Уравнение волновое продольных колебаний

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость распространения продольных волн в стержнях оказывается равной [c.138]

Из гамильтониана (37.18) следует, что уравнением движения для продольных колебаний с волновым вектором х является следующее [c.760]

Состояние струны при малых продольных колебаниях в ней определяется заданием смещения ее точек F х, t) (и соответствующей скорости Т (х, /)), а изменение состояния — волновым уравнением [c.251]

Звуковые колебания в газах. Для того чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны. Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором ц с составляющими Ti,(i = 1, 2, 3). Следовательно, каждая точка х, у, г будет характеризоваться тремя относящимися к ней обобщенными координатами. Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление Р и плотность (х будем считать мало отличающимися от их равновесных значений Pq и цо. [c.385]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

Аналитический учет потерь сталкивается со значительными трудностями, так как требует введения новых членов в волновое уравнение. Однако в некоторых частных случаях могут быть использованы упрош,а-ющие приемы, аналогичные тем, которые применяются в 12, 14, 15 работы [19] для концентраторов продольных колебаний. [c.308]

Система уравнений (28.6) может быть легко решена. Заметим, что решения этой системы характеризуются поляризацией электрического ноля. Для колебаний с электрическим вектором, ориентированным вдоль волнового вектора /с (продольные колебания), [c.107]

Далее, пусть стержень отпускается, вследствие чего возникают в нем продольные колебания. На основании сказанного, волновое уравнение (14.1.3) должно быть решено при следующих граничных условиях [c.348]

Итак, для определения продольных колебаний стержня следует решить волновое уравнение (14.1.3) при граничных условиях (14.1.4) и (14.1.5) и начальных условиях (14.1.6) и (14.1.7). Решение волнового уравнения (14.1.3) при граничных условиях (14.1.6) и (14.1.7) можно получить либо методом Фурье, либо методом характеристик. Именно последний метод и используется при решении (14.1.3). [c.348]

Продольные колебания бруска описываются волновым уравнением [c.133]

Уравнение (5.1) часто называют одномерным волновым, чтобы указать на то обстоятельство, что при продольных колебаниях контур перемещений распространяется в осевом направлении со скоростью а, т. е. со скоростью распространения звука в материале. Волновое решение этой задачи имеет вид [c.324]

Для продольных колебаний система (2.7), (2.17) приводит к волновому уравнению [c.22]

Рассмотрим вначале случай, когда на стержень не действуют внешние силы, т. е. /i(i) =/2(0 = n(Xi, t) = 0. При этом задача продольных колебаний стержня переходит в задачу определения собственных колебаний, причем соответствующее дифференциальное волновое уравнение (2.11) примет Упрошенный вид [c.35]

Наложение граничных условий на решение уравнения (1.21) вызывает появление дискретных значений частот (Оп (обертонов). Если цепочка состоит из N+1 атомов, то длина цепочки равна Ыа. Если концевые атомы закреплены, т. е. XI = О и Хлг+ 1 = 0, то в цепочке могут существовать лишь такие продольные и поперечные колебания, для которых 1, 2, 3,. .. N полуволн укладываются на расстоянии На. Волновой вектор для этих разрешенных колебаний к = я/(На, 2я/Ма, Зя/На,. .. или я/а. Для достаточно больших N разница между двумя соседними значениями волнового вектора будет мала. При этом число состояний (число нормальных колебаний), приходящихся на интервал значений волнового векто- [c.30]

Волны колебаний кристаллической решетки являются следствием повторяющихся и систематических смещений атомов (продольных, поперечных или их комбинаций), которые-характеризуются скоростью распространения V, длиной волны X (или волновым вектором к1=2лД), частотой V или угловой частотой o = 2яv = Vk. Уравнение движения для произвольных смещений атомов может быть получено в результате анализа возвращающихся сил, действующих на этот атом (см. 9). Такой подход позволяет получить дисперсионное соотношение между частотой и длиной волны (или между угловой частотой и волновым вектором). [c.36]

Логарифмический декремент. Введем понятие логарифмического декремента волн или колебаний, которое часто используется в литературе вместо коэффициента потерь. Рассмотрим для конкретности распространение продольной волны частоты со в бесконечном стержне с комплексным независящим от частоты модулем Юнга. Решая волновое уравнение с комплексными коэффициентами [c.217]

Одномерные волновые уравнения (6), (6 ) или (6") являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций [c.154]

Уравнение (14.1.3) называется волновым уравнением. В рассматриваемом случае оно описывает смещение отдельных точек стержня в направлении оси х, вдоль которой располагается стержень. Эти смещения будут колебаниями, носящими название продольных упругих колебаний стержня. [c.348]

В данной работе на базе реологической модели (1) исследуются продольные нестационарные колебания стержня конечной длины, процесс соударения стержня с жесткой преградой и волны напряжений, распространяющиеся в полубесконечном стержне. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, возникающие в вязко-упругих материалах. Все зависит от порядков дробных производных, стоящих в левой и правой частях реологического уравнения. Так, если (3 > а, то материал не обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает диффузионные явления (модель типа Кельвина-Фойгта). Если параметры дробности равны, то материал обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает волновые явления (модель типа Максвелла). Если /3 > а, то такая реологическая модель не имеет физического смысла. Здесь имеет место полная аналогия с вязкоупругими реологическими уравнениями, содержащими в левой и правой частях производные целого порядка [15. [c.282]

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих тепах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость волн в тонком и толстом стержнях. Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление. [c.63]

Пьезоэлектрическая среда существенно анизотропна, и поэтому в общем случае необходимо использовать волновые уравнения для анизотропных сред, выведенные Кристоффелем [26] и рассмотренные в монографиях Мэзона [27] и Лява [28] (см. гл. 1, 7 и гл. 4, 7, п. 2). Вдоль каждого направления в кристалле могут распространяться три акустические волны со взаимно перпендикулярными направлениями смещений и в общем случае с различными скоростями. В некоторых особых случаях распространяются чисто продольные или чисто сдвиговые волны. Такие волны распространяются вдоль некоторого произвольного направления х в анизотропной среде, если упругие постоянные 16 15 бв Рассмотрение смешанных мод колебаний существенно для триклинных, моноклинных, ромбоэдрических и некоторых тетрагональных кристаллов или для кристаллов с болео высокой симметрией, если полна распространяется не вдоль одной из осей симметрии. При распространении волны вдоль одной из осей симметрии, например ромбического кристалла, колебания являются либо чисто продольными, либо чисто сдвиговыми. Смешанные моды появляются n тех случаях, когда направление распространения не параллельно одной из осей симметрии, как, например, в кристаллах сегнетовой соли L-среза. [c.234]

Будем считать, что вывод волнового уравнения при элементарном исследовании поперечных колебаний струны и мембраны, а также продольных и крутильных волн в стержнях хорошо известен. Здесь мы рассмотрим вывод волнового уравнения в полной трехмерной теории. [c.208]

Это волновые уравнения для деформации сдвига Из них следует, что сдвиг распространяется со скоростью С1— л1р Названия продольная по отношению к волне расширения и поперечная по отношению к волне сдвига связаны с ориентацией плоскости колебания частиц тела по отношению к направлению распространения упругой волны Отношение скоростей продольных и поперечных волн зависит только от коэффициента Пуассона среды V, в металлах, где г 0,3, Сг/С1 0,ББ. [c.15]

Дисперсионному уравнению удовлетворяют три волновые числа (/ = 1, 2. 3). Из них fi и I2 характеризуют продольные и изгибные колебания, а Гз соответствует сдвиговым колебаниям по ширине. Волновые числа fi и ti для всех II являются действительными, в то время как Гз может принимать действительные и мнимые значения (рис. 3.12). Для действительных значений волновых чисел (т. е. f > 0) детерминант системы уравнений (3.152) можно выразить в виде [c.105]

Рассмотрение приведенных зависимостей приводит к выводу, что, как правило (за исключением случая IX 1), распространяются несколько типов волн, характеризующихся различными значениями фазовых и групповых скоростей. Каждый тип волны, в соответствии с выражениями (3.5) и (3.6), имеет определенное распределение колебаний по сечению. У всех типов волн, кроме низшей, соответствующей минимальному корню уравнения (3.4), существуют так называемые частоты среза, ниже которых волновое число становится мнимым, т.е. волна не распространяется в стержне, и процесс колебаний затухает на малых расстояниях от источника. Это явление можно использовать для устранения нежелательных типов волн. При выборе рабочей частоты ниже наименьшей частоты среза /ср.мин можно из всех продольных волн выделить низшую и использовать ее в качестве рабочей волны. Выражение для определения этой частоты легко получить из уравнения (3.4), положив в нем С - оо (X —> оо), что после несложных преобразований дает [c.59]

В частном случае независящего от частоты коэффициента потерь т)((о) = onst вместо частотно зависимого вязкого демпфирования в некоторых отношениях удобнее непосредственно использовать комплексные жесткости (7.8) или соответствующие комплексные модули упругости, которые в данном случае не зависят от частоты. Подставляя их в волновые уравнения тина (5.7) н (5.33), можно получить легко решаемые уравнения с постоянными комплексными коэффициентами. Панример, уравнение продольных колебаний стержня с частотно независимыми потерями записывается в виде [c.216]

Колебания волочимого изделия. При изучении колебаний изделия на станах бухтового волочения рассмотрены его перемещения в продольном и поперечном направлениях, вызванные тем, что фактическая форма тянущего барабана отклоняется от цилиндрической, а при рассмотрении колебаний изделия на цепных станах изучены лишь продольные колебания (1, 2]. Волочимое и.чделие представлено в виде стержня, имеющего закрепление концевых сечений, определяемое особенностями рассматриваемого случая. Так, при изучении продольных колебаний рассмотрен стержень, имеющий кинематическое перемещение, определяемое тянущим органом стана. При определении собственных частот колебаний использовали волновое уравнение, применили разложение по собственным формам колебаний и из граничных условий нашли час- [c.132]

Волновые процессы в упругих стержнях постоянного сечения при вертикальном ударе. Цилиндрический стержень (рис. 6.7.10) массой т и длиной /, имеющий на верхнем торце жесткое тело массой ГП2, а на нижнем - жесткое тело вращения массой т , летит со скоростью Уд и ударяется о деформируемое основание (полупространство). Введем две системы координат подвижную лгу, жестко связанную с телом Шх, и неподвижную Х1У1, связанную с преградой. Тогда уравнение продольных колебаний стержня (в рамках технической теории) будет иметь вид [c.412]

На основании полученных выражений с обобщенными коэффициентами, описывающих закон распределения колебательных амплитуд, можно найти плоскости, где расположены узлы и пучности. Метод входных сопротивлений, весьма плодотворный при анализе и расчете волноводов продольных колебаний [2] применительно к изгибным волноводам, з лож-няется двумя обстоятельствами. Первое из них заключается в том, что для изгибных волноводов следует учитывать два вида входных сопротивлений сопротивление для перерезывающей силы и сопротивление для изгибающего момента обязанных двум видам смещений элемента волновода (вертикальное перемещение и поворот плоскостей поперечного сечения). Вюрое обстоятельство связано с большей (чем для продольных колебаний) сложностью волнового уравнения, в результате чего приходится оперировать с четырьмя постоянными интегрирования. [c.249]

Вопросу исследования динамических напряжений в подъемных канатах посвящены известные работы А. С. Локшина, Г. Н. Савина, Ф. В. Флоринского [8] и других авторов. Однако во всех этих работах проволочный канат интерпретировался как сплошная упругая нить и задача сводилась к интегрированию известного уравнения продольных колебаний такой нити или волнового уравнения [c.148]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Исследовать продольные упругие колебания бесконечно длинного упругого стержня, аппроксимируя эту систему дискретной системой точек равной массы, связанных между собой одинаковыми пружинками пренебрежимо малой массы. Предполагается, что силы — чисто гармонического характера (т. е. соответствуют закону Гука) и что массы отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рассмотреть предельный случай, когда расстояния между точечными массами стремятся к нулю, и получить втим способом волновое уравнение (8.101). [c.219]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

Волновые процессы. Я. И. Френкель (1944), рассматривая плоские монохроматические сейсмические волны в насыщенной пористой среде, установил существование двух типов продольных волн и отметил чрезвычайно быстрое затухание волн второго типа. Для анализа волн первого типа Френкель использовал разложение в ряды по параметру, являющемуся отношением некоторого характерного времени затухания к периоду колебания в волне, т. е. ограничился анализом случая малых частот. Френкель рассмотрел также характер затухания поперечных волн малых частот. Ааал огичйый анализ для варианта сферической симметрии на основе уравнений Френкеля был выполнен в работе [c.594]

Отметим, две работы, которые содержат результаты исследований колебаний цилиндрических оболочек на основе уравнений, полученных в нелинейной постановке. В первой из них В. И. Борисенко и А. И. Клокова [3.18] (1966) исследуют численно на основе нелинейных волновых уравнений М. П. Галина [3.29] поперечные перемещения в щарнирно опертой цилиндрической оболочке при различных скоростях продольно ударяющего тела. Получена картина поперечных отклонений до второго отражения. Показано, что максимумы в разные моменты времени локализуются вблизи одного или другого торца. Во второй А. Лахе и Л. Поверус [3.50] [c.224]

Если число Рейнольдса и волновое число достаточно далеки от нейтральной кривой, необходимы иные принципы построения нелинейной теории. В независимых работах [43, 44] таким принципом служит нелинейность критического слоя. Результаты [43, 44], получившие развитие в [186, 187], относятся к нестационарным колебаниям, фазовая скорость которых порядка скорости основного течения. Эволюция полученных в [43, 44] структур при уменьшении фазовой скорости периодических возмущений исследована в [188]. Математическая модель критического слоя волны Россби и ее связь с теорией [43, 44] обсуждаются в [189, 190]. Нелинейная эволюция волны Толлмина-Шлихтинга с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой изучается в [191] с учетом непараллельности потока жидкости в пограничном слое. Полученные оценки для "быстрой" и "медленной" переменных метода двухмасштабных разложений по продольной координате приводят к амплитудному уравнению. [c.13]

Со времен Франческо Гримальди, который еще в ХУП в. первым подробно описал дифракционные эффекты и даже ввел сам термин дифракция , ее считали редким исключением из строгого свода законов геометрической оитики. Однако анализ волнового уравнения показывает, что независимо от природы распространяющихся колебаний (световые и звуковые, поперечные и продольные) дифракция не только не является чем-то аномальным, но присуща любому вол новому процессу изначально. [c.120]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...