Уравнение волновое двумерное

Выведите волновое уравнение для двумерного линеаризованного неуста-новившегося движения сжимаемого газа. [c.247]

Для плоских двумерных волновых движений решения уравнения Лапласа для потенциала скорости получаются в виде произведений гиперболических и тригонометрических функций, а соответствующая этим решениям форма границы раздела — в общем случае произведением синусоиды и косинусоиды [36]. Основные особенности волнового движения границы раздела фаз можно исследовать, рассматривая более простой случай, когда начальное возмущающее воздействие вызывает колебательное движение, описываемое одной [c.126]

Для решения двумерных и трехмерных стохастических задач параметрического типа наиболее подходящим является метод интегральных спектральных представлений. Применим этот метод к одномерному волновому уравнению и сопоставим с решениями [c.234]

Переходя к выяснению структуры электромагнитного поля вблизи поверхности вогнутого зеркала, рассмотрим сразу два возможных варианта поляризации излучения, характеризующихся наличием продольной (вдоль оси цилиндра г) компоненты электрического или магнитного поля. Если волна распространяется в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра г, то компоненты поля и Я не зависят от г и удовлетворяют двумерному волновому уравнению [c.133]

Выражения (5.32) являются двумерными волновыми уравнениями, а (5.33) представляют собой уравнения Гамильтона- Якоби. [c.195]

Во МНОГИХ случаях скорость движения границ системы существенно меньше скорости распространяющихся в ней волн. Это позволяет развить достаточно эффективные методы приближенного анализа волновых процессов в двумерных системах с медленно движущимися границами [5.4, 5.11]. В данном параграфе на примере колебаний прямоугольной мембраны излагается один из приближенных методов исследования, основанный на инвариантном преобразовании волнового уравнения. [c.222]

Здесь D — двумерная область (свободной) поверхности и В — контур границы. Эквивалентными уравнениями определяются высота свободной поверхности % x,y,t), хотя линеаризация предполагает, что граничные условия записываются при 2 = 0, а не при г = . При постоянной глубине воды ho получается простое двумерное волновое уравнение, где скорость волны [c.21]

Заметим, что уравнение (1) характеризует двумерное движение. В этой главе мы будем рассматривать только двумерные (плоские) волновые движения, которые можно представить как движения жидкости между двумя вертикальными плоскостями, расположенными на единичном расстоянии друг от друга (см. рис. 261 (///)). В дальнейшем движение всегда будет считаться двумерным, если нет других указаний. [c.369]

В отличие от (8.9) и (9.4), где суммирование в трехмерной задаче производится по трем индексам, индекс п в (10.3) — двойной, а в двумерных задачах сумма в (10.3)—однократная. Это получается, по существу, потому, что функции определяются своими значениями на поверхности, а решения волнового уравнения определяются граничными значениями однозначно (4ЛЗ). [c.100]

Регулярный способ, позволяющий использовать решение статических задач для решения электродинамической задачи дифракции, состоит в том, чтобы вычислить из статики индуцированный ток, или — для диэлектрических тел — индуцированную поляризацию (1.11), а по нему дифрагированное поле во всем пространстве. Однако за исключением некоторых двумерных задач (см. п. 19.6), всегда можно применить какой-либо более простой прием. Для трехмерных задач таким приемом является сшивание полей на поверхности, лежащей в области (19.2). Для этого надо, вообще говоря, по (19.21), (19.10) найти тангенциальные компоненты Е и Я на сфере большого (р а) радиуса, а затем по ним вычислить вне этой сферы поле, удовлетворяющее волновым уравнениям и условиям излучения. Однако фактически и 5ту краевую задачу можно решить, не производя никаких вычислений, а просто сшивая на какой-либо сфере радиуса, лежащего в промежуточной области (19.2), поле статического диполя и поле элементарного диполя (3.2). [c.192]

Проиллюстрируем некоторые черты обобщенного метода на примере упоминавшегося варианта, в котором собственны . значением является импеданс поверхности подробно этот аппарат изложен в 9. Пусть решается простейшая двумерная скалярная задача дифракции (внутренняя или внешняя) на круговом цилиндре радиуса а. Искомое поле t/(r, ф) должно удовлетворять граничному условию [/(а,ф) = 0, волновому уравнению с правой частью (возбуждающие токи), а если решается внешняя задача — то еще и условию излучения. Собственные функции и собственные значения упомянутого варианта обобщенного метода для этой задачи можно выписать в явном виде. [c.9]

Комплексные волновые числа кт являются собственными значениями двумерного уравнения [c.246]

Рассмотрим сначала вопрос об устойчивости стационарных плоскопараллельных течений несжимаемой вязкой жидкости, имеющих скорость ио== /(г). О, 0 , так что возмущения поля скорости и(х, t) будут удовлетворять уравнениям (2.12) с добавлением в правую часть уравнений движения слагаемого vДu, описывающего ускорение сил вязкости. Назовем такие уравнения (2.12 ). Тогда для двумерных элементарных волновых решений этих уравнений вместо уравнения Рэлея (2.16) получится следующее так называемое уравнение Орра—Зоммерфельда [c.100]

Рассмотрим далее двумерную волновую задачу, описываемую уравнением [c.622]

Перейдем к двумерной задаче. Выделим в плоскости 1X2 область 0 , ограниченную контуром /, и предположим, что возмущения, вызывающие волновое движение, находятся во внешней области Оа. Тогда уравнение [c.640]

В двумерной задаче, в которой волновое движение не зависит от переменной мы имеем дело с цилиндрическими волнами. Решение уравнений (1), зависящее от радиуса — lг) - - [c.740]

Колебания оболочек, заполненных жидкостью. Свободные колебания заполненных частично или целиком сосудов имеют, естественно, два качественно различных участка спектра. При низких частотах колеблется жидкость, оболочка же является практически безынерционной (квазистатической). При высоких частотах, наоборот, колеблется оболочка, увлекая при этом в движение вместе с сосудом некоторый объем жидкости. Несмотря на возможные упрощения (идеальная жидкость, малые колебания), задачи гидроупругости являются далеко не простыми даже в случае осесимметричных колебаний оболочек вращения — ведь движение жидкости и тогда определяется двумерным волновым уравнением. [c.256]

Все методы, рассмотренные в этом пункте, применимы к двумерным модам. Однако, необходимо отметить, что эти моды должны иметь более сложный волновой фронт, определяемый из уравнения [c.408]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Функция Вигнера как волновая функция. Чтобы проиллюстрировать это, решим два связанных уравнения для случая собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. На этом примере мы покажем, что уравнение на собственные значения энергии в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора сводится к уравнению Шрёдингера двумерного гармонического осциллятора. [c.109]

Ниже проводится такое выделение наиболее существенных взаимодействий на основе фурье-представления уравнений Навье—Стокса [64]. Отметим предварительно, что такой подход к построению упрощенных уравнений турбулентности уже рассматривался рядом авторов. Сюда относятся работы, в которых уравнения Эйлера (в фурье-представлении) обрывались на некотором конечном числе мод. Так, для двумерных течений выписывались малопараметрические уравнения, сохраняющие интегралы энергии и квадрата вихря, причем количество динамических переменных определялось небольшим числом сохраняемых в модели волновых чисел [148, 149, 120, 242]. Отметим, что в последних грех работах обсуждается вопрос, связанный с появлением при обрывании спектральных уравнений для двумерных потоков ряда других интегралов движения, в том числе и квадратичных, отличных от энергии и квадрата вихря. Показано, что, кроме двух последних интегралов, все остальные (квадратичные) зависят от способа обрывания уравнений. [c.194]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ — один из возможных видов асимптотип. условп11 (граничных условий па бесконечности), к-рые выделяют единств, решения краевых задач для ур-ний, описывающих установившиеся колебания. 3. у. и. выделяют расходящиеся волны, источники к-рых находятся в огранич. области иространства. Впервые введены в 1912 А. Зоммерфельдом для Гельмгольца уравнения Au-f-f ti=/(r). В пространстве трёх измерений 3. у. и. для волнового поля и таковы при г—>-оо lim r du/dr—iku)=0. В двумерном пространстве при г- -йо Urn / dujdr—iku)=0. Всякое решение [c.87]

Рассмотрим наиболее простой случай возбуждения волн в полупространстве при действии поверхностных нагрузок. Он характерен тем, что происходит генерация только сдвиговых горизонтально поляризованных SH-волн. При их распространении смещения частиц среды параллельны граничной поверхности. Такая задача описывается одним скалярным уравнением Гельмгольца и во многих аспектах подобна задаче для акустической среды. Относительная простота характера движения здесь обусловлена специальным выбором типа внешнего нагружения. Нагрузка схематически изображена на рис. 29 и состоит из единственного компонента вектора усилий qg= Gf (х) exp (—i at). Иные типы нагрузки q x) ядх (х), которые также приводят к двумерным задачам, возбуждают значительно более сложные волновые поля. [c.81]

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это принцип излучения на бесконечности Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е, затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В рптцке чаще всего встрв чаются именно неоднородные во.дны. [c.37]

Анализ самовоздействия частично когерентного пучка с установлением границ применимости различных физических приближений становится возможным при решении параболического уравнения для начальных случайных реализаций волнового поля с заданными статистическими свойствами и последующем усреднении решений по ансамблю их реализаций, т. е. методом статистических испытаний. Такие исследования осуществлены в ряде работ [2, 3, 9]. В [3] проведено решение задачи самовоздействия пространственно-некогерентных двумерных световых пучков с произвольной шириной частотного спектра на примере среды с локальной кубичной флуктуирующей нелинейностью Керровского типа с учетом инерционности последней. [c.56]

Строго говоря, в электродинамике уравнение (5.1) имгет место только для двумерных задач. Если е не зависит от 2 (и, в частности, если границы раздела, т. е. разрыва Е, являются цилиндрическими поверхностями, параллельными оси z) и от г не зависят также источники f, то, как известно, существуют два класса решений залач дифракции с djdz sbO. В первом классе ( -поля-ризация) отличны от нуля компоненты Е,, Ну, во втором (//-поляризация)—компоненты Ех, Еу. Для и — Е в задачах первого класса выполняется двумерный вариант уравнения (5.1). Уравнения и условия на границе раздела диэлектрика, рассмотренные в 3, 4, также справедливы для U — Е, в двумерном случае для /Г-поляриэагии . Волновое уравнение (6.1), которое мы рассмотрим в следующем параграфе, описывает тоже двумерную задачу для //-поляризации (U=H ). Трехмерные электродинамические задачи приводят к уравнениям для полей, более сложным, чем (5.1) или приведенные в следующем параграфе (6.1), и к граничным условиям, более сложным, чем (4.11). При этом удобнее оперировать с уравнениями первого порядка, т. е. непосредственно урявие11ичми Максвелла соответствующий аппарат будет развит в 8. [c.43]

Остановимся теперь на некоторых результатах нелинейного расчета конечно-амплитудных режимов. Как уже указывалось, в области F > F стационарный плоскопараллельный режим течения невозможен. Однако в этой области могут в принципе существовать другие режимы, приводящие к увеличению теплоотвода. Вопрос этот может быть решен лишь на основе полных нелинейных уравнений (28.2). Двумерное периодическое по z решение этих уравнений находилось численно методом конечных разностей в работе [24]. Расчеты проделаны для Рг = 1 (реагирующий газ). Фиксировались параметр Z = О и волновое число периодасческой структуры = 1,4 в районе минимума нейтральной кривой (критическое значение слабо зависит от параметров задачи). В численных экспериментах При некоторых значениях Gr и F задавалось малое начальное возмущение и наблюдалась его эволюция со временем. Таким путем удается получить предельные установившиеся режимы, разумеется, в тех случаях, когда они существуют. [c.191]

В заключение данного пункта остановимся на некоторых результатах, относящихся к модификациям рассматриваемой задачи. Слабые эффекты типа зависимости параметров жидкости от температуры, порождающие квадратичные члены в амплитудных уравнениях, приводят к конкуренции двух форм конвективных движений - валов и гексагональных ячеек. Для валов, помимо перечисленных ранее типов возмущений, становятся существенными резонансно взаимодействующие возмущения с волновыми векторами, составляющими углы 60° и 120° по отношению к волновому вектору основного течения ( гексагональная неустойчивость). С этими возмущениями связано появление новой границы неустойчивости, что приводит к сокращению области Буссе для двумерных валов (рис. 162). Область устойчивости правильных гексагональных ячеек ( / il = к - 1А з1 = к) лежит внутри замкнутой кривой максимальное и минимальное значения числа Рэлея соответствуют к = к - Упомянем здесь также работы, посвященные исследованию устойчивости конвективных движений в горизонтальном слое с внутренними источниками тепла [67] и при наличии термокапиллярного эффекта [68]. [c.268]

Курс содержит четыре части, В первой из них, общей для всех частей, излагаются основные понятия кинематики и основные уравнения движения произвольной сплошной среды. Вторая часть посвящена из-ложению элементов некоторых разделов гидродинамики, уравнения движения идеальной и вязкой жидкости, аэродинамика, волновые движения у пограничный слой. Особое внимание в этом разделе уделено плоскопараллельным движениям и двумерным движениям вдоль криволинейных поверхностей. Теория фильтрации, которой посвящена третья часть у рассматривается с точки зрения применения методов гидродинамики к решению технических краевых задач. Последняя, четвертая, часть посвящена уравнениям теории упругости и применению их к некотх)рым конкретным задачам. Втюрая и третья части а также частично третья часть, независимы друг от друга и могут изучаться отдельно. [c.2]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Для решения двумерных задач довольно удобным в применениях оказывается некоторый вариант уравнений в напряжениях, предложенный Снеддоном ) и Радоком ). Он основан на таком использовании уравнений движения и условий совместности, что получаются волновые уравнения для трех неизвестных функций aib 022, 0]2. Часть этих уравнений удовлетворяется одной функцией напряжения, являющейся в некотором смысле обобщением функции Эри на динамические задачи. Ход рассуждений в этом варианте следующий. [c.578]

Задача о распространении периодических волн в упругом слое была решена Рэлеем ) и Лэмбом ). Математически эта задача формулируется следующим образом. Ищем решение двумерных волновых уравнений [c.690]

Важный класс частных решений представляют функционально-инвариантные решения, т.е. такие решения / (х, у, ) волнового уравнения, которые порождают решения Р (/ х, у, г, t)) для любой (дважды дифференцируемой) функции Р. Эти решения были найдены и изучены первоначально для двумерной задачи (С. Л. Соболев, 1934), а затем обобш ены на пространственный случай (Н. П. Еругин, 1944). Приложения к конкретным задачам получены для двумерных задач. При этом существенно то, что важные сингулярные решения типа сосредоточенных воздействий описываются функционально-инвариантными решениями. Особенно удобны функционально-инвариантные решения для описания автомодельных двумерных задач. [c.294]

В первое уравнение входит лапласиан по двум переменным и ( в фазовом пространстве. Кроме того, сами эти переменные входят в уравнение квадратично. Следовательно, это уравнение на собственные энергетические состояния одномерного гармонического осциллятора полностью аналогично уравнению Шрёдингера для собственных энергетических состояний двумерного гармонического осциллятора. Отсюда вытекает, что можно найти функцию Вигнера с помош,ью разложения по произведениям волновых функций гармонического осциллятора, содержаш,их полиномы Эрмита. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...