Асимптотическое решение волнового уравнения

В этой книге рассмотрены свойства оптического электромагнитного излучения и те разделы прикладной математики, которые используются для его описания. Одна из задач, которую мы здесь ставим, — провести читателя по долгому, но замечательному пути от первого знакомства с уравнениями Максвелла до таких достижений современной оптики, как геометрическая теория дифракции , асимптотические решения волнового уравнения, теория оптических резонаторов, волоконная оптика и многослойные структуры. [c.6]

Профиль к с линейной зависимостью от х широко используется для построения численных и асимптотических решений волнового уравнения в слоисто-неоднородных средах обшего вида. Точные решения для линейного профиля мы рассмотрим ниже, в п. 3.5, [c.55]

Рассмотрим пример. Пусть во всем рассматриваемом интервале значений f эффективное волновое число A (f) не обращается ни в нуль, ни в бесконечность. Тогда в качестве функции сравнения можно взять постоянную Ai(f) = 1. Асимптотическое решение волнового уравнения имеет вид (см. (9.2), (9.4)) [c.177]

Сравним теперь два выражения (3.2.14) и (3.3.5) для м. Первое из них представляет собой лучевое поле и является хорошим приближением на достаточно большом расстоянии от каустики г = Второе выражение является решением волнового уравнения, справедливым при достаточно малых z — I [так, чтобы выполнялось приближение (3.3.1)]. Если области применимости обоих приближений перекрываются, что обычно и имеет место для реальных распределений то оба этих решения можно сшить и получить полную информацию о поле. Точнее говоря, если использовать асимптотические выражения для функции А при больших аргументах (см. книгу [4], цитируемую в гл. 2) [c.160]

Как следует из предыдущего раздела, отражение возможно только при наличии точек поворота. Казалось бы, это явно неверное утверждение, ведь, как хорошо известно, разрывность показателя преломления в любом случае приводит к появлению отраженного луча. Противоречие это обусловлено тем, что метод сшивки асимптотических решений учитывает правильно распределение поля в непосредственной близости от точки поворота. Однако этот метод неприменим в тех случаях, когда показатель преломления существенно изменяется на масштабах порядка длины волны. Здесь мы рассмотрим приближение, основанное на решении волнового уравнения методом ВКБ [13]. [c.166]

В частности, полагая 1-0, для разности асимптотического (9.2) и точного решений волнового уравнения получаем оценку сверху [c.177]

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СКАЛЯРНОГО волнового УРАВНЕНИЯ [c.62]

Покажите, что асимптотическое решение параболического волнового уравнения (2.6.12) можно получить в виде [c.146]

В квантовой механике вычисляют вероятности рассеяния на различные углы. Волновая функция ф, к-рая является решением Шредингера уравнения, описывающего рассеяние частиц с импульсом моя ет быть представлена иа больших расстояниях г асимптотически в след, виде [c.260]

В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная особенность, задаваемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение области интегрирования до (О, оо) превращает генерируемую осциллирующим источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 п 93). Новый коэффициент вводит дополнительно операцию, известную как взятие производной порядка 1/2. Мы встречались с этим фактом в связи с асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их распространения (разд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения в частных производных (345), которое при замене 2 на величину, кратную времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения (345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную порядка 1/2, [c.463]

Предельная асимптотическая модель трехмерных возмущений трехмерного пограничного слоя рассматривается в [166] для дозвуковых скоростей набегающего потока и при больших характерных числах Рейнольдса. Нетривиальные решения линеаризованных уравнений существуют, если частота и компоненты волнового вектора [c.11]

При положительных значениях z, когда I tjI < 1, рещение Fj переходит в линейную комбинацию рещений F и F2, коэффициенты которой приведены в формуле (3.50). Эго позволяет легко проанализировать асимптотическое поведение рещения волнового уравнения при z -+ + >, Оказывается (см. формулы (3.58), (3.59)), что при больших положительных z решение / i соответствует плоской волне, бегущей в сторону положительных значений г, а рещение Fj - плоской волне, бегущей в сторону отрицательных z. Используя соотношения (3.57)- (3.59) и (3.50), для звукового поля при Z -> + оо получаем [c.65]

Пример применения асимптотического метода. Дальнейшая процедура приме нения асимптотического метода [после построения решений типа (55), (56), (57)] будет такой же, как описано выше, т. е. составляют уравнения стыковки типа (27) гл. XII, из которых находят волновые числа ki и 2 (или Zi и гг). Частоты определяют затем по формуле (45). В качестве примера приведем уравнения стыковки для сферической панели. Частота в этом случае связана с волновыми числами соотношением [c.231]

Если ряд (2.2.5) сходится при больших то он представляет собой разложение в ряд Тейлора по волновому числу и является точным решением уравнения (1.1.12), так что использование асимптотического ряда не дает ничего нового. Однако в большинстве случаев асимптотические ряды расходятся, причем они имеют следующие свойства [c.64]

Тйпов колебаний. Подобный способ построения теорий открытых резонаторов наталкивается, однако, на серьезные математические трудности, осложняющие получение обозримых прикладных результатов [36—39, 56, 57, 125]. Один из возможных путей преодоления этих трудностей заключается в поисках асимптотического решения волнового уравнения, в приближении малости длины волны оптического излучения по сравнению с поперечными размерами резонаторной полости [2, 64]. [c.42]

Из численных методов отметим прямую оценку поля по его интегральному представлению (см. 12), метод нормальных волн в волноводных задачах (см. 15), гибридные подходы, где звуковое поле представляется в виде смеси мод и не имеющих каустик пучей [65, 160, 354, 407], метод параболического уравнения [112, 175, 243], а также метод суммирования гауссовых пучков [22, 23, 477]. Под гауссовым пучком в зтом контексте понимают высокочастотное асимптотическое решение волнового уравнения, сосредоточенное в окрестности луча. Поля гауссовых пучков не имеют особенностей на каустиках [19. 22]. О применении метода суммирования гауссовых пучков к расчету волновых полей в неоднородаой жидкости или упругой среде, в том числе при наличии сложных фокусировок, см.[136, 141. 325, 379, 477], атакжеобзор [22]. Отметим, что в изотропной упругой среде фокусировка поля в окрестности каустического клюва проявляется сильнее, чем в жидкости [22]. [c.385]

Рассматриваются общие свойства распространения электромагаитного излучения и его взаимодействие с веществом, представлены асимптотические методы решения волнового уравнения. Большое внимание уделено анализу распространения света в слоистых периодических структурах (многослойных пленках, металлических и диэлектрических отражателях и интерференционных фильтрах). Изучаются дифракция при распространении света, а также рассеяние света на различных предметах, резонаторы и распространение света в оптических волокнах. [c.4]

Глава 2 посвящена главным образом асимптотическим методам решения волнового уравнения, причем особое внимание уделено асимптотическому представлению поля в виде ряда Лунебер-га — Клейна (для которого геометрическая оптика является приближением низшего порядка). В частности, с помощью уравнения эйконала исследуются многие оптические системы с различными распределениями показателя преломления. [c.8]

Стандартный путь исследования задачи о распространении волн состоит в поиске подходящего приближенного метода решения волнового уравнения. Точные аналитические рашения получаются только для некоторых частных случаев профиля п ). Например, в методе Венцеля— Крамерса— Бриллюэна (ВКБ) [11] ищется приближенное решение, которое является асимптотическим по параметру е = ( п /( г ). Малость е означает, что показатель преломления [c.157]

Для других неоднородных сред, помимо (15.35), точные решения волнового уравнения с точечным источником в терминах злементарных или изученных специальных функций неизвестны. В слоистой среде с квадратичной зависимостью от z удается представить р(г, гв виде интеграла от элементарной функции [393]. Он значительно удобнее для вычислений и асимптотического анализа, чем (15.34), где в рассматриваемом случае pi,2( )> как показано в п. 3.2, выражаются через функции параболического цилиндра. Ниже в п. 15.2 мы в основном будем следовать Холфорду [393]. [c.343]

Таким же образом и в случае б) мы можем получить асимптотические выражения для решений волнового уравнения, соответствующих решениям ги-пергеометрического уравнения Р п Р . Однако мы получим сразу асимптотическое выражение для линейной комбинации (20.31). Снова, пользуясь выражениями (20.33) и (20 32), подставляя вместо Р последовательно Р п которые при С ->- О, согласно (20.27), переходят в 1 и в иолучае.м н])н г— оо для (20.31) [c.117]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

В. Е. Захаров и С. В. Манаков применили метод обратной задачи рассеяния для анализа укороченных уравнений (5.10), (5.16) при точном выполнении условий фазового синхронизма [3]. Авторами [3] указан алгоритм построения некоторого класса точных решений укороченных уравнений, соответствуюш их частному впду матриц рассеяния. В [3] также получены и проанализированы асимптотические (при ->- оо) решения задачи о резонансном рассеянии волновых пакетов друг на друге. Эти решения проясняют ряд тонких вопросов, связанных с влиянием соотношения групповых скоростей и исходных параметров волновых пакетов на характер их взаимодействия. [c.115]

Принцип локализации входит в неявном виде в асимптотические формулы Дебая, полученные в 1908 г., потому что, как мы увидим ниже, члены с определенным значением п дают асимптотические выражения, содержащие коэффициенты отражения Френеля для определенного угла падения. Понятно, что сам Дебай не останавливается на объяснении этого соответствия между слагаемыми и более или менее локализованными лучами. Однако после развития квантовой механики такой подход стал очень заманчивым, так как он показывает полную аналогию с эффектами, известными в квантовой механике. Волновое уравнение для электрона, сталкивающегося с центром возмущения, — это уравнение Шредингера. Решение имеет вид ряда с целыми значениями квантового числа момента количества движения I. Длина волны де Бройля равна К=к1ть, где т — масса, V — скорость и /г —постоянная Планка. Если считать, что электрон локализован и проходит на расстоянии (I от центра, то момент количества движения //г/2я должен быть равен тьй. Это дает /=й/2я. В действительности точной локализации не наблюдается, но среднее значение (1 равно 1 + - ) 1/2л. Смысл этой [c.243]

В [3.49] (1969) рассматриваются на основе уравнений типа Тимошенко осесимметричные волновые процессы в оболочках вращения постоянной толщины. Нагрузка предполагается в виде волны давления с убывающей окоростью рас-прос11ранения, но вначале скорость ее превышает хотя бы одну из характерных скоростей рассматриваемой гиперболической системы уравнений. На основе упрощенных уравнений по лапласовым изображениям построены асимптотические решения при больших величинах параметра преобразования в окрестности поперечных сечений, определяющих седловые точки. Эти решения справедливы вблизи наибольших разрывов, вдали от которых решения рекомендуется находить численно методом конечных разностей. В качестве примера рассмотрена круго вая цилиндрическая оболоч1ка, подверженная [c.217]

Посвящена теории распространения упругих волн в образованиях слоисто го характера как в искусственных структурах, употребляемых в ультразву ковой технике, так и в природных средах - океане, атмосфере, земной коре Дан вывод различных форм волнового уравнения и их точных решений. Описа ние упругих волн в твердом теле ведется на основе матричного формализма Рассмотрено влияние движения среды на звуковое поле. Излагается методика построения асимптотических разложений волновых полей на основе эталонных уравнений и эталонных интегралов. Значтелнюе внимание уделяется физической интерпретации результатов. [c.2]

Методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника в слоистой среде может быть представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений одномерного волнового уравнения. Основным способом аналитической оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический jnerod зголон ыдг и гегралов, излагаемый в 11. [c.162]

Подчеркнем, что все три метода эталонных уравнений, эталонных интегралов и эталонных функций — тесно связаны между собой. Решая одномерное волновое уравнение методом Лапласа [131, ч. 1, 19], исследование го высокочастотной асимптотики можно свести к анализу интеграла вида (11.1). Свяэь первых двух методов с третьим была проиллюстрирована выше. Метод эталонных функций является довольно универсальным, но мало наглядным. Во многих задачах ои позволяет сравнительно просто вычислить коэффициенты асимптотического раэложения интегралов и решений дифференциальных уравнений, однако анализ условий применимости полученного результата оказывается более с ложным, чем в других методах. Кроме того, заранее должна быть известна исходная форма решения. [c.374]

Нода установил диапазон применимости своего асимптотического решения путем сравнения с решением, получаемым прямым численным интегрированием исходных уравнений. Он сравнил свои теоретические результаты с результатами экспериментов Вигеля и других [696]. С увеличением отношения i5/D (где В — толщина оползня, а О — глубина воды) теоретические результаты все больше и больше отклоняются от экспериментальных. Это означает, что используемая им линеаризация не удовлетворительна. На основе анализа экспериментальных данных Нода устанавливает области различных волновых характеристик, как показано на рис. 2.13. [c.75]

В случае разрезов конечных размеров наиболее эффективным образом Является метод асимптотических разложений искомого решения уравнений (465) по малым и большим волновым числам. Разложение по малым параметрам k и приводит к цепочке стандартных граничных задач статической теории упругости с объемными силами, определяемыми предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины возникает пограничный слой, где требуется точный анализ задачи для полубеско-нечного разреза вне пограничного слоя решение по аналогии с геометрической оптикой строится элементарно. Склеивание асимптотических разложений при малых и больших частотах позволяет получить эффективное решение для всей области частот. [c.144]

Настоящий раздел посвящен вопросу, ставшему в последние годы предметом оживленной дискуссии. Среди специалистов существовало общее убеждение, что автокорреляционные функции затухают со временем экспоненциально, по крайней мере асимптотически при достаточно больших временах. Это мнение основывалось на простых моделях, допускающих строгое решение (рассмотренных в гл. 11), таких, как броуновское движение, теория марковских случайных процессов и уравнение Больцмана. Типичным результатом подобного рода является формула (11.2.15). Разумеется, эти примеры не могут заменить доказательства того, что и в общем случае, имеет место такое же поведение. Напротив, еще в 1960 г. Гернси показал, что в плазме корреляции с малыми волновыми векторами затухают как t . Однако его результат остался незамеченным (возможно, люди считали, что это один из аномальных эффектов, обусловленных дальнодействием, как это и было на самом деле ). В 1968 г. Олдер и Вайнрайт провели численные расчеты автокорреляционной функции в системах [c.333]

В статье А. Г. Аленицына [3] рассмотрена задача Лэмба при условии, что законы изменения скоростей распространения волн в среде таковы, что z) < о (г = 1,2). Для решения использованы специальные интегральные преобразования. Подынтегральная функция в интегралах обращения задается как решение некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На основании ее асимптотического анализа получено приближенное решение в окрестности волнового фронта. [c.359]

Рис. 6.6.1. Асимптотический вид решения уравнения Бюргерса при 4->-оо и конечных М для волнового сжатия (а) и разрежения (б). Кривые 1 соответствуют конечному [X, а кривые 2 — асимптотике при [х -> О

В гл. 5 мы более детально обсудим проблему, связанную с точками поворота. В частности, мы выразим решение уравнения Шрёдингера в окрестности точки поворота через функцию Эйри. Тем самым будет получено равномерное асимптотическое приближение для волновой функции. Мы вернёмся к этому вопросу ниже. [c.129]

ДЛЯ гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная координата а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя штрихами. Обш,ее решение этого дифференциального уравнения при произвольном значении г] выражается через функции параболического цилиндра. Однако эти функции, вообш,е говоря, не обладают требуемым асимптотическим поведением при больших значениях Чтобы обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматривать решения, убываюш,ие при больших Функции параболического цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выборе Г], а именно при = ш + 1/2. В этом случае указанные решения сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значения г]т являются собственными значениями энергии. [c.661]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...