Волновое уравнение для неоднородной среды

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ [c.69]

Первые два уравнения характеризуют соответственно замороженную завихренность ( замороженную турбулентность — гипотеза, впервые введенная Тэйлором) и замороженное поле температурных неоднородностей. Третье уравнение представляет собой обычное волновое уравнение для звукового давления для среды без потерь. [c.43]

Кроме того, эти уравнения описывают также трехмерную акустическую задачу распространения звуковых волн в неоднородной среде. Если скорость звука с есть функция точки, а плотность среды р постоянна, то волновое уравнение для давления U имеет вид (5.1), где [c.44]

Там, где условия применимости приближения геометрической оптики нарушаются, нужно найти либо способы выхода за границы приближения, либо точное решение уравнения, описывающего волновое распространение в неоднородной среде. Для уравнения такого типа, как, например, [c.258]

Для неоднородных сред уравнение (6.3) усложняется. Однако, если интересоваться только интенсивностью волн, отвлекаясь от их поляризации, то оказывается, что в предельном случае геометрической оптики уравнение (6.3) приводит к правильным результатам ). Поэтому даже в случае неоднородных сред предельный переход к геометрической оптике можно выполнить на основе волнового уравнения [c.43]

А. С.Мониным [101 получено уточненное волновое уравнение для случайно-неоднородной среды с учетом одновременного влияния полей пульсаций й и при тех же предположениях, о которых шла речь выше. [c.183]

Будем считать, что все акустические величины, в том числе акустическая скорость у зависят от времени посредством множителя ехр (—10)/). Турбулентность предполагаем замороженной , хотя пульсации скорости ветра и и температуры зависят от времени, однако их частоты малы по сравнению с частотой звука со. Кроме того, как и в 3, считаем, что справедлива линейная акустика. При этих предположениях волновое уравнение для распространения звука в среде со случайными неоднородностями показателя преломления с точностью до членов первого порядка и, Т имеет вид (вывод этого уравнения можно найти в [10, 14, 151) [c.183]

Волновое уравнение для звукового ноля в неоднородной движущейся среде возьмем в виде (8.1)-(8.3). Вертикальные зависимости акустического давления Фи г-компоненты смещения частиц в волне / связаны равенствами (8.35). Для удовлетворения (8.35) введем формально понятие [c.199]

Первые индексы у /г и соответствуют среде / или 2, вторые — кратности частоты (например, 12 = 1 (2со), Й21 — волновой вектор преломленной в среде 2 волны с частотой со). Основание к такому выбору вида поля состоит в следующем. Уравнения Максвелла для поля с частотой 2со представляют собой неоднородную систему уравнений, причем источником поля служит нелинейная часть поляризации среды, изменяющаяся по закону [c.847]

Основные закономерности, определяющие связь интенсивности акустического излучения струи с газодинамическими и геометрическими параметрами потока, были установлены М.Дж. Лайтхиллом, который преобразовал уравнение Навье-Стокса к неоднородному волновому уравнению, связывающему изменение плотности в окружающей неподвижной среде с характеристиками турбулентности с струе [1.42]. Анализ этого уравнения на основании теории размерностей позволил получить следующее выражение для звуковой мощности струи [c.27]

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

Рассмотрим в качестве примера задачу об определении среднего волнового поля точечного источника в случайно-неоднородной среде. Для анализа уравнений (8,80) перепишем их в сферической системе координат [c.242]

В качестве другого примера рассмотрим задачу о распространении плоской волны в неодномерной случайно-неоднородной среде. В отличие от аналогичной задачи для одномерной среды в рассматриваемом случае фазовый фронт волны нельзя считать плоским, поскольку он будет претерпевать искажения, обусловленные наличием пространственных неоднородностей. Поэтому и здесь при определении среднего волнового поля следует исходить из уравнения Гельмгольца, записанною в общем виде. [c.243]

Для того чтобы было выполнено условие 1г > 1х,у направление оси 2, а в неоднородных средах направление а, лучше всего выбирать вдоль лучей. Две другие координаты лежат на поверхности волновых фронтов. Решение параболического уравнения в лучевых координатах значительно проще, чем исходного волнового. [c.243]

Существенным также является вопрос о применимости метода для расчета преобразования гауссовых волн в неоднородной среде. Корректность матричного метода обычно проверяется сравнением с результатами решения соответствующего волнового уравнения. Как известно [6], решение приближенного волнового уравнения вида [c.111]

До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.2.12), полученного как частный случай уравнения (1.2.9). Поскольку первое из них является существенно более простым и удобным, возникает вопрос о возможности его применения также для случая неоднородных сред. Для ответа на этот вопрос следует определить, в каких случаях можно пренебречь вторым членом в уравнении (1.2.9). Доминирующими членами в уравнении (1.2.9) являются первый член в левой части и член в правой части, порядок величин которых одинаковый. Возьмем отношение второго члена левой части уравнения (1.2.9) к члену, стоящему в правой части [c.19]

В задачах распространения волн в случайно-неоднородных средах широко применяется также метод Гюйгенса—Кирхгофа. Суть метода состоит в обобщении [40, 64] интегрального представления решения волнового уравнения (2.4) для однородной среды (81 0) на плавно-неоднородные среды путем добавления [c.29]

В неоднородной среде, когда ф О, решения уравнений (12.107) отличаются от ВКБ-решения (12.109). В этом отличии, как уже упоминалось, и проявляется линейное взаимодействие волн, которое состоит в том, что поляризация волны в приближении геометрической оптики (она задается компонентами волнового поля Х /Х/з) не сохраняется адиабатически такой, какой она локально должна быть для данной геометрооптической волны. Таким образом, с точки зрения геометрической оптики при взаимодействии волн различные компоненты поля меняются несогласованно и тем самым нарушают локальную структуру данной нормальной волны е , что приводит к появлению других волн. [c.268]

Вопросы геометрической оптики собраны в первых двух главах курса, чтобы в дальнейшем можно было ссылаться на них при изложении интерференции, дифракции и других разделов физической оптики. Геометрическая оптика излагается не как математическая, а как физическая дисциплина — как приближенный предельный случай волновой оптики. Тем самым четко определяются границы ее применимости. С целью простоты в основу обоснования геометрической оптики положено скалярное волновое уравнение. Хотя в общем случае неоднородной среды оно и неверно, но даже в этом случае при рассмотрении предельного перехода к геометрической оптике оно приводит к правильным результатам. Конечно, на основе скалярного уравнения ничего нельзя сказать относительно вращения плоскости поляризации луча в неоднородной среде. Для этого надо было бы положить в основу векторные уравнения Максвелла. Но это, ничего не меняя в идейном отношении, потребовало бы довольно громоздких вычислений. Существенно, что скалярное волновое уравнение правильно передает основные закономерности распространения волн не только в однородных, но и в неоднородных средах. Геометрическая же оптика получается из него в предельном случае коротких волн, длины которых пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами, определяющими распространение света в среде. [c.7]

Выше мы подробно рассмотрели задачу о распространении волн в среде со случайными неоднородностями в предположении, что отсутствует регулярная составляющая поля г (ж, р), т. е. при условии, что <8 (ж, р))> = 0. При наличии же регулярной составляющей 8 также легко написать соответствующие уравнения для моментных функций волнового поля в диффузионном приближении. Однако нахождение решения их и анализ, естественно, усложняются. Пусть, например, <8 (х, р)> = (р)- Тогда волновое уравнение (1.2) примет вид [c.270]

Выше мы рассматривали волны в однородном безграничном пространстве. Наличие неоднородностей значительно усложняет анализ. Однако именно с неоднородными средами чаще всего приходится иметь дело. Простейшими и в то же время важными моделями неоднородностей являются границы раздела, описывающие резкое изменение параметров среды на малом участке пространства. В этом случае расчет значительно упрощается, так как в каждой из однородных областей можно пользоваться соответствующими волновыми уравнениями. Полученные решения сшиваются с помощью граничных условий, выражающих собой непрерывность напряжений и смещений на границах раздела. Для свободной поверхности граничное условие следует из условия механического равновесия, заключающегося в равенстве нулю суммы сил, действующих на поверхность. Отсюда 0 йЛ =О, где — вектор единичной нормали к поверхности. В случае абсолютно жесткой границы граничное условие имеет вид Ui=0. Для границы, допускающей скольжение, должно быть ип = 0 и sxn = 0, где = [c.196]

С помощью (2.57) волновое уравнение можно записать только для двух поперечных компонент поля В, и это удобно, например, когда речь идет об исследовании распространения волн в неоднородной среде с известным тензором e y, скажем, в магнитоактивной плазме (см. [6]). [c.79]

В слоистой среде без течения уравнение (1.15) переходит в (1.11). Для трехмерно-неоднородной среды с произвольным течением волновое уравнение не известно. Замкнутое уравнение для р удается, однако, получить в важном случае медленных течений ( I Vq < с) [95]. [c.11]

Возможности учета неоднородностей среды при миграции по Кирхгофу ограничиваются допущениями, лежащими в основе интеграла Рэлея-Зоммерфельда как рещения волнового уравнения. Во-первых, это - не интеграл Соболева (1930), дающий строгое решение акустического волнового уравнения для неоднородной среды, а интеграл, являющийся упрощенным решением волнового уравнения для однородной среды, причем для дальней зоны. Следовательно, миграция по Кирхгофу а) заведомо непригодна для малых расстояний источник - точка изображения и точка приема - точка изображения, (Ь) среда может быть лишь слабо неоднородной, и (с) шаг пространственной дискретности должен быть мал. Чтобы обеспечить выполнение этих ограничений, модель скоростного разреза, используемая для расчета функции ж, сглаживается растяжение сейсмического импульса, особенно сильное при малых временах и большом вертикальном градиенте скорости, подавляется либо автоматически, либо разумным выбором мьютин-га вводится регулируемое подавление эффектов зеркальных частот, возникающих при крутых углах наклона отражающих границ и особенно опасных для высокочастотной части спектра сейсмического поля. Одним из способов такого подавления является искусственное ослабление высокочастотной части спектра сейсмических волн, отраженных от крутопадающих границ - а это снижает разрешающую способность миграции. [c.50]

Гоголадзе В. Г., Волновое уравнение для неоднородных и анизотропных сред, Труды мат. ин-та. нм. Стеклова, IX (1935). [c.186]

Рассмотрим теперь область применимости лучевой акустики исходя из волновых соображений. Для ответа на этот вопрос запишем уравнения акустшш неоднородной среды, параметры которой являются заданными функциягли координат. Положим плотность и объемную упругость равными [c.122]

Среди неразрушаюш,их механизмов оптической генерации звука наиболее универсальным является термоупругий, связанный с деформацией кристалла при его оптическом нагреве. Поглощенная оптическая энергия в процессе термализации частично передается в акустическую подсистему твердого тела, распределяясь между когерентными и случайными волновыми движениями решетки. При термоупругой генерации звука источники акустических волн являются объемными — возбуждение акустических волн происходит во всей области нагрева. Поэтому термоупругая генерация акустооптических импульсов описывается неоднородным волновым уравнением. В простейшей ситуации, когда лазером облучается свободная поверхность полупространства 2 0 (рис. 3.34), в кристалле возбуждаются только плоские продольные волны для колебательной скорости имеем уравнение [c.161]

На практике исследователь всегда имеет дело с пучками, ограниченными в поперечном сечении, что, вообще говоря, требует решения уравнений в частных производных для описания распространения волновых пучков. Однако, если угловая селективность записываемых в среде решеток существенно меньше угловой расходимости взаимодействующих пучков, пучки в поперечном сечении могут быть разбиты на квазиплос-кие участки, распространение которых через среду описывается приближением плоских волн. В другом предельном случае, когда угловая селективность решеток существенно больше угловой расходимости пучков, может быть применена модовая теория голограмм [1], исходя из которой в случае спекл-неоднородных волн в работе [2] было показано, что для средней мощности таких волн в схеме четырехволнового смешения получаются уравнения, подобные уравнениям для плоских волн. В промежуточном случае получить аналитическое решение в общем виде не представляется возможным. Однако во всех случаях приближение взаимодействующих плоских волн позволяет достаточно правильно определить такие основные параметры генераторов на динамических решетках, как порог и достижимая мощность генерации, спектральный состав и тл. Поэтому в этой главе рассмотрим теорию четырехволнового смешения в приближении плоских волн с медленно меняющимися амплитудами. [c.63]

На о, новании результатов, полученных в предыдущих параграфах, мож р было бы представить себе, что коэффициент отражения от слоя с градиентом волнового сопротивления, которое монотонно изменяется по толщине, а на границах слоя совпадает с волновыми сопротивлениями прилегающих сред, должен равняться нулю. Однако эти результаты вытекают из волнового уравнения (HI.4), которое получено для сред с постоянными акустическими характе-рис гиками, а для неоднородного слоя прежняя схема уже не годится, В данном случае необходимо использовать уравнение для расл.ространения акустических волн в неоднородной среде и решить его при соответств]>ющих граничных условиях. Задача эта непростая, но она имеет важное практическое значение в современной ультраакустике, и ей поэтому стоит уделить некоторое внимание. [c.177]

Здесь введен единичный вектор s лучевой вектор), указывающий направление распространения плоской волны s=k/fe. Поэтому k = ks = kons, где ko = (o/ =2n/Ko — волновое число (для вакуума). В неоднородной среде показатель преломления зависит от координат п=п г) — и выражение (7.1) уже не будет решением уравнений Максвелла. Можно искать решение в виде монохроматической волны более общего типа [c.329]

В последних двух главах рассматривается концентрация поля в некоторых ограниченных областях пространства, в которых имеют место определенные комбинации длин волн и неоднородностей среды это приводит к эффекту, который можно назвать своего рода удержанием излучения. В частности, в гл. 7 мы рассмотрим пассивные и активные резонаторы, используемые в лазерных устройствах и предназначенные для удержания излучения вблизи оси оптических резонаторов и интерферометров Фабри — Перо. При этом мы будем проводить изучение главным образом на основе теории дифракции. В гл. 8 для исследования удержания излучения в поперечном направлении вблизи оси диэлектрического световода задача решается аналитически с использованием модовых решений волнового уравнения. Это позволяет рассмотреть единым образом самые современные вопросы, связанные с такими нелинейными оптическими явлениями, как фазовая самомодуляция и солитоны. [c.9]

Первый из способов определения поля, создаваемого точечным источником, т. е. функции 0(г, г ), основывается на методах геометрической оптики. Если источник расположен в точке г, то можно определить траектории лучей, выходящих из г, и соответствующие волновые фронты. В общем случае из-за неоднородности среды траектории лучей являются криволинейными. Если внутри объема можно выделить поверхность, на которой показатель преломления меняется скачком, то электромагнитная волна испытывает частичное отражение и преломление. В некоторых случаях конгруэнции отраженных и падающих лучей перекрываются, что приводит к сложной дифракционной картине (рис. 4.3). Кроме того, преломленные лучи могут покинуть диэлектрик лишь в том случае, когда они попадают на ограничивающую его поверхность под углом, который меньше критического. Чтобы учесть это, нужно использовать формулы Френеля (гл. 3) для коэффициентов пропускания и отражения волн, падающих на поверхности разрыва показателя преломления л(г). Как только определены траектории лучей, можно в принципе вычислить амплитуды поля Л (г), используя транспортные уравнения [см. (2.6.4)]. Структура этих уравнений такова, что пренебречь высшими членами разложения Л т > 1) в рядах Лунеберга — Клейна нельзя, если быстро изменяется в пространстве. Например, изображенные на рис. 4.3 лучи резко изменяют направление своего распространения, пересекая диэлект- [c.256]

Для тфеодоления описанных недостатков УВТ нужно осуществить переход от лу%вых методов к методам, основанным на решении волнового уравнения, учитывающим дифракционные эффекты при распространении ультразвука в неоднородной среде. [c.375]

Розенблютом [7] было показано, что раснадная неустойчивость в неоднородных средах, вообще говоря, носит сносовый характер. Экспоненциальное нарастание амплитуд возмущений со временем (абсолютная неустойчивость) возможно лишь для некоторых частных случаев неоднородностей и соотношения знаков групповых скоростей волн. В противном случае наблюдается лишь конечное усиление возмущений с последующим выносом их из области фазового синхронизма [7, 8]. Интересно отметить, что задача об абсолютной неустойчивости волны конечной амплитуды тесно связана с задачей о собственных значениях уравнения Шредингера с комплексным потенциалом. Конечное усиление волновых возмущений в отсутствие абсолютной неустойчивости при ViV2 > О соответствует нод-барьерному прохождению возмущений. [c.104]

Во-первых, изложенная теория может быть обобщена на систему уравнений Максвелла. Некоторые трудности при этом возникают в связи с тем, что в отличие от скалярного волнового уравнеиия функция Грина для системы уравнений Максвелла сингулярна [175]. Поэтому при обобщении изложенной теории на случай электромагнитного поля приходится пользоваться специальными приемами для исключения особенностей (см. [175, 176] . Развитые выше методы начинают находить применения при решении различных конкретных задач. Так в [176] рассчитана пространственная дисперсия неоднородной среды, в работе [177] вычислен тензор эффективной диэлектрической проницаемости сильнонеоднородной анизотропной среды. [c.497]

Предлагаемая внямаяию читателя книга посвящена систематическому изложению геометрической теории дифракции (ГТД) — новому эффективному методу анализа и расчета распространения, излучения и рассеяния волновых полей. Эта теория использовала и обобщила наглядную и привычную систему образов и понятий геометрической оптики. Ее область применения весьма ширО Ка техника антенн и трактов СВЧ, миллиметрового и ин-фракрасных диапазонов, лазерная техника, а также проблемы распространения и рассеяния воли в неоднородных средах и на телах сложной формы. Хотя ГТД строится как асимптотическая теория, применимая в тех случаях, когда характерный размер задачи а много больше длины волны К, опыт расчетов по ГТД показывает, что она дает надежные результаты вплоть до значений а порядка К. Таким образом, ее область применимости примыкает к области применимости другой предельной теории — длинноволнового приближения. Методы ГТД обобщают широко известные методы физической оптики (апертурный метод, приближение Кирхгофа) и естественно смыкаются с ними. Они обеспечивают точность, сравнимую и (для малых дли волн) превосходящую точность, достигаемую численными методами ( апример, методом интегральных уравнений). [c.3]

Уравнение упругих волн в неоднородной твердой среде значительно сложнее, чем, например, уравнение (1.11) для звука в жидкости. Фактически (1.51а) представляет собой систему трех связанных скалярных уравнений, каждое из которых по сложности близко к (1.11). Связь скалярных уравнеш1Й, как мы увидим ниже, соответствует непрерывному преобразованию волн сжатия в сдвиговые и обратно при распространении в неоднородном твердом теле. Сложность уравнения (1.51а) увеличивает ценность исследования частных случаев, когда общее уравнение упрощается. Ряд интересных примеров сред, допускающих сведеш1е уравне-Ш1Я (1.51а) к независимым скалярным волновым уравнениям, рассмотрен в работе [394]. Слоистые среды специального вида, в которых волны сжания и сдвиговые волны связаны, но какая-либо одна из них может распространяться, не возбуждая другой, исследованы в работе [120, гл. 2]. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...