Волновое уравнение и его решения для плоских волн

Волновое уравнение и его решения для плоских волн [c.23]

Итак, нам надо решать уравнение (4.5) и найти его решение, удовлетворяющее условию (4.7). Поскольку на потенциал U (х) никакие специальные условия не накладываются, то решение уравнения (4.6) должно при i7( )- -0 перейти в решение для свободных электронов. Поэтому разумно конструировать искомую волновую функцию ф(х) в виде суперпозиции плоских волн типа Подстановкой какой-нибудь из них в (4.7) легко убедиться в том, что для выполнения граничных условий должно выполняться как минимум условие [c.57]

В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23]

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, необратимому превращению ее в тепло, т. е. поглощению звука И уменьшению его интенсивности. Формально коэффициент поглощения звука можно получить, если искать решение одномерных линеаризованных уравнений газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности в виде плоской гармонической волны типа ехр [i кх — wi)], где к — волновой вектор. При этом для к получается комплексное значение, действительная часть которого дает длину волны, а мнимая — коэффициент поглощения к = ki + г/сг ехр [г кх — ш/)] = [c.70]

С другой стороны, при низких температурах длина свободного пробега может оказаться больше глубины скин-слоя. В этом случае задача становится гораздо более сложной. Попытаемся сначала ввести зависимость проводимости от волнового вектора, как мы это делали при вычислении экранирования. Полученное выражение можно аналитически продолжить в область комплексных волновых векторов и попытаться применить его непосредственно к затухающей в металле волне. Такое решение действительно возможно для электромагнитной волны в металле, однако следует сделать дополнительные предположения. Для распространяющейся плоской волны разумно предполагать, что токи и поля имеют одинаковые координатные зависимости. Для затухающей волны вблизи поверхности металла такое предположение довольно далеко от истины. Присутствие поверхности изменяет, вообще говоря, распределение токов и полей, и для решения кинетической задачи оказывается необходимым вернуться к уравнению Больцмана. Сразу же, однако, можно заметить, что поле ограничивается очень тонким слоем вблизи поверхности. Тогда лишь те электроны, которые движутся почти параллельно поверхности, дадут основной вклад в проводи- [c.353]

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой (О движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнений Гельмгольца [78 [c.75]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

Процесс поглощения звука в жидкостях и газах описывается уравнениями гидродинамики с учетом вязкости и теплопроводности. Если искать решение линеаризованных уравнений гидродинамики для одномерного случая в виде плоской гармонической волны типа ехр кх — o ), то волновое число к оказывается комплексным вещественная его часть опреде- [c.7]

Используя некоторые существенные приближения, можно, как правило, показать, что гюйгенсовское решение в оптике (как, например, ее строгая векторная форма в формулировке преобразования Фурье) выводится из уравнений Максвелла. Одно из главных приближений состоит в том, что принцип Гюйгенса применим только вблизи центра квазисферического волнового фронта, образующего изображение. При рассмотрении проблем дифракции и образования изображений необходимо отдавать себе отчет в приближенном характере принципа Гюйгенса. И во всяком случае кажущаяся простота принципа Гюйгенса даже в той его приемлемой форме, которая получена эвристически на базе принципа суперпозиции и спектрального разложения по плоским волнам, не должна слул<ить оправданием для его использования в качестве основы строгого решения, получаемого путем добавления к первоначальному приближению членов более высоких порядков. Однако, если правильно использовать принцип Гюйгенса, выраженный с помощью преобразования Фурье, то он становится достаточно универсальным средством для рассмотрения проблем образования изображений. В частности, его применяют для отыскания распределения интенсивности в пределах дифракционной картины, образуемой волновым фронтом конечного размера при отражении, преломлении и дифракции света в оптических элементах (зеркалах, линзах, призмах, решетках). [c.38]

Обычно в акустике амплитуды колебаний полагают малыми по сравнению с длиной волны. При этом члены второго и более высоких порядков в волновом уравнении оказываются пренебрежимо малыми и оно линеаризируется. Решение такого линеаризированного уравнения, являющееся решением первого приближения, для плоской волны приведено на стр. 14. Во многих случаях это решение оказывается достаточно точным. Давление излучения есть явление более высокого порядка, и из решения первого приближения оно не определяется. Для его расчета нужно даже при малых амплитудах учитывать, помимо линейных, по крайней мере еще и квадратичные члены волнового уравнения. [c.18]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

В этом разделе мы рассмотрим обратную связь для излучения в пассивном оптическом резонаторе. Такой резонатор обычно является открытым, т. е. в соответствии с рис. 2.1 у него нет боковых стенок, а имеются только два расположенных друг против друга зеркала. Приближенно, однако, открытый резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, можно заменить при расмотрении закрытым, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда с идеально отражающими стенками. Будем считать ось г направленной по его длине (полная длина равна L), а оси X и у направим по сторонам квадратного поперечного сечения (длина стороны 2а). Волновые поля в таком резонаторе вблизи его оси лишь мало отличаются от соответствующих полей открытого реального лазерного резонатора. Как известно, для идеального полого резонатора решение волнового уравнения с учетом граничных условий имеет вид стоячих волн. На- [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...