Уравнение волновое состояния

На поверхности X конуса Маха сопрягаются два решения волнового уравнения, соответствующие состоянию покоя, ф= о, и состоянию возмущенного движения, ф = ср (т , у, 2, t). Подобные поверхности сопряжения решений с различными аналитическими свойствами называются характеристическими поверхностями уравнений с частными производными. Характеристическая поверхность — конус Маха является в общем случае поверхностью разрыва возмущений в рамках рассматриваемой теории эта поверхность будет поверхностью, на которой разрывы скорости, давления и других величин невелики. В пределе такие поверхности соответствуют слабым разрывам, на которых искомые функции непрерывны, но их производные по координатам вообще терпят разрыв. Очевидно, что скорость распространения поверхности характеристического конуса по неподвижной среде, нормальная к его поверхности, точно равна скорости звука. [c.220]

Уже в 5 мы указали связь уравнения волновой механики с классической механикой а именно оказалось, что центр волнового пакета всегда движется так же, как движется материальная точка, на которую действует сила, равная среднему значению классической силы, по волновому пакету. Это само по себе не означает ещё полного предельного перехода к классической механике. Действительно, ведь классическая сила может на протяжении волнового пакета очень сильно изменяться, и поэтому среднее значение классической силы может сколь угодно сильно отличаться от значения силы в центре тяжести пакета. Только тогда, когда можно построить волновой пакет, внутри которого классическая сила изменяется достаточно мало, получается совпадение со свойствами системы, выведенными из траекторий классической механики. Кроме того, волновой пакет можно рассматривать только за такой промежуток времени, в течение которого размеры пакета изменяются лишь немного. Если речь идёт о стационарных состояниях и периоди- [c.147]

Волновые функции ifi, являющиеся решением уравнений Дирака (IX.8) и (IX.9), одновременно описывают состояние частицы и античастицы. Поэтому нет необходимости вводить представление о состояниях частиц (электронов) с отрицательной энергией. [c.353]

Вместо старой модели атома была предложена новая, в которой положение электрона в атоме в данный момент времени определяется не точно, а с некоторой вероятностью, величина которой задается волновой функцией, являющейся решением волнового уравнения. Квантовая механика не только повторила все результаты теории Бора, ио и объяснила, почему атом не излучает в стационарном состоянии, а та кже позволила подсчитать интенсивности спектральных линий. Кроме того, квантовая механика дала объяснение совершенно непонятному с точки зрения классической физики явлению дифракции электронов. [c.17]

В соответствии с квантовой механикой состояние частицы описывается волновой функцией i i х, у, z, t), являющейся решением некоторого волнового уравнения (нанример, уравнения Шредингера). Волновая функция я ) комплексна и не имеет наглядного физического истолкования. Однако квадрат модуля волновой функции является величиной существенно положительной и имеет простой физический смысл. ф 2 определяет плотность вероятности местонахождения частицы в момент времени t в точке пространства (х, у, z). В соответствии с этим ве- [c.88]

Как известно, в квантовой механике состояние частиц описывается с помощью волновой функции ij), являющейся решением волнового уравнения. Если ограничиться рассмотрением упругого рассеяния нетождественных частиц с нулевым спином, то волновое уравнение имеет вид обычного уравнения Шредингера со сферически симметричным потенциалом V r) [c.29]

Пусть теперь энергия электрона соответствует одной из запрещенных зон неограниченного кристалла, т. е. k E) является комплексной величиной. Условие конечности волновой функции (7.115) в этом случае будет выполнено, если один нз коэффициентов А или Лг (в зависимости от знака мнимой части k) положить равным нулю. Тогда (7.117) и (7.118) превращаются в два линейных однородных уравнения с двумя неизвестными. Они имеют решение только при таком значении энергии, при котором определитель системы равен нулю. Все остальные значения Е запрещены. Таким образом, ограничение кристалла поверхностью приводит к тому, что в области энергии, соответствующей запрещенной зоне неограниченного кристалла, появляются разрешенные энергетические уровни. Эти состояния, локализованные вблизи поверхности, и получили название поверхностных уровней (состояний). Волновые функции, соответствующие поверхностным состояниям, экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности. В области вакуума -ф-функция затухает монотонно, а в об-1G-221 24 f [c.241]

Волны вероятности. Немецкий физик М. Борн предложил в 1926 г. вероятностную интерпретацию волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Квадрат модуля этой функции стал рассматриваться как вероятность (или плотность вероятности) обнаружить микрообъект в том или ином состоянии. Точнее говоря, речь идет о вероятности обнаружить микрообъект в некотором состоя- [c.92]

Ясно, что лучше всего было бы определить точную волновую функцию электронов, движущихся в металле с беспорядочно распределенными примесными центрами, и вычислить среднее значение -Ь (г )ф(г) по поверхности постоянной энергии. Однако решение такой задачи сопряжено с непреодолимыми трудностями. Можно ожидать, что когерентность волновой функции возбужденного состояния (для основного состояния это не обязательно так) будет нарушаться на расстоянии порядка средней длины свободного пробега. Поэтому введение предложенного Пиппардом множителя является разумным. Необходимость такого множителя вытекает из следующих рассуждений. Предположим, что центры рассеяния беспорядочно распределены в перпендикулярном к оси х слов шириной w и что вне этого слоя примеси отсутствуют, как это показано на фиг. 9. Тогда решения уравнения Шредингера вне слоя имеют вид плоских волн. Если предположить, что рассеяние некогерентно, то можно с помощью общей теории рассеяния точно вычислить (ф (г ) ф (г)) при условии, что гиг лежат вне слоя. [c.717]

Наложение граничных условий на решение уравнения (1.21) вызывает появление дискретных значений частот (Оп (обертонов). Если цепочка состоит из N+1 атомов, то длина цепочки равна Ыа. Если концевые атомы закреплены, т. е. XI = О и Хлг+ 1 = 0, то в цепочке могут существовать лишь такие продольные и поперечные колебания, для которых 1, 2, 3,. .. N полуволн укладываются на расстоянии На. Волновой вектор для этих разрешенных колебаний к = я/(На, 2я/Ма, Зя/На,. .. или я/а. Для достаточно больших N разница между двумя соседними значениями волнового вектора будет мала. При этом число состояний (число нормальных колебаний), приходящихся на интервал значений волнового векто- [c.30]

Состояние струны при малых продольных колебаниях в ней определяется заданием смещения ее точек F х, t) (и соответствующей скорости Т (х, /)), а изменение состояния — волновым уравнением [c.251]

Уравнение Шредингера и его решение дают информацию не только об энергетических состояниях электронов, но и о волновых функциях, которые вблизи границы зоны Бриллюэна имеют вид (4.41), где к близко к g/2. [c.76]

При наличии столкновений уравнение (3.62) дополняется членом, описывающим эффект столкновений в виде силы трения, пропорциональной разности волновых векторов начального и конечного состояний и обратно пропорциональной времени релаксации X (приближение времени релаксации). В этом случае [c.89]

Это уравнение описывает два невзаимодействующих атома водорода при условии, что 1-й электрон находится в атоме А, а 2-й — в В, соответствующая ему волновая функция — произведение волновых функций для двух атомов водорода, находящихся в нормальном состоянии [c.106]

Обсуждаются условия применимости уравнения Шредингера, свойства волновой функции и ее нормировка, физический смысл собственных функций и собственных значений, принцип суперпозиции состояний. [c.98]

Математическое следствие принципа суперпозиции (16.22) выражается следующим требованием уравнение, которому удовлетворяет волновая функция, должно быть линейным, потому что только для линейных уравнений сумма решений с произвольными коэффициен гами является также решением. В эксперименте проверяется непосредственно принцип суперпозиции состояний, а заключение [c.104]

Влияние внешнего электромагнитного поля на атом сводится к изменению энергетических уровней и состояний атома, а также свойств симметрии соответствующих волновых функций. Общий подход к рассмотрению вопросов взаимодействия атома с электромагнитным полем состоит в том, что атом и электромагнитное поле рассматриваются как единая система, для которой уравнение Шредингера решается подходящими в конкретной ситуации методами. [c.245]

Волновые функции стационарных состояний Ч ](г) и Р2( ") относящихся к рассматриваемым уровням энергии, удовлетворяют уравнениям Шредингера, независимым от времени [c.257]

Получим соотношение (5.6). Для сферически симметричной волновой функции ij) (г) (s-состояние) уравнение Шредингера записывается в виде [c.173]

При этом объем кристалла возрастает на один атомный объем о> по сравнению с исходным состоянием идеального кристалла, а число электронов останется прежним (искажения вокруг вакансии и связанное с ними изменение объема не принимаются во внимание). Волновые функции г[) электронов в кристалле с вакансией удовлетворяют уравнению Шредингера [c.101]

V указанной камеры и были при различных значениях V/(f/) (где / — площадь сечения канала) получены значения Ы. Расчеты проводились без учета сил трения и при принятии процессов изменения состояния воздуха в канале и в камере адиабатическими. На рис. 44.2, г 1 — экспериментальная и 2 —расчетная характеристики 6t = (f Vlfl), приведенные в указанной работе. Экстраполируя характеристику 1 за пределы полученного из опытов ее участка, можно получить данные для случая V —>0. При этом опытное значение Ы получается большим, чем по расчету, проводимому на основе использования уравнений волнового процесса. По опытным данным, полученным в ИАТ(ТК), о которых упоминается в работе [5], для коммуникационных каналов с малыми размерами проходного сечения (порядка 1,5 мм) время передачи практически полной мощности сигналов мало отличается от времени распространения звука по длине канала (опыты были проведены с каналами длиной 150—1000 мм) однако и оно несколько больше чем Тз. [c.408]

Как и в оптической теор яи, здесь предполагается не существование материальных волн, а возможность применения уравнений волновой теории для расчетов поведения электронов. Волновая механика не дает возможности проследить непосредственно движение электрона по орбите в атоме водорода Можно лишь говорить о ве1роятности нахождения электрона в данной части атома. Эта вероятность определяется с помощью волновой функции, квадрат амплитуды которой является мерой вероятно сти нахождения электрона в данном месте. Волновая механика дает методы расчета этих вероятностей. Электрон движется вокруг ядра настолько быстро, что для многих целей позволительно рассматривать атом состоящим из ядра с зарядом + Ze, окруженного облаком отрицательного электричества, плотность которого в любой точке пропорциональна вероятности нахождения там электрона. То, что электронное облако описывается в терминах вероятности, не противоречит точному значению энергии стационарного состояния. Подобно тому как колебание прямой может быть установившимся или дать стоячую волну только в том случае, если длина волны целое число раз укладывается на длине этой прямой, так и волновое уравнение движения электрона вокруг ядра может дать стацио- [c.16]

В рамках оговоренной линейной модели основные соотношения, описывающие акустические колебания и волны в среде, следуют из уравнения состояния среды, уравнения движения Ньютона и уравнения неразрьшности. Результатом являются уравнения волнового типа, которые могут быть решены при соответствующих начальных и граничных условиях. Процесс колебаний или распространения волны сопровождается периодическим смещением частиц из положения равновесия, изменением плотности, давления и скорости движения частиц в среде. Представим результирующие величины, характеризующие состояние среды при прохождении через нее акустической волны, в виде суммы стационарной (при отсутствии звукового возмущения) и периодической составляющих [c.32]

На волновом фронте как скорость, так и деформация терпят разрыв по пространственной координате и времени. Это общее свойство волновых фронтов (можно показать в общем случае, что разрыву скорости соответствует разрыв деформации), так что можно сделать интересный вывод о том, что не допускающие разрывов скорости уравнения состояния (некоторые из них обсуждались в разд. 3-4) не допускают и разрывов деформации описанного здесь типа. Фактически Тэннер [43] показал для рассматриваемой задачи, что добавление в уравнение состояния члена, содержащего хотя бы малое время запаздывания, приводит к сглаживанию разрывов. [c.296]

Как было указано Крейком [51], этот факт явился причиной некоторых парадоксальных результатов, полученных в работах [47, 48]. Действительно, не следует ожидать, что реологическое соотношение, лежащее в основе жидкости второго порядка, даст существенные результаты для больших волновых чисел, соответствующих малым временным масштабам возмущения. Поэтому, применяя линеаризованное уравнение состояния максвелловского типа, следует ожидать, что это также приведет к ситуациям, когда число Деборы возмущения не мало. С другой стороны, если не подвергать лР1неаризации член, описывающий напряжение, то окажется невозможным применение классической методики анализа устойчивости, поскольку основное уравнение становится нелинейным относительно переменных возмущения. [c.298]

Гипотеза де Бройля и атом Бора. Гипотеза о волновой природе электрона позволила дать принципиально новое объяснение стационарным состояниям в атомах. Для того чтобы понять это объяснение, выполним сначала расчет длины дебройлев-ской волны электрона, движущегося по первой разрешенной круговой орбите в атоме водорода. Подставив в уравнение де Бройля выражение для скорости электрона на первой круговой орбите, найденное из правила кпантования Бора [c.340]

При 1юстроснии теории р-распада мы должны ввести в рассмотрите некоторое (электронио-нентрингюе) поле, квантом которого и является пара частиц — электрон и антинейтрино, а нуклонам следует приписать некоторый электронно-нейтринный заряд G G 1,4-Ю " эрг-см — постоянная Ферми). Далее можно построить оператор Я, энергии взаимодействия нуклонов с электронно-нейтринным полем из волновых функций -частицы ф, и нейтрино (антинейтрино) ср-. Функции ф,, ф должны удовлетворять уравнению Дирака. Оператор Я превращает волновую функцию протона в волновую функцию нейтрона и наоборот. Это утверждение равносильно предположению о том, что волновая функция начального состояния нуклона, испытывающего р-превращение, зависит не только от п юстранственных н спиновых координат, но и от зарядовой координаты Т, ( 22), которая может принимать только два значения, соответствующие нейтронному или протонному состоянию нуклона. Таким образом, в результате действия оператора [c.243]

Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом влияет наличие процессов с большим временем релаксации (для определенности будем говорить о химическр.х реакциях) на распространение звука в жидкости. Для этого можно было бы исходить из уравнения движения вязкой жидкости с определяемым фор.мулой (81,6). Проще, однако, рассматривать движенно формально как не вязкое, по с давлением р, определяющимся не уравнением состояния, а полученными здесь формула . . Тогда все известные нам уже из 64 общие соотношения остаются формально применимыми. В частности, связь волнового век- [c.437]

Условие существования уровня, отличного от основного, можно найти аналогично тому, как было получено условие существования основного связанного состояния [см. формулы (3.24) и (3.25)]. Различие этих двух случаев заключается только в том, что теперь в качестве корня уравнения (3.23) при малом АИ7 надо брать не ка = п[2, а ка = 3я12. (В этом случае п = 2, /=0 и волновая функция имеет п—1 = 1 узел при 0<г<а, рис. 14.) [c.28]

До сих пор мы считали фононы нелокализованными. При помощи суперпозиции колебаний с волновыми векторами, отличающимися меньше чем на Д/с, можно образовать волновой пакет, локализованный в районе Мы будем пока пренебрегать волновым характером фононов ) и рассматривать волновые пакеты как классические частицы, движущиеся с групповой скоростью v . Для стацпонарного состояния при наличии градиента температуры уравнение Больцмана можно записать в след ю-щем виде [c.231]

Строго говоря, уравнение Лондона (I) не является точечным соотношением, поскольку плотность тока в точке зависит от распределения магнитного поля в некоторой окрестности, окружающей точку. При соответствующем выборе калибровки плотность тока пропорциональна векторному потенциалу, но последний зависит от интеграла от поля по некоторой весьма значительной области. В п. 26 приведена аргументация Шафро-та и Блатта, которые утверждают, что (I) справедливо, только если область упорядочения безгааничиа. Смысл длины когерентности Пиппарда легко выяснить из энергетических соображений. Чтобы локализовать волновые пакеты, описывающие сверхпроводящее состояние, в области, меньшей чем длина когерентности, требуется значительная энергия. Например, ширина границы между нормальной и сверхпроводящей фазами в промежуточном состоянии как раз порядка длины когерентности. Истинная протяженность упорядоченного основного состояния в сверхпроводящей фазе может быть (вероятно, так оно и есть) много больше длины когерентности. [c.705]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Итак, энергия электрона, находящегося в состоянии к, нрямо пропорциональна квадрату вектора к, и ее, следовательно, уместно пометить, как и волновую функцию, индексом к, после чего. уравнение Шредингера примет вид [c.49]

Если исходный потенциал велик, то в этом случае для решения уравнения Шредингера необходимо использовать практически бесконечное количество функций типа фп. Поэтому нужно осла бить возмущающий потенциал, для чего прибегают к следующей процедуре. Рассмотрим связанные состояния в кристалле и атоме. В изолированном атоме связанные состояния характеризуются четырьмя квантовыми числами п, I, mi, tUs, совокупность которых обозначим через а. Волновая функция такого состояния будет Фа, энергия — е". В этих обозначениях уравнение Шредингера для лтома [c.67]

Остановимся еще на одной особенности ковалентной связи. Выше при решении уравнения Шредингера для молекулы водорода мы конструировали волновые функции с помощью линейной комбинации атомных орбиталей, выбирая за стартовые атомные орбитали изолированных атомов. Однако такой прямолинейный подход не всегда оказывается успешным и, например, для молекул и кристаллов, содержащих атомы углерода (а также кремния, германия и т. д.), он не привел к успеху. Так, изолированный атом С имеет электронную конфигурацию (ls) (2s) 2px2py. Естественно было ожидать, что углерод окажется двухвалентным с двумя перпендикулярными связями. Однако четырехвалентность углерода хорошо известна и, вообще говоря, она могла быть объяснена возбуждением при образовании молекул одного из 2з-элект-ронов и его переходом в 2рг состояние. В этом случае можно было ожидать появления трех более сильных и одной более слабой связей. Однако экспериментально было надежно доказано, что у углерода наблюдаются 4 равноправные связи с углами 109°28. Этот результат удалось полностью объяснить тем, что при вхождении атомов углерода в соединение (причем с самыми разными атомами углеродом при образовании алмаза, водородом или хлором при образовании СН4 или U и т. д.) происходит перестройка их электронной структуры так, что одна 25 и три 2р орбитали углерода гибридизуются, происходит sp гибридизация и [c.111]

Постановка задачи. В стационарной теории возмущений рассматривается постоянно существующее возмущение. Нестационарная теория возмущений позволяет изучить процесс появления возмущения. Поскольку в этом случае полный гамильтониан (включающий возмущение) зависит от времени, энергия не сохраняется и поэтому стационарных состояний не существуеп. Следовательно, в этом случае задача о нахождении поправок к собственным значениям энергии не возникает. Задача состоит в приближенном вычислении волновых функций уравнения [c.241]

Обменное вырождение. Волновая функция (52.7) предс1авляет решение уравнения (52.5) с собственным значением энергии Е = + Е,,. Очевидно, что из-за идентичности электронов ничего не изменится, если электрон 2 поместить в состояние а, занимаемое элек роном /, а электрон У - в состояние Ь, занимаемое электроном 2, т. е. ничего не изменится, если электроны поменять местами. Следовательно, волновая функция, получающаяся в результате такой перемены мест элек1 ронов, также является решением уравнения (52.5), Таким образом, наряду с волновой функцией (52.7) решением уравнения (52.5) будет вол- [c.272]

Нам остается рассмотреть вопрос о связи между состоянием и измеряемыми на опыте физическими величинами. В классической физике этот вопрос не возникает, ибо в ней состояние частицы описывается заданием физических величин — координат и импульсов. В квантоЕой механике это не так. Волновая функция Ч (г) полностью описывает состояние, но не является непосредственно измеряемой физической величиной. Поэтому, решив уравнение Шредингера, мы хотя и найдем, как изменяется во времени состояние частицы, но не сумеем получить доступных опытной проверке соотношений, если не будем знать рецепта вычисления физических величин в данном состоянии. [c.23]

Рассмотрим вывод формулы для с, основывающийся на хорошо известном факте равенства скорости расиростраиения слабых ударных волн и скорости звука. Такой подход в данном случае имеет определенное преимущество, так как решение волнового уравнения в области критической точки оказывается достаточно сложным. Выберем систему координат, в которой элемент поверхности разрыва (т. е. ударной волны) покоится, а тангенциальная составляющая скорости среды равна нулю. Тогда в уравнения, выражающие сохранение энергии, импульса и потока вещества, войдет скорость среды ю. Пусть состояние I за ударной волной соответствует критическому состоянию вещества, а состояние 2 есть состояние перед ударной волной. Так как ударная волна слабая, состояния 1 и 2 близки. Пз условия непрерывности потоки нмнульса и вещества [c.275]

Выше отмечалось, что трибосистемы относятся к открытым термодинамическим системам, обменивающимся энергией и веществом с внешней средой. Трение является процессом преобразования внеи1ней механической энергии во внутреннюю в виде колебательных и волновь]х движений частиц трибосистемы, сопровождаемым термическими, термоэлектронными, акустическими, химическими и другими явлениями. Основная часть этой энергии превран ается в тепловую и отдается во внешнюю среду, другая идет на изменение физико-химического состояния поверхностных слоев трущихся материалов. Диссипация энергии соответствует увеличению энтропии (dS > 0). Энергетический баланс трибосистемы описывается уравнением [9] [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...