Модельное волновое уравнение

МОДЕЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ [c.191]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Установим область сходимости ряда, аналогичного ряду (1.4), в случае решения смешанной задачи Коши предлагаемым методом в простейшей модельной ситуации — для одномерного волнового уравнения [c.317]

Дадим вьшод соответствующего модельного уравнения. Начнем с линейного волнового уравнения для возмущений плотности р [c.103]

Воспользуемся результатами п. 3.1. Плотность среды считаем постоянной. В качестве модельного уравнения (3.7) возьмем волновое уравнение в однородной среде, тл. положим [c.138]

Основной идеей при получении подобных модельных уравнений явилась схема Кортевега - де Фриза, согласно которой при разложении с целью упрощения волновых уравнений общего вида в ряд теории возмущений параметры нелинейности и дисперсии считаются малыми одного порядка. Благодаря этой идее стали универсальными такие понятий, как солитон, самофокусировка, коллапс, чисто квазичастиц, полная энергия волны и др. Указанный метод двойного разложения долгое время не пользовался популярностью из-за необычности и кажущейся трудности исследования получаемых упрощенных уравнений. [c.29]

Соответствующие функция источника (то есть граничное условие (3.136)) и профиль импульса позади фронта (то есть точки г = ) v r + т,r) (где v(i,r) определена в (3.135)), построенные на основе Абелевого ядра и функция Грина для одномерного обобщенного волнового уравнения) приведены на рис. 3.17 (см цветную вкладку). Хорошо виден эффект запаздывания , который наряду с неизбежным затуханием, отличает распространения импульса в наследственной среде с сингулярным ядром памяти, от обычной упругой среды [75]. Хорошо видно также, что импульс после прохождения некоторого пути в рассматриваемой нами модельной среде несколько изменяет свой временной (а соответственно и пространственный) профиль, но при этом он проявляет относительную устойчивость формы (конечно, с неизбежным затуханием, которое на рисунке не показано благодаря различию в вертикальных масштабах изображения двух сравниваемых профилей [c.177]

Для того чтобы теоретически определить возможные стационарные энергетические состояния системы частиц (атома, молекулы или их ионов), а затем по ним рассчитать спектры или термодинамические функции, необходимо составить оператор Гамильтона Я и решить уравнение Шредингера (3.5). При этом должны одновременно получаться не только собственные значения полной энергии системы Е = Е, Е2, Ез. .. Ek, но и соответствующие им собственные волновые функции il) = l3i, vp2, определяющие возможные стационарные варианты распределения частиц (электронов и ядер) в пространстве, т. е. электронную и ядерную плотность в атомах и молекулах. Однако точно в аналитическом виде уравнение Шредингера (3.5) решается только для одноэлектронной системы атома водорода и некоторых простейших модельных систем, например, гармонического осциллятора, жесткого ротатора и немногих других. Поэтому обычно квантовомеханические уравнения для реальных систем реша- [c.18]

Второй способ — применение модельных функций теории рассеяния в качестве пробных функций для разложения по ним искомой волновой функции это разложение надо подставить в уравнение Шредингера для Ч , что автоматически приведет нас к псевдопотенциалу. [c.68]

С равной нулю левой частью. Можно ожидать, что решение F этого уравнения будет единственным, причем оно будет зависеть от коэффициента вязкости V. Предположим, что это решение имеет предел при v->0. При таком предельном переходе верхняя граница инерционного интервала волновых чисел будет неограниченно возрастать поэтому предельный функционал 4 0. по-видимому, должен удовлетворять модельному уравнению (29.27). [c.649]

Значение к, определяемое формулой (19.6), можно было бы принять за естественную верхнюю границу плазменного спектра. При более коротких длинах волн плазменные колебания начинают затухать. Однако, как уже отмечалось в 18, естественная граница плазменного спектра может быть обусловлена и другой причиной уравнение (18.7) не обязано иметь вещественные корни при любых к. Для исследования этого вопроса надо явно вычислить к, )) при всех значениях аргументов, что, очевидно, возможно лишь, когда известен вид к). Фактически, однако, функция W (к) известна лишь для достаточно малых волновых векторов (при значениях к, близких к постоянной обратной решетки, становится непригодным и сам метод эффективной массы). Поэтому здесь имеет смысл рассмотреть какой-либо модельный пример, и результаты, таким путем полученные, будут иметь, вообще говоря, лишь методическую ценность. Исключение составляет случай, когда вещественные решения (18.7) исчезают уже при достаточно малых к. В следующем параграфе мы увидим, что именно так обстоит дело в больцмановской плазме в полупроводниках. ]Мы ограничимся здесь простейшим случаем — квадратичной изотропной аппроксимацией,— полагая [c.175]

Исследование волновых процессов на поверхности жидких пленок стекающих по твердой границе представляет собой один из современных разделов гидродинамики. Кроме прикладного значения (стекающие пленки вязкой жидкости находят, например, широкое применение в технологических процессах химической промышленности и энергетики), исследования пленочных течений вызывает также и чисто теоретический интерес у многих авторов. Используя малость толщины пленки по сравнению с длиной волны возмущений, можно значительно упростить задачу, требующую в полной постановке рассмотрения системы уравнений Навье-Стокса в области с неизвестной заранее свободной границей. Это приводит к ряду относительно простых модельных уравнений, исследование которых интересно и с чисто математической точки зрения. [c.176]

Будем рассматривать течение пленки вязкой жидкости, свободно стекающей по внешней поверхности вертикального цилиндра под действием силы тяжести. В случае больших цилиндров, у которых радиус много больше характерной толщины пленки, при малых расходах решение можно искать в виде рядов по малому параметру. Тогда все величины удается представить в виде полиномов от поперечной координаты с коэффициентами, зависящими от толщины пленки и ее производных. В итоге, используя кинематическое условие на свободной границе, задачу удается свести к одному нелинейному уравнению, описывающему эволюцию возмущений толщины пленки [1]. Некоторые аксиально-симметричные волновые режимы этого модельного уравнения были рассмотрены в [2]. В настоящей работе излагаются результаты численных исследований пространственных стационарно бегущих решений такого уравнения. [c.176]

Заключение. Модельное уравнение (1.1), описывающее пространственные волновые режимы для стекающей по цилиндру жидкой пленки, имеет разнообразные решения - от почти синусоидальных до солитонных. Эти решения качественно хорошо соответствуют наблюдаемым в эксперименте режимам (см., например, [6]). При движении по волновому числу а в область длинных волн количество семейств периодических стационарно бегущих волн быстро возрастает. Среди них имеются семейства, в пределе переходящие в солитонные решения. Уменьшение значений параметра 5 (переход к цилиндрам большего радиуса) для решений с малыми волновыми числами а приводит к локализации по ф-направлению. Кроме того, для некоторых решений происходит [c.182]

Структура развитых термоконцентрационных вторичных течений должна быть найдена на основе нелинейного анализа. В работе [24] для расчета вторичных режимов в области предельно больших Ка< был использован метод малого параметра. Модельное амплитудное уравнение позволило заключить, что в некотором интервале значений волнового числа возможно жесткое возбуждение неустойчивости. Эволюция течения в надкритической области изучалась в работе [27] с помощью метода Галеркина — Канторовича. Расчеты проводились для водного раствора соли при фиксированном Ra = 1,878 10 (параметры соответствуют работам [17,23]). При заданных к - 11,25 и Gr = 1231 (пятипроцентная надкритичность) изучалось развитие со временем начального возмущения. Расчеты показали, что в течение небольшого промежутка времени возникающие на границе устойчивости ячейки с противоположным направлением вращения смежных вихрей трансформируются в систему слоистых ячеистых течений с одинаковым направлением вращения. Аналогичные результаты были получены ранее [28] с помощью метода конечных разностей они хорошо согласуются с экспериментом [23, 25]. Пример фотографии слоистой структуры приведен на рис. 85. [c.136]

Неустойчивость по отношению к возмущениям с малыми К, аналогичная рассмотренной в предьщущем пункте неустойчивости Экхауза, проявляется как автомодуляция пространственно-периодической волны она носит название модуляционной. Критерий (34,24) представляет собой обобщение аналогичного критерия, известного для недиссипативных волновых систем [14]. Для пространственно-периодических волн, развивающихся в результате неустойчивости пространственноюднородного движения, этот критерий был впервые получен в рамках модельной системы уравнений Ю.Б. По- [c.246]

Следовательно, можно ожидать, что при одном и том же N с помощью модельных уравнений можно получить лучшее качественное описание явления для широкого диапазона волновых чисел (чисел Кнудсена), чем с помо1г(ью соответствующих моментных уравнений. Это подтверждается исследованием звуковых волн (см. 4.5). [c.218]

Прежде чем вывести модельные уравнения из (5.115), проанализируем дисперсионные соотнощения, чтобы понять вклад поправок второго порядка и увидеть влияние аксиальной скорости в ядре вихря. Рассматривая изгибную моду т = в длинноволновом приближении, т. е. при k 1, где k - азимутальное волновое число, можно получить аналитическое выражение для частоты со (см. Fukumoto, Miyazaki [1991]) [c.307]

Более универсальным представляется иной способ решения проблемы онределения масштаба Он связан с введение в модель дополнительного уравнения для некоторого характерного масштаба турбулентности Ь. Вне вязкого пограничного слоя онределение Ь совпадает с обычным онределением интегрального масштаба турбулентности. Внутри вязкого пограничного слоя онределение Ь иное. Здесь Ь определяется только той частью спектра турбулентных пульсаций, где волновые числа меньше, чем 2тг/(5. Это означает, что вблизи новерхности Ь нри Ье 6 сравнительно слабо отличается от вне иристеночных пограничных слоев. Однако даже такой своеобразный масштаб турбулентности должен изменяться нод действием вязкости и эффектов сжимаемости, а наличие градиентов скорости в потоке должно приводить к некоторому его уменьшению. Исходя из этих требований, для Ь было предложено следуюш,ее модельное уравнение [c.462]

Причина непригодности приближения слабой связи Крейчнана для описания мелкомасштабных компонент развитой турбулентности разъяснена также в упоминавшейся работе Кадомцева (1964). Она заключается в том. что в схеме Крейчнана преувеличивается влияние крупномасштабных пульсаций (волн с малыми к, / <в ) на эволюцию мелкомасштабных неоднородностей (волн с большими к, о ). Фактически это влияние сводится к простому переносу мелкомасштабных неоднородностей с малой их деформацией. Такое взаимодействие волнового пакета, имеющего среднее волновое число к и среднюю частоту <о, с крупномасштабной волной (Л, ш ) Кадомцев называет адиабатическим . Его нельзя рассматривать как резонансную раскачку волны (, и) близкой к ней волной ( — к, оз — ш ), гак как эти волны фактически относятся к одному и тому же волновому пакету и, следовательно, их амплитуды (в терминах модельного уравнения (19.127) С р) и С(р—Р )) нельзя считать некоррелированными, как это делалось в п(ж-ближении слабой связи . [c.285]

Возможно, вп ючем, что и при отсутствии этого ограничения на функции г (А) уравнение (29.27) сохраняет некоторый смысл как модельное уравнение, описывающее определенные особенности турбулентных движений из инерционного интервала спектра. Действительно, нижняя граница инерционного интервала волновых чисел определяется геометрическими размерами течения и масштабами неоднородностей поля внешних сил, действующих на жидкость. В неограниченном пространстве и при отсутствии внешних сил в принципе можно представить себе стационарную турбулентность в вязкой жидкости (с бесконечной средней плотностью кинетической энергии), в которой инерционный интервал простирается до сколь угодно малых волновых чисел к. Такая турбулентность будет описываться уравнением Хопфа (28.38) [c.648]

Прежде всего псевдопотенциалы, не определены однозначно. Так, в ситуации, показанной на рис. 10.2, мы могли бы имитировать заданное распределение потенциальной энергии V (г) любым псевдопотенциалом и (г), лишь бы у отвечающей ему псевдоволно-вой функции ф (г) и у истинной волновой функции 1)) (г) совпадали логарифмические производные при г = Кажется естественным выбрать модельную потенциальную энергию простого вида, скажем, с постоянным значением при г так что уравнение [c.464]

НЫХ остовах. Вследствие этого псевдопотенциал обязан содержать оператор, вычитающий из функции яр ее проекции на волновые функции связанных состояний Хы так что остающуюся псевдо-волновую функцию ф уже можно разлагать в ряд по простым плоским волнам. Однако такой оператор нельзя, вообще говоря, представить в виде локальной функции и (г). Аналогично при подходе, использующем модельный потенциал, решение уравнения Шредингера для заданного значения знергии оказывается неоднозначным, а модельный потерщиал, для которого соответствующая псевдоволновая функция хорошо сшивается с волновой функцией -типа гро (г), отнюдь не обязан совпадать с модельным потенциалом, который мы выбрали бы, ориентируясь на состояние % (г) с большим моментом количества движения. Иными словами, псевдопотенциал должен содержать операторы, чувствительные к типу симметрии тех волновых функций, на которые он действует (имеется в виду по отношению к вращениям). [c.465]

Дисперсия скорости и закон зат)осания волн в линейных системах в силу принципа причинности, как известно (ЧАСТЬ 1), связаны дисперсионными соотношениями, поэтому, исходя из приведенных выше представлений, можно сконструировать модельные уравнения, эффективно описывающие кинематику волн, соответствующих процессам распространения возмущений в рассматриваемых системах, доопределив подходящим образом уравнения дисперсии для комплексного волнового числа к в области отрицательных частот, а затем перейдя к их про-странственно-временному представлению. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...