Волновое уравнение для атомных систем

При вычислениях мы будем использовать так называемый полуклассический подход, при котором атомная система предполагается квантованной (и поэтому описывается с помощью квантовой механики), а электромагнитное поле падающей волны описывается классически (т. е. с помощью уравнений Максвелла). Таким образом, мы считаем, что атомная система имеет два энергетических уровня i и 2 и что соответствующие волновые функции записываются в виде [c.34]

Уравнения (2.36-13) и (2.36-16) содержат полное описание поведения исследуемых атомных систем. Вместе с классическим волновым уравнением для макроскопического электрического поля в свободном пространстве или с уравнениями для напряженности поля в резонаторе и в соответствии с теми или иными экспериментальными условиями получается система уравнений, позволяющая охватить взаимное влияние атомных систем и электрического поля. При этом, конечно, следует [c.261]

Если бы равенства в (10.14) были строгими, мы вернулись бы к предельному случаю, в котором уровни в кристалле совпадают с атомными уровнями. Теперь, однако, мы можем более точно определить уровни в кристалле, вычислив с использованием (10.14) правую часть уравнений (10.12). В силу условий (10.14) можно ограничиться суммированием только по тем значениям п, для которых энергии совпадают с Ео или близки к ней. Если нулевой атомный уровень не вырожден ), т. е. является s-уровнем, то в рассматриваемом приближении система (10.12) сводится к одному уравнению, из которого можно найти явное выражение для энергии зоны, порождаемой этим уровнем (ее называют s-зоной ). Если нас интересуют зоны, порождаемые атомным р-уровнем, который трехкратно вырожден, то (10.12) дает систему из трех однородных уравнений ее собственные значения определяют энергии % (к) для трех зон, а решения Ь (к) дают коэффициенты разложения ф по волновым функциям атомных р-уровней для различных к в зоне Бриллюэна. Чтобы построить с -зону из атомных с -уровней, необходимо решить задачу на собственные значения с матрицей [c.185]

При всем его математическом изяществе в методе -матрицы, описанном в предыдущем параграфе, кроется внутреннее противоречие. Действительно, предположим, что потенциальная энергия системы имеет ячеечный характер ( 10.8) каждый атомный потенциал 17 (г) центрально-симметричен внутри своей сферы радиуса / яч1 не перекрывающейся с соседними. С помощью формул(10.34) и (10.35) мы могли бы найти -матрицу для такого объекта, решив радиальное уравнение Шредингера во внутренней области и выразив сдвиги фаз т]( Ш) при рассеянии через логарифмические производные функций(г Ш) при г = Лдч- Однако взглянем на любую формулу 10.6, в которой фигурирует символ . От нас требуется уметь вычислять выражения (в представлении волновых векторов) типа [c.485]

Для сферически симметричного потенциала и(г) уравнение (2.1) проще всего рещать в сферической системе координат. В этом случае уравнение Шредингера для атома водорода допускает разделение переменных. Собственные волновые функции уравнения (2.1) ищутся в виде ф = 7 (г)0( 9)Ф(( ), где г, , — сферические координаты. Рещение этих уравнений совместно с соответствующими граничными условиями приводит к появлению трех целочисленных квантовых чисел п, /, т/, которые служат параметрами для собственных волновых функций уравнения (2.1), описывающих состояния электрона в атоме. Учет спина электрона приводит к появлению четвертого квантового числа т . Полная волновая функция электрона равна произведению координатной и спиновой волновых функций. Пространственная (координатная) часть волновой функции электрона в атоме называется атомной орбиталью. [c.17]

Понятие орбиталь очень полезно как здесь, так и в атомной и молекулярной теориях. Оно означает состояние, описываемое решением уравнения Шредингера или волнового уравнения, для системы, состоящей только из одной частицы. Факгически в наших приложениях мы будем иметь дело с орбиталями свободных частиц, заключенных в некоторый объем, выбираемый обычно для простоты в виде куба. Как мы увидим в гл. 10, эти решения для куба имеют очень простой вид. Указанное понятие позволит нам различать точные квантовые состояния, описываемые решением уравнения Шредингера для системы М электронов, и приближенные квантовые состояния, которые мы сконструируем, распределяя N электронов по различным орбиталям, каждая из которых соответствует решению одночастичного уравнения Шредингера. Обычно имеется бесконечное число орбита-лей, доступных для заселения, и N электронов заселяют N нз них. [c.117]

Данная книга содержит описание как волновых, так и корпускулярных свойств света. Однако большее внимание уделено волновым свойствам. Обусловлено это тем, что большинство физических явлений, связанных с взаимодействием излучения и вещества, адекватно описывается так называемой полуклассической теорией. В этой теории поле оптического излучения рассматривается как классическое электромагнитное поле, подчиняющееся уравнениями Максвелла, тогда как поведение атомов вещества описывается квантовой механикой. Полуклассическая теория приводит к успеху при решении большинства задач оптики. Лишь в некоторых задачах, где необходим учет шумов (например, флуктуации лазерного излучения), нужно принимать во внимание не только дискретность процессов поглощения и испускания света атомными системами, но и сам факт квантования поля излучения (т. е. нужно использовать квантовую электродинамику). Интересно отметить, что даже фотоэффект, при объяснении которого в физику впервые было введено понятие фотона, может быть полностью описаи в рамках полуклассической теории. [c.10]

Заметим, что при переходе к точечным группам все более и более низкой симметрии спиновые функции в случае целочисленного спина в конце концов превращаются в 26 Н- 1 невырожденных функций, соответствующих 25+1 состояниям со (слегка) различными энергиями. В случае нолуцелого спина спиновые функции, наоборот, в пределе превращаются в функции, которые все еще дважды вырождены (учитывая упомянутое выше вырождение типов 1/21 впервые указано Крамер-сом, это остаточное вырождение существует потому, что, пока отсутствует магнитное поле, в любой атомной системе имеется дополнительный элемент симметрии — обращение времени. Иными словами, волновое уравнение инвариантно относительно замены t на —t (см. Вигнер [44] или Ландау и Лифшиц [26]). Такое вырождение, обусловленное обращепием времени, сейчас обычно называют вырождением по Крамерсу, а пары состояиий, подобные двум совпадающим состояниям (или пли двум компонентам состояния Ец (или E j , n/j), называют дублетами Кра.черса. [c.24]

Однако когда мы переходим к изучению взаимодействия большого числа атомов с полем излучения, связать волновую функцию с системой как целым (т. е. с активной средой) оказывается уже невозможно. Атомные системы попадают на один или на другой энергетический уровень в разные моменты времени посредством механизмов возбуждения, которые в общем случае различаются при переходе от одной точки к другой в пределах активного вещества. Если мы не располагаем полным набором уравнений, описывающих движение активной среды (а это потребовало бы подробной информации о граничных условиях в ней), то невозможно поставить правильные граничные условия для каждой конкретной атомной системы. В лучшем случае мы можем говорить только о вероятности для атомной системы в данный промежуток времени в данном объеме пространства попасть на один из своих двух энергетических уровней и обладать при этом составляющей скорости в определенном интервале. Обычно полная информация о поведении среды как целого фактически не является необходимой, поскольку ее влияние на поле излучения получается в результате усреднения по всем атомным системам, из которых она состоит. Использование матрицы плогностп представляет собой удобный метод для проие-дения процедуры такого усреднения. [c.94]

Поскольку все же известное истолкование этой микроструктуры, конечно, при дополнительных весьма искусственных предположениях, может быть получено с помощью классической механики (причем имеются значительные практические достижения), то мне кажется особенно знаменательным, что подобное истолкование (я имею в виду квантовую теорию в форме, предложенной Зоммерфельдом, Шварцшильдом, Эпштейном и некоторыми другими) находится в теснейшей связи с уравнением Гамильтона и теорией Гамильтона—Якоби, т. е. с той формой классической механики, которая уже содержит отчетливое указание на истинный волновой характер движения. Уравнение Гамильтона соответствует как раз принципу Гюйгенса (в его старой наивной, а не в строгой, приданной ему 1 рхгофом форме). И подобно тому, как последний принцип, дополненный совершенно непонятными с точки зрения геометрической оптики правилами (правило зон Френеля) уже в значительной мере разъясняет явления дифракции, можно в некоторой мере уяснить, исходя из теории функции действия, происходящие в атоме процессы. Напротив, можно запутаться в неразрешимых противоречиях, если пытаться, как это кажется естественным, полностью удержать и для атомных процессов понятие траектории системы подобно этому бессмысленно, как известно, подробно изучать в области дифракционных явлений движение светового луча. [c.690]

Рассматривая простые металлы, мы требовали, чтобы состояния сердцевины были собственными состояниями гамильтониана в металле. Для металлов, подобных меди, мы не можем включить атомные d-состояния в число состояний сердцевины , так как они не являются решениями уравнения Шредингера в металле, и в то же время состояния d-типа достаточно сильно локализованы, так что их разложения по плоским волнам сходятся довольно медленно. Таким образом существенное преимущество метода псевдопотенциалов при конструировании состояний d-типа теряется. С точки зрения разложения по переполненной системе функций кажется естественным попытаться описать переходные металлы, используя переполненную систему, включающую не только плоские волны и волновые функции сердцевины , но также и атомные d-функции. Хотя атомные d-состояния и не являются собственными состояниями гамильтониана в металле, но вполне возможно, что они как раз дадут дополнительные члены, которые необходимы для получения быстро-сходящихся разложений волновых функций d-типа. Действительно такой метод был с успехом использован Диганом и Твоузом 1501, которые обобщили метод OPW применительно к расчету зонных структур переходных металлов. [c.226]

Оказывается, что для двухэлектронных систем справедлива элементарная теорема, согласно которой волновая функция основного состояния для уравнения (32.3) должна быть симметричной ). Следовательно, Е должно быть меньше и основному состоянию должен отвечать полный спин, равный нулю. Однако эта теорема выполняется только для двухэлектронных систем "), и поэтому важно найти лгетод оценки величины Е — который можно обобщить на аналогичную задачу в случае Л"-атомного твердого тела. Мы по-прежнему будем использовать двухэлектронную систему для иллюстрации этого метода (несмотря на теорему, согласно которой синглетное состояние обладает наименьшей энергией), потому что именно в такой системе особенно просто выявляется неадекватность приближения независимых электронов для решения Л1агнитных задач. [c.290]

Во многих случаях удобно считать, что система (9.1) описывает электронные свойства сплава в рамках метода сильной связи. В таком сплаве энергия связи %1, отвечающая атомным орбиталям на различных узлах сплава, и интегралы перекрытия Уц-между различными ячейками различны. Однако с математической точки зрения нет необходимости связывать себя с определенной физической интерпретацией обозначений, фигурирующих в системе уравнений (9.1). Так, амплитудная переменная и , обозначенная как скаляр, может на самом деле иметь много компонент. В качестве последних могут выступать, например, декартовы компоненты вектора смещения атома в 1-ж узле [как в формуле (8.3)] или относительные вклады атомных орбиталей в волновую функцию в модели ЛКАО [как в выражении (8.11)]. Кроме того, спектральная переменная А, не обязательно обозначает энергию это может быть и квадрат частоты колебаний атомной матрицы со . Для описания случайных величин, содержащихся в диагональных элементах %1 и/или недиагональных элементах Уц, надо задать лишь статистические свойства указанных величин в рамках той или иной модели при этом конкретная природа нарушений поряд- [c.376]

В главе V было показано, что задача диагонализации матрицы гамильтониана значительно упрощается, если предварительно выбрать функции так, чтобы они образовывали базисы неприводимых представлений. Построение таких базисов аналогично выполненному в предыдущем пункте. Рассматриваемая полная система функций разбивается на цепочки функций, и в каждой цепочке с помощью операторов строятся базисы неприводимых представлений. Если какое-нибудь неприводимое представление встречается в разложении только один раз, то построенные волновые функции будут собственными функциями нашей задачи. Если неприводимое представление встречается rj раз, то после построения базисов этого неприводимого представления для нахождения собственных функций приходится решать вековое уравнение порядка. Этот метод нахождения одноэлекгронных приближенных решений для молекулярной задачи носит название метода линейной комбинации атомных о ит. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...