Уравнение волновое конечное

Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнение. — [c.167]

Поведение векторных диаграмм волновых и диффузионных моделей отличается друг от друга при больших частотах о кривые векторных диаграмм стремятся к конечным величинам или неограниченно возрастают при и) оо для волновых и диффузионных моделей соответственно. Аналогично ведут себя корни характеристических уравнений при возрастании времен релаксации (ретардации) Ге(о.) от О до оо в задачах о свободных колебаниях вязкоупругих стержней, а также дисперсионные зависимости скоростей гармонических волн, распространяющихся в полубесконечных вязкоупругих стержнях, при ш —> оо, если поведение материалов стержней подчиняется реологическим уравнениям волнового или диффу- [c.716]

В этом случае уравнение Шредингера, конечно, не решается в замкнутом виде. Но в соответствии с результатами гл. 9, 3 мы можем вычислить детерминант Фредгольма. Чтобы не путать ядро, которое там обозначалось через К, с матрицей волновых чисел, введем для него символ R. Тогда [c.501]

В гл. II излагается общая теория конечных элементов. При этом свойства конечноэлементных моделей полей общего вида представлены в форме, пригодной для пространств любой конечной размерности. Рассматриваются различные типы конечноэлементных моделей, а также критерии сходимости метода и некоторые приложения к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям, волновым явлениям и динамике разреженных газов. Кроме того, в зтой главе подробно обсуждаются понятия сопряженных подпространств и сопряженных аппроксимаций. [c.7]

Под Ч понимается комплексно сопряженная функция волновой функции Т. Учитывая условие (2-45), к функции Ч должно быть предъявлено требование не- прерывности и конечности во всем пространстве. Из всех решений уравнения (2-44) с учетом выполнения условий (2-45) существуют толь 0 те, которые соответствуют определенным значениям энергии Е. Эти значения называются собственными значениями энергии. [c.53]

Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от волнового вектора об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсионным. Уравнение (23,3) — третьей степени по со . Оно имеет три, вообще говоря, различных корня и = со/ (к) — три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины век- [c.131]

Если на эту волновую функцию наложить ограничения, вытекающие из ее физического смысла (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера (7.7) будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а только при некоторых. Эти значения Е, являющиеся решением уравнения (7.7), определяют уровни энергии (энергетический спектр) твердого тела. [c.211]

Пусть теперь энергия электрона соответствует одной из запрещенных зон неограниченного кристалла, т. е. k E) является комплексной величиной. Условие конечности волновой функции (7.115) в этом случае будет выполнено, если один нз коэффициентов А или Лг (в зависимости от знака мнимой части k) положить равным нулю. Тогда (7.117) и (7.118) превращаются в два линейных однородных уравнения с двумя неизвестными. Они имеют решение только при таком значении энергии, при котором определитель системы равен нулю. Все остальные значения Е запрещены. Таким образом, ограничение кристалла поверхностью приводит к тому, что в области энергии, соответствующей запрещенной зоне неограниченного кристалла, появляются разрешенные энергетические уровни. Эти состояния, локализованные вблизи поверхности, и получили название поверхностных уровней (состояний). Волновые функции, соответствующие поверхностным состояниям, экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности. В области вакуума -ф-функция затухает монотонно, а в об-1G-221 24 f [c.241]

Уравнение (10.6), описывающее продольные волны, является неоднородным волновым уравнением. Известно, что если функция Ф и начальные условия в конечной части пространства отличны от нуля, то -поверхность, отделяющая возмущенную область от невозмущенной (фронт -волны), распространяется в направлении своей нормали в сторону невозмущенной области со скоростью С. [c.250]

При наличии столкновений уравнение (3.62) дополняется членом, описывающим эффект столкновений в виде силы трения, пропорциональной разности волновых векторов начального и конечного состояний и обратно пропорциональной времени релаксации X (приближение времени релаксации). В этом случае [c.89]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Решение с положительной экспонентой отбрасывается из-за требования конечности волновой функции. При р О главными членами уравнения являются члены с максимальной степенью р в знаменателе. Поэтому при р -> О [c.188]

Если все числа /, т, п — действительные, то получаем решение волнового уравнения, называемое плоской волной. Коэффициенты /, т, п могут быть комплексными числами. При ш = 1, п = (, 1 = 0 получаем общий интеграл уравнения Лапласа, который, конечно, удовлетворяет и волновому уравнению. В случае. же, когда псе три коэффициента отличны от нуля и являются комплексными величинами, мы получаем существенно новое решение, которое называется плоской волной [52]. [c.432]

Возмущения, вызванные в сжимаемых жидкостях и газах, в том числе и распространение звука, могут быть в зависимости от условий либо малыми, либо конечными возмущениями. Известно что в обычных условиях акустические возмущения являются ма лыми возмущениями и распространяются со скоростью звука а при сильных взрывах они будут конечными и скорость их рас пространения может значительно превосходить скорость звука Движение при малых возмущениях и движение при конечных возмущениях математически описываются совершенно различными уравнениями. Первое определяется линейным дифференциальным уравнением в частных производных, называемым в математике волновым уравнением. Обычно это уравнение имеет вид [c.149]

Тем не менее, можно попытаться написать волновое уравнение, для которого уравнение Гамильтона — Якоби является своего рода пределом при Я->0, Сходство между уравнениями (9.94) и (9.83) не означает, конечно, что величине L должно соответствовать именно W, так как оно может соответствовать величине, пропорциональной L. Мы увидим, что коэффициент [c.341]

При А,, стремящемся к нулю, последним членом в этом уравнении можно пренебречь. Отсюда следует интересный вывод уравнение в частных производных Гамильтона в оптике эквивалентно волновому уравнению Френеля для случая бесконечно малых длин волн, т. е. бесконечно больших частот. Для малых, но конечных длин волн уравнение в частных производных Гамильтона является лишь приближенным и должно было бы быть заменено точным уравнением [c.318]

Эго уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции U в волновой теории света другой, там она измеряет время распространения, а не. действие". В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа наименьшего действия" принцип. наименьшего времени", который сформулировал Ферма ( 111). [c.274]

Интегродифференциальное уравнение (2.44) с ядром типа (2.47) может описывать волновые процессы в вязкоупругих линейных средах, процесс распространения с конечной скоростью температуры в сплошных средах, электромагнитные волны в средах с конечной проводимостью и другие нестационарные физические процессы. [c.28]

В отличие от последних решения уравнений (6-10-6), (6-10-7) имеют очерченный фронт волны, перемещающийся с конечной скоростью w. Отметим, что уравнения переноса гиперболического типа, в частности волновое уравнение, были получены различными путями рядом исследователей при анализе процессов диффузии, теплопроводности, турбулентной диффузии и т. д. [c.449]

В приведенных ниже программах исходные данные обозначены следующими наименованиями переменных gI — дисперсия входа —SIG (или N2) Lq и — параметры, характеризующие размеры случайных неоднородностей —А0, Т0 и ТМ Я,о — длина волны колебания — VL feo — волновое число С0 х — текущая координата А л о и Уо — начальные приближения корней характеристического уравнения X и Y нижний и верхний пределы интегрирования АН и AV точность интегрирования внутри отдельной области T I точность интегрирования, обусловленная конечностью пределов интегрирования — ТСТ. [c.255]

С другой стороны, соверщенно ясно, что кривизна поверхности ДЛ непосредственно скажется на следующих за параксиальными членах разложения, т. е. на аберрациях третьего и высших порядков малости. Легко убедиться, что если уравнение поверхности содержит нечетные степени р, то они появятся и в выражении для волновой аберрации, чего не было у плоских ДЛ. Конечно, при создании объективов, т. е. оптических систем со скомпенсированными в той или иной степени аберрациями, нет никакого смысла рассматривать поверхности, приводящие к добавочным аберрационным членам. [c.29]

Уже отмечалось, что в общем виде удается проинтегрировать (т. е. перейти к волновым аберрациям) только выражения для угловых аберраций третьего порядка. Для того чтобы и в пятом порядке получить связь между волновыми аберрациями, необходимо задаться их определенной формой. Будем считать, что на сфере G радиуса г волновые аберрации выражены в каноническом виде (1.26) с коэффициентами 5з,. .., Ds. Дифференцируя это выражение и подставляя полученные угловые аберрации в уравнения (2.8), найдем вполне конкретные выражения для угловых аберраций на сфере G, которые можно проинтегрировать как в третьем, так и в пятом порядке. Интегрируя и приводя получаемые соотношения для волновых аберраций на сфере G к каноническому виду с коэффициентами S ,. . ., D, определим связь между каноническими коэффициентами на двух сферических поверхностях. Промежуточные выкладки довольно трудоемки и громоздки, поэтому приведем лишь конечные результаты. Необходимо помнить, что угловые аберрации F , равны производным волновой аберрации Фа, деленным на показатель преломления среды п, поэтому последний фигурирует в нижеследующих соотношениях, хотя отсутствует в (2.8). Итак, канонические коэффициенты волновой аберрации на сфере G радиуса г, отстоящей от среды G на расстоянии z, равны [c.46]

Интегрированию уравнений движения (1.6) с начальными условиями (2.1) в безграничной упругой среде посвящено значительное число работ выдающихся математиков и физиков прошлого столетия [8Й. В них обобщалась картина движения [129], описывающегося классическим волновым уравнением. Несвязанность двух типов волн привела к тому, что и в случае упругого пространства физическая картина распространения возмущения из конечной области оказалась довольно ясной [82, 123, 270]. [c.24]

Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению вопроса о распространении конечных возмущений, заметим, что волновой характер уравнений (86) позволяет указать графоаналитический метод их интегрирования. Изложим основную идею этого метода. [c.144]

Указанные соображения и определили структуру книги. В ней обсуждаются акустические модели различных сред (жидкостей, газов, газожидкостных смесей, однородных и структурно-неоднородных твердых сред) и уравнения волн конечной амплитуды в таких средах. Качественный характер волнового процесса определяется сочетанием и конкуренцией нескольких факторов, таких, как нелинейность, диссипация, дисперсия, а в неодномерных случаях — также рефракция и дифракция, и в книге последовательно рассматривается влияние зтих факторов на эволюцию и взаимодействие акустических волн. В сущности, зто - книга о поведении слабонелинейных волн в сплошных средах. Исходя из такой общеволновой трактовки мы и выбирали материал книги, который все же не исчерпывает всего содержания нелинейной акустики. В частности, мы почти везде ограничиваемся рассмотрением продольных упругих волн (т.е. собственно акустикой) и не рассматриваем злектро- и магнитоакустических процессов. При зтом мы стараемся избегать сложных математических схем, используя по возможности упрощенные модели и феноменологические подходы. Заметим, что, хотя основу книги составляют вопросы теории, мы везде, где зто возможно, приводим количественные оценки и данные зкспериментов, пытаясь дать читателю представление о параметрах и возможностях реализации рассматриваемых процессов. [c.4]

Тривиальный выбор псевдопотеициала состоит в том, что он полагается равным V (г). Тогда уравнение (2.22) превращается просто в уравнение Шредингера. Конечно, при этом собственные значения оказываются правильными, а псевдоволновые функции — равными истинным волновым функциям. Такой выбор псевдопотенциала, разумеется, не дает нам ничего нового. [c.117]

Н. А. Koenig и N. Davids [2.115] (1968) исследовали не-установившиеся волновые процессы в балках и пластинах конечной протяженности с учетом инерции вращения и сдвига. Записаны уравнения метода конечных элементов для балки и круговой пластины. Затем приведены численные результаты для консольной балки и круг0В(0Г0 кольца, защемленного по внешнему контуру. На свободном конце или контуре прикладывается изгибающий момент или сдвигающая сила, изменяющаяся во времени как функция Хевисайда или имеющая наклонный начальный участок. В каждом случае построены графики изгибающего момента и сдвигающей силы для фиксированной координаты в зависимости от времени при различных длинах. Интервал времени достаточно велик, чтобы учесть многократные от)ражения. Показано, что учет отраженных волн приводит к значительному увеличению нормальных и сдвигающих напряжений по сравнению с полу-бесконечным телом (например, в два раза). Причем, максимальные напряжения имеют место после нескольких отражений, что объясняется наличием дисперсии волн. Уменьшение длины балки и переход от постепенного нагружения к ступенчатому приводит к обострению экстремумов. моментов и сил. На основании сравнения метода конечных элементов и метода характеристик утверждается, что первый более эф-, фективен. Отмечается также эффективность метода конечных элементов по сравнению с любым численным методом в случае конечных областей. [c.158]

В работах Пеннея и др. содержится определение стоячих волн и в бассейне конечной глубины с вычислением двух первых членов в уравнении волновой поверхности [c.686]

Положение существенно меняется для жидкости, находяш,ей-ся в сосуде конечных размеров. Самые уравнения движения (волновые уравнения) остаются при этом, конечно, теми >ке, но к ним необходимо добавить теперь граничные условия, которые должны выполняться на поверхности твердых стенок (или на свободной поверхности жидкости). Мы буде.м рассматривать здесь только свободные колебания, происходящие при отсутствии перегдепных внешних сил (колебания, совершаемые под действием внешних сил, называют вынужденными). [c.374]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Дискретность волнового вектора. В реальных условиях электроны движутся в кристаллах конечных размеров. В этом случае необходимо решить уравнение Шрёдингера для ограниченного кристалла и задать граничные условия, т. е. значения для волновой функции и ее первых производных по [c.74]

В [1, 5] также приводятся результатьг экспериментальных и теоретических (в нелинейной постановке) исследований характеристик развитого волнового течения пленки. Волны, качественный анализ которых был дан в п. 4.3.1, строго говоря, во многих случаях не могут анализироваться в рамках линейной теории, поскольку их амплитуда нередко превосходит среднюю толщину пленки 5q (хотя условие а X обычно выполняется). Возможности теоретического исследования волн конечной амплитуды, как упоминалось в п. 3.3.5, весьма ограничены. Стационарные уединенные волны, фазовая скорость которых определяется уравнением (3.23), возможны и наблюдаются в экспериментах с гравитационными пленками. Однако во многих экспериментальных установках и технических аппаратах длина поверхности в направлении течения, по-видимому, бывает [c.171]

Это — волновое уравнение, описывающее поперечные колебания струны. Мы его получили для струны конечной длины Z, но оно справедливо и для бесконечной или нолубесконечной струны. Уравнение получило название волнового благодаря тому, что ему удовлетворяет решение j х — с<), где / (а ) — произвольная функция класса С . Таким образом, решение [c.53]

Поскольку все же известное истолкование этой микроструктуры, конечно, при дополнительных весьма искусственных предположениях, может быть получено с помощью классической механики (причем имеются значительные практические достижения), то мне кажется особенно знаменательным, что подобное истолкование (я имею в виду квантовую теорию в форме, предложенной Зоммерфельдом, Шварцшильдом, Эпштейном и некоторыми другими) находится в теснейшей связи с уравнением Гамильтона и теорией Гамильтона—Якоби, т. е. с той формой классической механики, которая уже содержит отчетливое указание на истинный волновой характер движения. Уравнение Гамильтона соответствует как раз принципу Гюйгенса (в его старой наивной, а не в строгой, приданной ему 1 рхгофом форме). И подобно тому, как последний принцип, дополненный совершенно непонятными с точки зрения геометрической оптики правилами (правило зон Френеля) уже в значительной мере разъясняет явления дифракции, можно в некоторой мере уяснить, исходя из теории функции действия, происходящие в атоме процессы. Напротив, можно запутаться в неразрешимых противоречиях, если пытаться, как это кажется естественным, полностью удержать и для атомных процессов понятие траектории системы подобно этому бессмысленно, как известно, подробно изучать в области дифракционных явлений движение светового луча. [c.690]

Мы об[1ащаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении Гамильтона —Якоби производится представлением S в виде суммы членов, каждый из которых содержит лишь одну координату q , тогда как в случае уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно, есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией Гамильтона — Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной физической системы уравнение Гамильтона —Якоби может быть решено при некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести разделение переменных и в уравнении Шредингера. [c.158]

В случае разрезов конечных размеров наиболее эффективным образом Является метод асимптотических разложений искомого решения уравнений (465) по малым и большим волновым числам. Разложение по малым параметрам k и приводит к цепочке стандартных граничных задач статической теории упругости с объемными силами, определяемыми предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины возникает пограничный слой, где требуется точный анализ задачи для полубеско-нечного разреза вне пограничного слоя решение по аналогии с геометрической оптикой строится элементарно. Склеивание асимптотических разложений при малых и больших частотах позволяет получить эффективное решение для всей области частот. [c.144]

Ниже рассмотрены системы, состоящие из пассивных сред, в которых отсутствуют заряды и токи, поэтому внутри каждой области с непрерывными физическими свойствами уравнения Максвелла сводятся к двум векторным волновым уравнениям. Решение их представляют в виде суммы гармонических во времени электромагнитных волн. Источник освещения считают обычно точечным и монохроматическим. Если необходимо учесть конечные размеры и немонохроматичность реального источника, производят просто суммирование (интегрирование) по источнику и его спектру. Для монохроматического освещения решение ищут в виде одной гармонической во времени волны Е = = Eo r)exp j()it), амплитуда которой [c.9]

Как уже отмечалось при анализе волновых движений в цилиндри-чебком волноводе, наборы частных решений уравнений движения в цилиндрических координатах впервые были приведены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. В работе [168] такие решения использовались для изучения колебаний конечных цилиндров со специальными смешанными условиями на торцах = 0. При этом оказалось возможным выполнить граничные условия путем наложения на падающую волну отраженной волны такого же типа. [c.194]

Формулы (2.5) и (2.7) показывают, что все характеристики волнового поля являются результатом сложения бесконечного чивла волн. В такой суперпозиции принимает участие конечное чивло N + М) нормальных волн, соответствующих вещественным I, = = и чисто мнимым корням дисперсионного уравнения, [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...