Волновое уравнение для сферических и цилиндрических волн

Быстрый прогресс в решении волновых задач теории пластичности тесно связан с запросами современной техники применением импульсного нагружения, созданием полостей в грунтах, действием землетрясений на конструкции, сейсморазведкой. Книга известного польского специалиста содержит обзор и современное изложение методов решения волновых задач на основе различных вариантов теории пластичности. Рассматриваются основные уравнения динамики неупругих сред, математические основы теории распространения волн, сферические и цилиндрические волны в различных средах. Подробно обсуждаются численные методы решения задач, приведены числовые примеры по распространению волн в пластических средах. [c.487]

Первая часть посвящена выводу волнового уравнения акустики, исследованию вопроса распространения плоских волн, вопросу прохождения плоских волн через границы сред и исследованию простейших типов излучателей. Далее подробно рассмотрены вопросы распространения звука в трубах и звуко-проводах. Наконец в последних главах разбирается теория сложных излучателей различных типов (сферического, цилиндрического, поршневого) и некоторые вопросы рассеяния волн на сфере и цилиндре. [c.3]

Волновое уравнение для сферических и цилиндрических волн [c.31]

Здесь г — исходный радиус волнового фронта. Отличие этих уравнений от уравнения Бюргерса для плоской волны состоит в том, что для сферических расходящихся волн как бы увеличивается (экспоненциально нарастает с г) эффективная вязкость (в сходящихся волнах эта вязкость экспоненциально убывает). В цилиндрических расходящихся волнах вязкость линейно растет с г (в сходящихся — линейно убывает с г). Такие качественные рассуждения полезны, но не совсем точны, поскольку при получении [c.85]

В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар указал, что общий характер решения различен для четного и нечетного числа пространственных измерений. Точные утверждения будут приведены ниже, но можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным числом измерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай сферической симметрии был рассмотрен первым, и цилиндрическое волновое решение будет выведено из сферического волнового решения. Здесь мы получим решение только для уходящих волн. [c.214]

При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде. [c.254]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Промежуточное место между сферическими и плоскими волнами занимают цилиндрические волны, центром возмущения которых является прямая линия. Здесь поверхность волнового фронта растет и, следовательно, плотность энергии убывает пропорционально первой степени расстояния г, отсчитываемого в перпендикулярном к источнику направлении. Соответственно амплитуда падает пропорционально корню из расстояния от линии возмущения, и уравнение цилиндрической волны записывается в виде [c.15]

Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех величин однородно вдоль некоторого одного направления (которое мы выберем в качестве оси г) и обладает полной аксиальной симметрией вокруг этой оси. В такой, как говорят, цилиндрической волне имеем <р = ф (/ , ), где посредством Н обозначается расстояние до оси г. Определим общий вид такого осесимметрического решения волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего вида сферически симметричного решения (69,2). Я связано с г посредством = так что , определяемое формулой (69,2), зависит при заданных / и также и от г. Функцию, зависящую только от / и и в то же время удовлетворяющую волновому уравнении , можно получить интегрированием выражения (69,2) по всем значениям г он — оо до + оо, или, что то же, от О до оо. Перейдём от интегрирования по к интегрированию по г. Поскольку г = то ( г = — — при [c.331]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Если цилиндрические и сферические волны расходящиеся, то нелинейные эффекты проявляются значительно слабее, чем для плоской волны. Здесь вступает в силу геометрический фактор и плотность энергии волны, приходящаяся на единицу площади волнового фронта, убывает. Если произвести для сферически симметричных волн (/г=2) замену и=иг1гд и г= п г1гд), а для цилиндрически симметричных волн (/г=1) замену и=и г1г ) я г=2(г/г У то получаются уравнения [c.85]

Источник сферической волны в твердой среде. В жидкой среде простейшим источником упругой волны является пульсирующая сфера малого радиуса. Однако любой другой источник нулевого порядка (источник с конечным значением объемной скорости), если только его размеры малы по сравнению с длиной волны, тякже излучает сферическую волну. Поэтому предположение о сферической форме излучателя делалось исключительно для простоты рассуждений. Сложнее положение в случае излучателя в твердой среде. Здесь характер волны будет существенно зависеть от формы излучателя.. Мы будем предполагать, что излучатель имеет цилиндрическую симметрию. По.этому поле упругих деформаций и напряжений может быть описано прп помощи трех вспомогательных функций ( потенциалов ) ф , 1( о Хо- удовлетворяющих волновым уравнениям [c.197]

Уравнение (2.1) называется волновым уравнением. Посредством обозначен оператор Лапласа, который в зависимости от физич ской постановки задачи записывается либо в декартовых, ли( в криволинейных (цилиндрических, сферических и др.) коорд натах с — константа, характеризующая свойства среды. К будет показано в гл. I, уравнение (2.1) допускает решение в ви, распространяющихся возмущений — бегущих волн. [c.12]

Цилиндрические волны, Ш аналогии со случаем сферических волн выпишем волновое уравнение в щшщ1фических координатах, учтя в лапласиане только радиальную часть, [c.17]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...