Инвариантные преобразования волнового уравнения

Препарирование физической сути явлений, лежащих в основе динамических процессов в системах с подвижными границами, позволило А.И. Весницкому для некоторых типов задач разработать новые, более эффективные методы их решения. Им были предложены методы нахождения точных и приближенных решений, а также указан общий класс нелинейных инвариантных преобразований волнового уравнения, позволяющий конструировать точные решения в форме, удобной для аналитического исследования. Позднее выяснилось, что такие же преобразования еще в 1910 году были предложены Н.А. Умовым, развившим идею инвариантности уравнений движения в специальной теории относительности. На основе точных [c.8]

Инвариантные преобразования волнового уравнения [c.88]

Изложенный путь нахождения точных решений и их дальнейшего анализа (как правило, приближенного) эффективен лишь для некоторых частных законов движения границ, когда задачу удается решить методом разделения переменных. Более общий подход к поиску приближенных решений свободных колебаний мембраны при произвольном, но медленном движении границ основан на использовании инвариантных преобразований волнового уравнения (см. 5.7). [c.218]

Во МНОГИХ случаях скорость движения границ системы существенно меньше скорости распространяющихся в ней волн. Это позволяет развить достаточно эффективные методы приближенного анализа волновых процессов в двумерных системах с медленно движущимися границами [5.4, 5.11]. В данном параграфе на примере колебаний прямоугольной мембраны излагается один из приближенных методов исследования, основанный на инвариантном преобразовании волнового уравнения. [c.222]

Постоянный множитель с в преобразованиях Лоренца имеет смысл скорости света в вакууме. К этому заключению не трудно прийти из инвариантности вида волнового уравнения, где с — скорость света в вакууме. Согласно опытным данным скорость с не зависит от скорости движения системы отсчета и одинакова для всех систем. Такое может быть лишь в случае, если в новых переменных Х1,Х2,Хз, , связанных со старыми переменными Х1,Х2,Хз, преобразованиями Лоренца (П2.2), волновое уравнение сохраняет свой вид, а именно [c.428]

Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому преобразованию. Причина такого положения в неточности, допуш,енной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства d/dt отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответству-юш,ее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнений (1.1) — (1.3) в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. [c.17]

Таким образом, существует целый класс преобразований (3.6) независимых переменных X и /, относительно которых волновое уравнение (3.1) остается инвариантным [c.90]

Функционально-инвариантные преобразования неодномерных волновых уравнений [c.193]

Из уравнения (2.120) следует, что волновое уравнение (2.12) инвариантно к преобразованию Маха-Лоренца и не обнаруживает анизотропии (т.е. избирательности к выделенному направлению скорости) в своей структуре. [c.76]

Нам удалось упростить точные уравнения гидродинамики, пользуясь тем, что в акустике смещения частиц малы по сравнению с расстояниями, на которых эти смещения заметно меняются. Но такой подход принципиально связан с выбором системы координат, относительно которой невозмущенная среда покоится. В системе координат, движущейся относительно среды, смещения частиц уже не будут малы и в новой системе нельзя будет произвести такие же упрощения. Поскольку принцип относительности Галилея справедлив для точных уравнений гидродинамики, он неприменим к упрощенным уравнениям волновое уравнение, которое мы получили из упрощенных уравнений, не инвариантно по отношению к галилееву преобразованию. [c.49]

Преобразованные безразмерные уравнения с их новым содержанием безразмерных величин (2.25—2.29) также описывают целую группу подобных волновых явлений, иначе говоря, они являются инвариантными при переходе от одного волнового явления к любому другому подобному (2.17 2.18). При этом безразмерные величины (2.25—2.29), входящие в преобразованные безразмерные уравнепия и являющиеся инвариантами при переходе к любому другому подобному явлению, называются критериями подобия. [c.35]

Формулы (4) и (5) дают инвариантное по отношению к волновому уравнению преобразование полукруга в круг. [c.244]

Можно предложить особый метод решения дифракционных задач, общая идея которого состоит в таком преобразовании поля, чтобы условие прямой видимости было выполнено, после чего дифракционная задача сводится к элементарной задаче излучения. Под преобразованием поля подразумевается некоторая деформация его. Очевидно, что преобразование должно быть инвариантным по отношению к волновому уравнению. С аналитической точки [c.379]

Пусть в среде, которая движется относительно наблюдателя со скоростью У с (с — скорость света), распространяется волновой пакет. Его энергия в системе координат, движущейся со скоростью V, равна (зу, в то время как в неподвижной системе координат энергия равна ( у ф ёу. Для дальнейших рассуждений [4] воспользуемся тем, что при У <С с имеет место галилеева инвариантность физических процессов законы изменения состояний физических систем не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета они происходят (для механики это означает, что уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразования Галилея). Ответим сначала на вопрос как связаны ёу и (зу Для этого кроме волнового пакета рассмотрим частицу массы т, которая движется относительно наблюдателя со скоростью vo = V -Ь V. Величина V — относительная скорость движения. Кинетическая энергия дополнительно введенной частицы [c.198]

Отсюда следует, что если ф есть истинный скаляр пространства Минковского, то волновое уравнение (6.26) будет инвариантно ртносительно преобразований Лоренца, [c.223]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Инвариантные преобразования (3.6), в отличие от других замен назависимых переменных, останавливающих движущиеся границы [3.2, 3.13, 3.33, 3.43, 3.50], позволяют сделать то же самое, не изменяя формы дифференциального уравнения (3.1). Если при этом краевые условия имеют вид (3.2), то в новых переменных иХ задача (3.1), (3.2) сведется к решению волнового уравнения (3.7) с граничными условиями импедансного типа (3.9). Решая ее и возвращаясь к переменным X и с помощью (3.8), найдем решение исходной задачи. [c.92]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Как известно, симметрией какой-либо теории называется инвариантность ее уравнений относительно некоторых специальных преобразований. Широко известны лоренц-инвариантность, изотопическая инвариантность и др. При этом обычно предполагается, что симметрия имеет глобальный характер, т. е. параметры преобразования (скорость при лоренц-преоб-разованиях, параметры изотопического поворота) не зависят от координат и времени. Если, однако, параметры преобразования зависят от координат и времени и тем не менее инвариантность теории имеет место, то такая симметрия называется локальной. Естественно, что в этом случае сохранение инвариантности теории можно обеспечить только за счет введения в нее некоторых новых компенсирующих (калибровочных) эффектов. Так, например, глобальная лоренц-сим-метрия нарушается, если скорость системы зависит от времени, однако, введя компенсирующее гравитационное поле, можно аолучить локальную лоренц-симметрию. Аналогично существует инвариантность уравнений квантовой механики относительно локального фазового преобразования волновой [c.362]

Инвариантность относительно градиентного преобразования обеспечивается в квантовой механике тем, что векторный потенциал входит в гамильтониан в комбинации с оператором импульса р— е1с)А добавление градиента к А может быть компенсировано изменением фазы волновой функции. Ввиду этого нет нужды проверять градиентную инвариантность результирующих уравнений и можно пользоваться той калибровкой А, которая наиболее удобна. Мы будем пользоваться векторным потенциалом, удовлетворяющим условию (11уЛ = 0, или, в фурье-компонентах, Ад=0 ( 15.5), ибо при этом вывод упрощается. [c.311]

Инвариантность уравнений квантовой механики относительно глобального фазового преобразования, т. е. умножения волновой функции на exp[ia], где а = onst, тривиальна. [c.363]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...