Шредингера уравнение нелинейное

В этом случае уравнение (5.2.2) принимает стандартную форму нелинейного уравнения Шредингера [c.112]

В данном разделе были рассмотрены эффекты, связанные с кубическим членом нелинейной поляризации, записанным в виде (2.3.6). При очень больших уровнях мощности нелинейный отклик начинает насыщаться, поэтому необходимо включать члены высших порядков. Каплан [53] обобщил нелинейное уравнение Шредингера (5.2.5), заменив в нелинейном члене на произвольную функцию/( J7 ). Оказывается, что при определенных условиях поведение солитона становится бистабильным. При заданном значении энергии импульса бистабильные солитоны могут распространяться в двух состояниях при этом можно осуществлять переключение из одного состояния в другое [54]. Вопросы устойчивости бистабильных состояний привлекли большое внимание [55]. В волоконных световодах бистабильное поведение пока не наблюдали, поскольку для этого необходимы чрезвычайно высокие значения мощности. Для этой цели более подходящими могут быть среды с легко насыщающейся нелинейностью. В заключение отметим, что солитоны могут существовать в волноводах с пространственно-периодичной величиной показателя преломления, так как волна, распространяющаяся в такой среде, также описывается нелинейным уравнением Шредингера [56]. [c.122]

Общая схема компрессии, изображенная на рис. 4.4, включает в себя источник спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов, волоконно-оптический модулятор и решеточный компрессор. Основой для математического анализа процесса дисперсионной фазовой само-модуляции является нелинейное уравнение Шредингера, описывающее изменение комплексной амплитуды поля. Приведем это уравнение для случая нормальной дисперсии групповой скорости (ср. с (2.8.17)) [c.177]

Дальнейшее уточнение теории развития модуляционной неустойчивости проведено авторами [30], которые учли влияние дисперсии нелинейности на границы спектральной полосы неустойчивости. Данные численных экспериментов, позволяющие проследить динамику процесса на суш,ественно нелинейных стадиях, приведены в [46]. Глубокий теоретический анализ решений нелинейного уравнения Шредингера с периодическими начальными условиями дан в [47]. [c.219]

Рассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера, записанного в традиционной математической форме (5.2.1) [c.220]

Уравнение Шредингера для электронного движения линейной молекулы решается так же, как и для нелинейной молекулы (см. гл. 8), а электронная волновая функция нулевого порядка представляется в виде произведения молекулярных орбиталей, зависящих параметрически от колебательных координат. Если конфигурация ядер линейная, то электронный гамильтониан коммутирует с Z-г и Л является хорошим квантовым числом. В этом случае можно записать [c.369]

Частные решения неоднородных дифференциальных уравнений для М2 и Щ существуют, если правые части ортогональны сопряженной линейной задаче. Из этого требования находится выражение для групповой скорости и выводится уравнение для А, которое представляет собой нелинейное кубическое уравнение Шредингера. [c.243]

Для описания системы мы воспользуемся представлением вторичного квантования. Уравнение для г з-операторов атомов газа имеет вид нелинейного уравнения Шредингера [c.662]

Нелинейное уравнение Шредингера [c.48]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Для полей, генерируемых хаотическими источниками, достаточно знать средние числа заполнения п , чтобы определить оператор плотности д и из него все статистические свойства поля. Однако если источник по природе не хаотический, то мы не можем предложить какой-либо универсальный путь нахождения оператора плотности для поля, которое он генерирует, без анализа некоторых деталей механизма излучения. Единственный надежный способ нахождения оператора плотности заключается, вообще говоря, в построении теоретической модели изучаемой системы и интегрировании соответствующего уравнения Шредингера, или, что эквивалентно, в решении уравнения движения для оператора плотности. Применительно к лазерному осциллятору эти задачи необычайно трудны и пока не решены до конца в рамках квантовой механики. Наибольшая трудность заключена в математической сложности, связанной с нелинейностью устройств. Нелинейность играет важную роль в стабилизации полей, генерируемых лазером. Следовательно, пока в этих вопросах не будет достигнут дальнейший прогресс, мы не сможем дать последовательное квантовомеханическое объяснение ширины частотной полосы флуктуаций излучения лазера. [c.157]

Чтобы описать модуляционную неустойчивость и родственные ей явления, мы обратимся к основному уравнению теории модулированных волн в нелинейных средах — нелинейному параболическому уравнению, или нелинейному уравнению Шредингера оно включает в себя уравнения (20.6), (20.7) как частный случай [c.415]

В результате мы пришли к уравнению (5.89), похожему на уравнение Шредингера, и к обычному квантовомеханическому выражению (5.90) для плотности тока частиц с массой т и зарядом д. Существенной особенностью уравнения (5.89) является его нелинейность, играющая огромную роль в приложениях теории. Если заменить д зарядом электронов —е, т — электронной массой т, ап — плотностью электронов, то мы придем к уравнениям Гинзбурга — Ландау, полученным ими в 1950 г. Если же д заменить на —2в, т. е. на заряд куперовской пары, т — на 2т, т. е. на массу куперовской пары, п — на половину электронной плотности, то мы получим уравнения Гинзбурга — Ландау в том виде, в котором они используются ныне. [c.591]

Далее, оператор билинейный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану свободного поля квантовой теории поля, а оператор <й< 1, кубичный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану взаимодействия в представлении Шредингера . Взаимодействия, о которых тут идет речь.— это инерционные взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости и х, 1), описываемые в уравнениях Навье—Стокса слагаемыми, нелинейными относительно поля и. Отношение типичных значений этих слагаемых и линейных слагаемых, описывающих действие вязкости, которое равно числу Рейнольдса Ке, является константой инерционного взаимодействия (см. выше п. 19.2). Если перейти в уравнении (28.41) к безразмерным величинам так, чтобы гамильтониан свободного поля имел порядок единицы, то конст анта взаимодействия Ее будет множителем при гамильтониане взаимодействия Поскольку в случае развитой турбулентности Ке велико, взаимодействие, описываемое гамильтонианом является сильным. [c.627]

Уравнение (1.1.1) получено для возмущений типа двумерного волнового пакета (1.1.2), исходя из метода многих масштабов идеи Мандельштама - представление суммы гармонических волн в виде квазимонохроматической волны. Это позволило учесть растущие и взаимодействующие возмущения на разных масштабах. При определенных упрощениях ОНПУ приводится к уравнению Гинзбурга-Ландау, а для консервативных сисч вм физики плазмы и гидродинамики идеальной жидкости - к нелинейному уравнению Шредингера. Уравнение, подобное (1.1.1), широко применяется для исследования различных гидродинамических (9-131, физических [14] и химических процессов [6-8, 11]. [c.11]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Новая жизнь солитона — одного из самых привлекательных объектов современной физики — в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11]. Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21], которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение Шредингера дх - -- - и х) - -е]Ф = О в случае, когда потенциал U x) положительно определен и спадает до пуля при х оо, имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера [c.400]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, испо зуя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0) используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси Z легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 -5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения уравнения (5.1.1). [c.111]

Реальные количественные закономерности дисперсионного режима сжатия были установлены в [17, 19] методами математического моделирования. В численных экспериментах нелинейное уравнение Шредингера (4.3.1) интегрировалось по t, при различных параметрах нелинейности R. Вычислялись профили интенсивности, распределения текущей частоты в различных сечениях световода и результаты сжатия час-тотпо-модулированных импульсов при оптимальной настройке решеточного компрессора. На рис. 4.7 приведены зависимости минимальной длительности импульса от длины световода. Видно, что для каждого значения R существует оптимальная длина световода Lonr, при которой достигается максимальная степень сжатия Наличие экстремума связано с тем, что на малых рас стояниях 2 Lф форма импульса еще практически не изменилась и нелинейное ушире-ние спектра растет пропорционально р асстоя нию (2). Н а р ас-стоянии расплывание [c.180]

Проведенное рассмотрение относится к интегральным характеристикам импульса, оно приводит к реалистическим оценкам критической мощности, но не дает ответа на важные вопросы об устойчивости баланса дисперсии и нелинейности, о форме стационарного импульса и о том, как взаимодействуют стационарные импульсы. Ниже подробно обсуждаются односолитонные и многосолитонные решения нелинейного уравнения Шредингера, описывающего процесс распространения пикосекундного импульса по одномодовому световоду. Анализ влияния возмущающих факторов (оптические потери, дисперсия высших порядков, конкурирующие нелинейные процессы) мы отложим до 5.5, [c.198]

В 2.6 получено одно из солитонных решений нелинейного уравнения Шредингера (НЛШ), <7=se h(t) ехр(—г С/2). Обобщим его, воспользовавшись непосредственно проверяемой инвариантностью (1) относительно масштабных преобразований [c.198]

Рассмотрим переход от координат (I2, il2, I2.....ti) к ровибронным координатам Q,ф,x.Qu. .., Qs -e, Xn+i, . , Zi) в уравнении Шредингера для жесткой нелинейной многоатомной молекулы здесь три угла Эйлера (9, ф, %) определяют ориентацию молекулярно-фиксированной системы осей (х, у, z) относительно пространственной системы осей ( , т), ), а (ЗЛ — 6) нормальных координат Qr являются линейными комбинациями координат ядер Xi, yt, Zi). Тогда оператор выражается через операторы (1 , Qu. .., Рзлг-е, Р, . ... Ръи-%), где — компоненты ровибронного углового момента, а Рг = —itid/dQr. Такая замена координат позволяет разделить сумму и межъ-ядерной потенциальной функции Vn (которая получается в приближении Борна — Оппенгеймера, рассмотренном в следующей главе) на часть, зависящую только от 1х, Jy> и на (ЗЛ —6) частей, зависящих только от координат Qr и сопряженных им импульсов Рг. Новый набор координат содержит теперь три угла Эйлера вместо двух углов в (7.65) и (7.66) для двухатомной молекулы и (3N — 6) колебательных координат Qr вместо одной координаты R в (7.67) для двухатомной молекулы. Как видно из (7.58) и (7.60), такая замена координат не влияет на форму Те [см. (7.46)]. [c.153]

В н. 5.3. было продемоггстрировано, что с помощью преобразований Hasimoto [1972] LIE сводится к нелинейному уравнению Шредингера. Используя ту же самую процедуру, векторное дифференциальное уравнение [c.310]

Главное преимущество этого метода заключается в том, что решение нелинейного уравнения КдФ сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Шредингера) и линейного интегрального уравнения (т. е. уравнения Гельфанда — Левитана). Более того, переменные и л в уравнении (3.54) являются только параметрами, так что оно является интегральным уравнением только относительно единственной переменной у. Если потенциал Мо(х) безотражательный, то уравнение существенно упрощается, так как второй член в (3.56) пропадает. В следую- [c.77]

Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точ ностью до разницы в фазе представляют собой тот же са мый солитон, перемещающийся от х = —оо до д = -]- оо Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый соли тон, перемещающийся от х = — оо до х = -]- оо. Таким обра зом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсоли-тонную волну, которая распадается на два солитона при /-)-с о и /-> — оо, и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было. [c.84]

В результате Бланкенбеклер и др. [10] пришли к интересному заключению, что дисперсионные соотношения и унитарность позволяют восстановить полную амплитуду рассеяния по ее второму борновскому приближению без обращения к уравнению Шредингера, вместо которого используются нелинейные уравнения для спектральной функции двойного дисперсионного представления. Обобщение такой процедуры на релятивистский случай пригодно лишь до порога неупругих процессов. [c.19]

С помощью выражения (45.9) теперь можно вычислить правую часть (45.3). Заметим, что в отсутствие нелинейности и дисперсии Н = с — Со)д/дх, и мы приходим к случаю, рассмотренному Хоувом [3]. В данном случае зависимость от <у> поправок и х, t) к усредненной огибающей волны <у(х, i)> определяется зависимостью от <у> собственных значений Е и собственных функций ( х) стационарного уравнения Шредингера с потенциалом Vo = . [c.160]

Трудность решения уравнения Шредингера с таким оператором Гамильтона заключается в нелинейности первого члена. В случае спиновых волн эту трудность можно было обойти с помощью преобразования Холштейна —Примакова с последующим разложением корня, содержащего оператор, и учетом только первого члена. Для настоящей проблемы должны были бы бьггь учтены по крайней мере следующие члены разложения. Более простой аппроксимацией для (40.1) является линеаризация оператора. Это достигается тем, что один из обоих спиновых операторов заменяется своим средним значением [c.171]

Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера с периодическими граничными условиями доказана и работе [21]. Нелинейная волна модуляции в этом случае имеет дискретный спектр, причем из-за дисперсии групповой скорости спектр можно считать ограниченным (сателлиты с высокими номерами нерезонансны и поэтому не нарастают). В такой ситуации естественно перейти от пространственно-временного описания к спектральному, рассмотрев взаимодействие нескольких (в простейшем случае трех (шо и ш ) спектральных составляющих. При этом предполагается выполнение в среде с кубичной нелинейностью условий синхронизма 2ко = к- +к+ и 2ujq = ш -Ь -Ь Аш, где Аш — малая расстройка от точного синхронизма. [c.422]

Смотреть страницы где упоминается термин Шредингера уравнение нелинейное : [c.18] [c.29] [c.48] [c.105] [c.138] [c.190] [c.190] [c.96] [c.198] [c.129] [c.191] [c.19] [c.236] [c.303] [c.311] [c.5] [c.51] [c.48] [c.48] [c.508] [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...