Условия интегрируемости

Таким образом, чтобы получить достаточные условия интегрируемости системы связей, следует рассматривать дифференциальные связи, линейные по скоростям [c.311]

Соотношения (IV. 108) — это условия интегрируемости уравнений (IV. 107). Их необходимость очевидна. Достаточность условия (IV. 108) вытекает из известной формулы Стокса. При осуществлении этих условий существует в односвязной области однозначная силовая функция I7 (г), и работа сил поля не зависит от формы траектории материальной точки, к которой приложены эти силы. В многосвязной области силовая функция, вообще говоря, может быть многозначной, и работа сил ноля будет зависеть от формы траектории. Мы не доказываем здесь эти утверждения, отсылая читателей к курсу математического анализа. [c.372]

Пусть i = 3. Условия интегрируемости [c.312]

Если данное поле деформаций е удовлетворяет уравнениям (2.20), то это означает, что ему отвечает некоторое непрерывное поле перемещений, которое можно найти, интегрируя уравнения Коши (2.14). Поэтому уравнения (2.20) называют также условиями интегрируемости уравнений Коши. Однако уравнения (2.20) [c.36]

Условия интегрируемости уравнений Коши 36 [c.395]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

В случае же многосвязного тела дифференциальные зависимости Сен-Венана (1.93) являю.тся необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений (1.30) и лишь необходимыми,/ но недостаточными условиями однозначности перемещений ut. [c.25]

Соотношения (2.26) — (2.28) называют условиями совместности деформаций Сен-Венана. Покажем, что эти условия являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости соотношений Коши и представляют полную возможность восстановления по деформациям поля смещений. [c.213]

Условия интегрируемости уравнений (2.31) —(2.32), а равным образом и аналогичных уравнений для слу и <аг известны. Они сводятся к следующим равенствам, выражающим равенство между собой смешанных производных от функций сол [c.214]

Таким образом, условия Сен-Венана являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений Коши. Однако следует отметить еще одно обстоятельство. Если область, занимаемая средой, односвязна, то условия Сен-Венана являются уже необходимыми и достаточными условиями однозначности смещений, поскольку в односвязной области условие независимости произвольного криволинейного интеграла [c.215]

Заметим, что условия (7.3.6) можно было получить проще, а именно составляя условия интегрируемости выражения для компонент тензора Ш , производные которых заданы формулами [c.217]

Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть. [c.218]

Это условия совместности деформаций или условия интегрируемости системы (5.19) в декартовых осях при малых перемещениях. [c.107]

Это условие совместности деформаций, полученное в результате исключения т е , Еу, е у функций перемещений и (х, у), v (х, у) и представляющее собой условие интегрируемости системы уравнений (19.2), если на них смотреть как на систему дифференциальных уравнений для определения функций и, v при заданных е. ., и у. Таким образом, из выражения (19.2) можно найти и, v только в том случае, если е ., е , г у удовлетворяют условиям совместности (19.4). [c.441]

Условие интегрируемости (11.2) даёт ещё одно уравнение [c.259]

Условия интегрируемости дифференциальных связей. В боль-i шинстве случаев уравнение дифференциальной связи в механизме выражается линейным дифференциальным уравнением первого порядка ) [c.46]

Это равенство должно выполняться при любых q- и q , т. е. оно должно быть тождеством. Если это имеет место, то выражение (1.6.4) интегрируемо, в противном случае — нет. Может случиться, однако, что <7з не выпадает из результирующего уравнения (1.6,7), а выражается через q и q . Тогда следует проверить, будут ли частные производные от <7з по q и q равны flj и В , как это должно быть согласно (1.6.4). Если будут, то мы тем самым доказали, что данная связь голономна, и заменили ее дифференциальное выражение конечным. В случае более чем двух независимых переменных все условия интегрируемости [c.48]

Задача 1. Исследовать случай, когда конец х = 0 поддерживается (но не защемлен), а конец х= I свободен. Показать, что имеется лишь одно условие интегрируемости сумма всех моментов равна нулю . [c.96]

Таким образом, отыскивая условия интегрируемости выражения 3 (V dt), возвращаются к уравнениям (9) или (14), но только в том случае, если Зх никак не связаны между собой. Если допустить, что [c.337]

Чтобы выяснить, в каком направлении нам двигаться дальше, решим сначала, будут ли условия интегрируемости при произвольных дх для [c.338]

Мы уже дали ( 2) условия интегрируемости вариации 3(У ( 1). Найдем теперь эти условия, для вариации [c.338]

Один интеграл уравнений (28) легко найти. Это можно сделать несколькими способами. Мы изберем способ, заключающийся в том, чтобы добиться при подходящем условии интегрируемости вариации [c.341]

Это — условие интегрируемости, которое не всегда выполняется ). Но когда оно выполнено, материальная точка, на которую наложена вышеуказанная связь, представляет собой голономную систему. [c.551]

Но эта пропорция совместима с уравнением (18) только тогда, когда либо выполняется условие интегрируемости (14), либо [c.552]

Поэтому, если условие интегрируемости не соблюдено, то оба требования ведут к разного рода вариациям. Эти вариации грубо можно представить в наглядной форме следующим образом. Каждой точке первоначальной траектории соответствует согласно уравнению (13) элемент поверхности, который можно рассматривать как плоский. Эти плоскости огибаются [c.552]

Герц показал, что для его голономных систем геодезические траектории совпадают с наиболее прямыми, т. е. с действительными траекториями ). В самом деле, если условие интегрируемости выполнено, то можно считать, что уравнение (13) задано так, что <р йх -ц) йу % (1г есть полный дифференциал. Тогда имеют место соотношения [c.555]

Иначе ведут себя геодезические траектории, когда не выполняется условие интегрируемости. Они определяются уравнениями (26), к которым присоединяется еще (13). Уравнение (13) после дифференцирования дает [c.555]

Эквивалентность выражений / (dx) и g (dy), которая была сведена к формуле (14), таким образом, делается также равнозначащей с эквивалентностью выражений Фд или также функций (8) по отношению к линейному преобразованию дифференциалов при этом не требуется никаких особых условий интегрируемости, как это вытекает из возможности сведения к равенству (14). Этим теорема приведения доказана во всех своих частях. В частности, тождественное исчезновение ряда функций [G ], [- Зз],.... .., [i3g],. . . необходимо и достаточно для того, чтобы выражение f(dx) можно было преобразовать в выражение с постоянными коэффициентами. [c.609]

Как было показано ранее, [Фа. Фа"] принадлежит к Ф первого класса. Таким образом, формула (46) задает возможный сдвиг вытекающий из уравнений движения при некотором выборе V и, следовательно, соответствующий движению в малой А-мерной окрестности начальной точки. Таким образом, имеем условие интегрируемости. [c.717]

Дополнительные условия, наложенные на V, могут нарушить условие интегрируемости. Следовательно, условие интегрируемости не всегда выполняется для уравнений движения, выведенных из . Интегрируя малые окрестности, получим систему А-мерных пространств, покрывающих (2N — Л4)-мерное пространство, таким образом, что движение всегда происходит в одном из них. Назовем эти пространства А-пространствами. Каждая кривая в А-пространстве представляет возможное решение уравнений движения. Каждая точка (2N — М)-пространства принадлежит одному из А-пространств, содержащему все движения, имеющие эту точку исходной. [c.717]

Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно так 1°. я буду пользоваться любыми координатами, 2°. (что существенно) условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам, конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое как частный случай оно требует только, чтобы вариация была интегрируемой, тогда как условие максимума требует не только, чтобы эта вариация была интегрируемой, но и того, чтобы ее интеграл обращался в нуль. [c.772]

Если имеют место уравнения несовместности (IV. 186), то поле вектора смещений нельзя определить по полю тензора деформаций, так как условиями интегрируемости равенств (IV. 69) относительно компонент вектора смещений является выполнение условий совместности. Это физически объясняется также тем, что инородная материя, характеризуемая тензором г),й, определяет дополнительное поле некоторого тензора деформаций. В этом случае увеличивается количество функциональных степенен свободы сплошной среды. Вместо трех степеней, определяемых компонентами вектора смещений, среда получает шесть степеней свободы, определяемых кохмпонентами тензора деформаций в трехмерном пространстве. Введение четвертого измерения также подлежит отдельному рассмотрению. [c.535]

Получили теорему Фробеииуса необходимым и достаточным условием интегрируемости системы (7) являются равенства [c.292]

Равенстро (1.93) определяет те дополнительные зависимости между компонентами тензора деформации, необходимость которых отмечалась выше. Эти дифференциальные зависимости, как это следует из способа их получения, представляют собой необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений (1.30). [c.24]

ВИЯМ (4.6). Далее по полученным функциям aij (Xk) находятся функции ги (Xh) из алгебраических уравнений (4.5) закона Гука. Так как при нахождении функций atjixii) удовлетворялись условия совместности Бельтрами—Мичелла, то функции etj (xj будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е. необходимым и достаточным условиям интегрируемости уравнений (4.1). Тогда путем интегрирования уравнений (4.1) определяются перемещения щ (х ). [c.81]

Уравнения неразрывности деформаций можно рассматривать как условия интегрируемости системы дифференциальных уравнений при разыскивании перемещенийпо заданным деформациям —системы (6.38). [c.162]

Физический смысл этих условий заключается в том, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Эти условия определяют две поддер-живаюш,ие силы, необходимые для равновесия стержня. Эти силы получаются, таким образом, из условий интегрируемости краевой задачи граничные же условия задачи целиком определяются с помош,ью вариационного исчисления. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...