Система волновых уравнений

Указанные основные идеи приложения теории функций комплексного переменного к решению волнового уравнения (9.1) имеют обширные приложения в задачах распространения колебаний, связанных с решением одного волнового уравнения или системы волновых уравнений. [c.446]

В подвижной системе координат задача сводится к решению системы волновых уравнений в вязкоупругом полупространстве (10.2) и уравнений поперечных колебаний тонкой упругой пластины [c.192]

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела. [c.9]

Для ограниченного тела решение последней системы волновых уравнений становится довольно сложным. Это вызвано связанностью функций 0 и X в уравнении (45). [c.573]

И сведения уравнений (1) к системе волновых уравнений [c.734]

Систему уравнений (2) можно заменить системой волновых уравнений ) [c.789]

Мы видели, что в геометрической 5-оптике движение пробной частицы описывается уравнением 5-эйконала. Это уравнение является универсальным в том смысле, что описывает движение любой пробной частицы, вне зависимости от ее спина. При переходе к волновой 5-оптике мы не имеем универсального волнового уравнения или систем волновых уравнений. Это связано с тем, что для частиц с различными спинами мы имеем различные системы волновых уравнений. [c.63]

Система волновых уравнений [c.30]

По поводу преобразования уравнения (3.13) к системе волновых уравнений (4.3) следует сделать одно замечание. [c.33]

Все физические волнообразные процессы характеризуются двумя зависимыми переменными и независимыми переменными— пространством и временем. Давление р и скорость а обычно используются в качестве зависимых переменных в продольных волнах в жидких средах, концентрация с и скорость потока / — в химических диффузионных волнах , электрическое поле Е и магнитное поле Н — в электрических волнах, температура 0 и скорость потока/ — в тепловых диффузионных волнах. Эти переменные связываются между собой системой волновых уравнений. Для решения волновых уравнений необходимо определить граничные условия, которые зависят от используемой теории процессов и условий решаемой в практическом отношении задачи. [c.333]

Простейшей возможной физической системой является частица с массой т, движущаяся в направлении х без воздействия на нее силы. Одномерное волновое уравнение для этой системы получается из уравнения (2-12). Для этой системы переменные у и 2 — постоянные параметры и потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, уравнение (2-12) принимает вид [c.76]

Эта проблема рассматривает частицу, вынужденную двигаться в ограниченной области пространства, определенного прямоугольным ящиком с размерами ребер а, Ь и с. Волновое уравнение для этой системы дано уравнением (2-12). Решение этого дифференциального уравнения с частными производными с тремя неизвестными переменными можно получить, если принять, что [c.77]

Как известно из курса электричества, колеблющийся диполь является источником сферической электромагнитной волны, векторы напряженности которой на больших расстояниях от источника , в так называемый волновой зоне, равны по величине и взаимно перпендикулярны. В этом легко можно убедиться , если воспользоваться сферической системой координат. Положим, что радиус-вектор R, проведенный из точки О в точку наблюдения М, составляет угол О с направлением дипольного момента р (рис. 2.5). Решая волновое уравнение для волновой зоны, можно получить следующие выражения для (t) и Н (t) [c.30]

Как известно, кристаллы являются системами с большим числом степеней свободы, спектр колебаний которых охватывает широкий диапазон частот от Unj, slO с до u j,,=10 с Низкочастотная часть этого спектра простирается в акустическую область, а высокочастотная - в инфракрасную область. В теории теплоемкости Дебая (1912 г.) кристалл рассматривается как сплошное изотропное твердое тело. Распространение волн в однородной среде описывается волновым уравнением [c.198]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Обозначим штрихом движущуюся систему отсчета S. Координаты и время, измеренные наблюдателем в этой системе отсчета, обозначаются буквами со штрихами х, у, г, t. Для удобства предположим, что начало отсчета времени f совпадает с началом отсчета t и что в этот совпадающий нулевой момент времени начало координат системы x y z совпадает с положением источника света в системе S. Тогда для наблюдателя в системе S уравнение сферического волнового фронта должно иметь следующий вид [c.344]

Зависимость процессов от нескольких переменных — координат и времени / — приводит к уравнению движения в частных производных. Это уравнение, называемое волновым уравнением, для одномерной однородной системы записывается в виде [c.320]

Удовлетворение системы (9.2) является необходимым и достаточным условием того, чтобы и = / (О) было решением волнового уравнения. Непосредственная проверка доказывает справедливость следующего утверждения общий интеграл системы (9.2) представляет собой выражение, линейное относительно X, у и 1 [c.431]

В самом деле, определив производные от функции, заданной неявно, подставив полученные выражения в (9,2) и учитывая (9.4), убеждаемся, что выражение (9.3) дает интеграл системы (9.2). Таким образом, доказано, что волновое уравнение (9.1) имеет класс решений указанного вида. Отметим, что если /(Й) — комплексная функция, то решениями также будут и функции ц = Не/(Й) ии = 1т/(й). [c.431]

Отметим также, что класс функционально-инвариантных решений волнового уравнения, как было показано, определяется структурой функции й (а, (/,/), удовлетворяющей системе (9,2) и имеющей вследствие этого вид (9.3) при условии (9.4). Сами функции /(Й) при этом могут быть, как указывалось выше, произвольными дважды дифференцируемыми (или аналитическими) функциями. Это свойство решений волнового уравнения и отражено в названии самого метода функционально-инвариантных решений. Название этого метода отражает некоторые общие групповые свойства решений волнового уравнения. [c.432]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Известно, что волновые процессы, возникаюш,ие в трубопроводах гидросистем, описываются системой дифференциальных уравнений, полученных И. А. Парным [c.15]

На основании системы векторных уравнений (8.21) можно описать совместные нелинейные пространственные колебания сооружения и грунтового основания с учетом волнового характера [c.341]

Согласно уравнению (104) волновое уравнение движения в системе координат Лагранжа для идеальной среды имеет вид [c.57]

Для получения волнового уравнения записывается следующая система уравнений (см. гл. 3) [c.87]

Переходный режим работы привода, а также режим с переменным входным воздействием без учета волновых процессов описываются системой дифференциальных уравнений, порядок которых определяется числом учитываемых факторов. [c.51]

При учете волновых явлений добавляются дифференциальные уравнения в частных производных и привод описывается системой дифференциальных уравнений, включая уравнения с частными Производными. [c.51]

Здесь ф и ) — скалярный и векторный потенциалы, удовлетворяющие системе независимых друг от друга волновых уравнений [c.256]

Таким образом, система (1.65) приводится к двум волновым уравнениям, общие решения которых применительно к схеме рис. 1.27,а имеют вид [c.34]

Система волновых уравнений (2.74) численно решалась по схеме крест , а система (2.75)—по двуслойной акустической схеме [19]. Тестирование программ проводилось сравнением численного решения волнового уравнения с заданным источником с имень щимйся аналитическими решениями. [c.41]

Вернемся теперь к вопросу о выборе эффективного поля i(r). Это поле необходимо выбирать так, чтобы наилучшим образом описать усредненное действие на каждый электрон всех остальных электронов. Чтобы определить О,(г,), надо знать волновые функции г1)г(г,), найти которые можно, только зная О,-(г,). Таким образом, расчет должен быть самосогласованным. Поэтому эффективное поле Vi(ri) часто называют самосогласованным. Для его нахождения используют вариационные методы. Однако решение получающейся при этом системы интегродифференциальных уравнений Харти—Фока чрезвычайно сложно. [c.214]

Однородная система четырех уравнений для определения постоянных Bf, Вш, f, Сщ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее определитель обращается в нуль. Из этого условия получается соотношение между частотой и волновым числом, являющееся частотным уравнением. Это, вообще говоря, трансцедентное уравнение вида [c.367]

Ранее мы уже указывали, что движение системы можно представить некоторой непрерывной кривой в пространстве конфигураций. В настоящем случае эта кривая будет действительной траекторией материальной точки в обычном пространстве. Уравнение W = onst представляет семейство поверхностей в этом пространстве, а условие (7.61а) означает, что траектория материальной точки всюду нормальна к таким поверхностям. Это напоминает соотношения между волновыми поверхностями и лучами в оптике. Предположим, что движение материальной точки на самом деле связано таким образом с некоторой формой волнового движения. Если этот волновой режим характеризуется волновой функцией ф, удовлетворяющей уравнению, подобному скалярному волновому уравнению в оптике, то [c.103]

Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного упругого стержня, аппроксимируя эту систему дискретной системой точек равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо малой массы. Предполагается, что силы — чисто гармонического характера (т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между точечными массами стремятся к нулю, и получить втим способом волновое уравнение (8.101). [c.219]

К системам с распределенными параметрами, в частности, можно отнести и системы с запаздыванием, т. е. системы, в которых воздействие одного звена на другое передается не мгновенно, а с некоторым постоянным запаздыванием по времени. Системы с запаздыванием можно рассматривать как системы со звеном, движение в котором описывается волновым уравнением (в пространстве с одним измерением) при отсутствии отражения волн от его концоз. [c.128]

Смысл Г. в. состоит в сведении ретиешш системы А1аксвелла уравнений для двух векторных величия (Е и И )к решению неоднородного волнового уравнения для одного вектора (П пли П ) с источником ила [c.442]

Кинетические уравнения для туннельной системы. Двухъям-ные системы, обсуждавшиеся в предыдущем пункте, будем впредь называть туннельными системами. Волновые функции нижних состояний туннельной системы, изображенной на рис. 2.4, локализованы в разных ямах. Эти состояния по определению являются стационарными, т. е. система, находясь в одной из ям, будет существовать в ней бесконечно долго. Однако в реальных условиях существует вероятность перехода системы из одной ямы в другую. Физической причиной таких переходов является взаимодействие туннельных систем с фононами. Оно проявляется в том, что колебания, отвечающие фононам, модулируют барьер, разделяющий ямы, делая квантовые состояния в ямах нестационарными и вызывая переходы между ямами. В теоретическом подходе, применяемом здесь, упомянутая модуляция содержится в функциях Uw x) при I ф I, определенных формулой [c.72]

Пусть клин погружается в жидкое полупространство. Выберем систему координат, в которой плоскость клина составляет с координатной плоскостью ж, 2 угол в (рис. 6). В системе координат (ж, у, z) регнение задачи о входе клина должно удовлетворять волновому уравнению (1.1), причем потенциал есть функция трех пространственных [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...