ввиду (3.25) (либо в силу (2.24) для более общего случая анизотропной среды) нестационарные динамические потенциалы теории упругости для однородной среды можно, следуя сложившейся терминологии для скалярного волнового уравнения [34], называть запаздывающими потенциалами. [c.111]

Для рещения этой задачи удобно будет воспользоваться волновыми потенциалами Ф и -ф. Волновые уравнения в силу предположенной симметрии деформации относительно оси г примут вид (уравнения (43) и (44) 9.3) [c.695]

Отметим, что действие волнового оператора на векторный потенциал А, написанное в левой части уравнения (10.9), управляется входящими в правую часть током j и скалярным потенциалом Ф. Точно так же в уравнение для Ф входят заряд и векторный потенциал. Поэтому эти два уравнения связаны. Эту связь можно исключить с помощью подходящего выбора условия калибровки, что и рассматривается в следующем разделе. [c.292]

Не ограничивая по суш еству общности задачи, рассмотрим плоскую рэлеевскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х вдоль границы полупространства с вакуумом (см. рис. 1.1). В этом случае движение не зависит от координаты и у векторного потенциала г ) будет отлична от нуля только компонента по оси у. Эту компоненту обозначим просто через ф. Для плоской гармонической волны уравнения движения (1.3), (1.4) будут удовлетворены, если потенциалы ф и ф являются решениями двух волновых уравнений вида [c.7]

Как и в плоском случае (см. разд. 1), введем для областей пространства, занятых упругой средой, скалярный и векторный потенциалы ср и г . Поскольку решения не должны зависеть от 2, у векторного потенциала г] будет отлична от нуля только компонента по оси г, которую мы обозначим а ). Потенциалы ф и а ) должны удовлетворять двум следующим волновым уравнениям [c.65]

Введем для области, занятой упругим полупространством, потенциалы ф и ijj продольных и поперечных (сдвиговых) волн, удовлетворяющие волновым уравнениям (1-5), (1,6). Будем искать ф и в форме интегралов [c.103]

Если попытаться составить уравнение для о, то мы придем к противоречию. Так как операция двукратного дифференцирования понижает показатель степени на 2, то не может возникнуть члена со степенью, которая была бы равна степени г в члене с потенциалом. Пожалуй, это более отчетливо видно из уравнения, которое получается, если радиальную волновую функцию представить в форме ) [c.363]

Поскольку р ( ) — монотонная функция, то из последнего соотношения следует, что функция Хг г ) ортогональна всем функциям ф1 Е, г ). Поэтому Хг г ) должна равняться нулю. Пз этого вытекает, что если интегральное уравнение (20.6) имеет решение, приводящее к достаточно хорошему потенциалу (такому, чтобы система волновых функций для этого потенциала была полной), то это решение единственное. [c.564]

Эти условия можно выразить через потенциалы, для чего мы воспользуемся выражениями (5.1), (5.8), а также волновыми уравнениями (5.9). В результате получаем для граничных условий в том же порядке, как и в (5.10) [c.27]

Покажем, что решение векторного уравнения (Д.8) можно записать в форме (Д. 19), и найдем уравнения, которым удовлетворяют скалярный и векторный потенциалы. Для этого подставим вектор перемещений (Д. 19) в систему дифференциальных уравнений (Д.8). Учитывая, что операторы Лид взаимно перестановочны с grad и rot, а также, что divrot s О, rotgrad = 0, получаем волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов [c.198]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Если блоховскую волновую функцию (6.24) подставить в волновое уравнение Шрёдингсра, описывающее движение электрона в полупроводнике, то окажется, что разрешенные значения энергии электронов E = E k) попадают в зоны, среди которых низшая заполненная зона называется валентной, а следующая, более высокая — зоной проводимости. Появление зонной структуры связано с дифракцией Брэгга блоховской волновой функции на периодическом кристаллическом потенциале. Однако существование валентной зоны и зоны проводимости можно объяснить с помощью несложных физических соображений. Рассмотрим для простоты случай натрия, в котором каждый атом имеет 11 электронов. Десять из них тесно связаны с ядром и образуют положительный ион с зарядом е. Одиннадцатый электрон движется по орбите вокруг этого иона. Обозначим энергии этого последнего электрона в основном и первом возбужденном состоянии через и Е2, а соответствующие волновые функции ijji и il]2. Рассмотрим теперь два атома натрия, расположенные на некотором расстоянии d. Если d много больше размеров атома, то два атома не будут взаимодействовать друг с другом и энергии обоих состояний не изменятся. По другому это можно выразить следующим образом. Если рассматривать, например, два атома в их энергетических состояниях то одноэлектронный уровень энергии двухатомной системы по-прежнему равен В], и этот уровень дважды вырожден. Действительно, полную волновую функцию можно выразить через комбинацию двух волновых функций ijJiA и причем эти две функции [c.403]

Рассмотрим прохождение плоских ультразвуковых волн через слой с плоскопараллельными границами. Обозначим волновое сопротивление слоя через z = рс, а волновое сопротивление среды вне слоя по обе его стороны — через — pj j. Проведем ось х перпендикулярно границам слоя, которым припишем координаты X = О и X = d (d — толщина слоя), и учтем сразу общий случай наклонного падения ультразвуковых волн под произвольным углом 8i к оси X (рис. 48). На каждой границе раздела будут возникать отраженные и преломленные волны, причем в силу симметрии картины, прошедшая через слой волна выйдет из него под углом падения 6i. Для потенциалов этих волн по прямой аналогии с уравнениями (VII.29) — (VII.31) имеем для падающей волны [c.171]

Из всех рассмотренных до сих пор представлений и(х,/) (через потенциалы Ламе Ф и if, через функцию Яковаке q) и через обобщенные функции Папковича — Нейбера 9 и х) наибольшее практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к самым простым волновым уравнениям. Представление с помош.ью функции ф удобно для определения перемеш ений в бесконечной среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное представление дают функции 0, х ввиду связанности волновых уравнений (44) и (45). [c.574]

Пусть в плоскости Хг = О, ограничивающей упругое полупространство, действует вертикальная нагрузка Р г, () = р г)е направленная по оси хз- Для определения перемещений и напря жений в этой осесимметричной задаче воспользуемся потенциалами Ф(г, 2, ) и ф(г, 2, О, удовлетворяющими волновым уравнениям [c.705]

По существу этим задача об излучении звука пульсирущей сферой решена. Далее, воспользовавшись связью /> и 2 с потенциалом , можно найти р, 7)- и интенсивность звукового поля. Из изложенного видим, что задача об излучении пульсирующей сферой сводится к решению волнового уравнения в сферических координатах, удовлетворяющего условию на границе излучателя со средой и условию на бесконечности. Для такого излучателя согласно (Э. ) - [c.65]

Теперь член взаимодействия остался функцией только г. Эта функция может быть объединена со вторым членом и приведена к локальному потенциалу, одинаковому для всех электронов. Таким образом, мы достигли цели, разбив уравнение Шредингера для многочастичной задачи на одноэлектронные волновые уравнения. Третий член левой части уравнения Шредингера для одноэлектронного приближения (3.20) учитывает существенную часть электрон-электронного взаимодействия. В гл. IV, являющейся центральной главой части I, мы подробно рассмотрим это уравнение. Сейчас обратимся к континуальной модели, которую мы в гл. II рассмотрим без учета электрон-электрон-ного взаимодействия, а в гл. III —с учетом электрон-электронного взаимодействия. [c.27]

В связи с вопросом об изменении электронного спектра следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Формулы (23.7), (23.10) описывают изменение энергии электронов за счет, так сказать, непосредственного взаимодействия между ними. Мы знаем, однако, что. сверх того, взаимодействие приводит еще к экранированию внешнего поля, создаваемого какими-либо классическими источниками. (Действительно, массовый оператор входит в эффективное волновое уравнение (9.18) наряду с экранированным потенциалом Ф, а не вместо него.) В частности, такими источниками являются регулярно расположенные атомы (или ионы) кристаллической решетки, создающие периодическое поле. При учете экранирования поле, конечно, остается периодическим, однако точная форма его изменяется, равно как изменяются и параметры, определяющие его величину. Это приводит к дополнительному изменению электронного спектра, не учитываемому формулами (23.7) и (23.10). Таким образом, последние, строго говоря, еще не дают полного решения задачи. В большинстве полупроводников, однако, это обстоятельство не существенно. Действительно, в гомеополярных полупроводниках типа германия силы взаимодействия атомов решетки с электронами короткодействуюище, и экранирование при типичных (довольно больших) значениях радиуса экранирования мало влияет на них из формулы (21.1) ясно видно, что функция р (jk) отлична от нуля лишь для волновых векторов, сравнимых с обратной величиной радиуса действия сил / при этом член с поляризационным операто- [c.198]

Источник сферической волны в твердой среде. В жидкой среде простейшим источником упругой волны является пульсирующая сфера малого радиуса. Однако любой другой источник нулевого порядка (источник с конечным значением объемной скорости), если только его размеры малы по сравнению с длиной волны, тякже излучает сферическую волну. Поэтому предположение о сферической форме излучателя делалось исключительно для простоты рассуждений. Сложнее положение в случае излучателя в твердой среде. Здесь характер волны будет существенно зависеть от формы излучателя.. Мы будем предполагать, что излучатель имеет цилиндрическую симметрию. По.этому поле упругих деформаций и напряжений может быть описано прп помощи трех вспомогательных функций ( потенциалов ) ф , 1( о Хо- удовлетворяющих волновым уравнениям [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...