Волновое уравнение электрического поля

В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравнениям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не производные от них, а затем поля находить дифференцированием потенциалов. Одним из таких потенциалов является электрический вектор Герца П, пропорциональный векторному потенциалу. Поля выражаются через него по формулам [c.16]

Задача 2-16. Как выглядит электрическая макетная схема явления, выражаемого волновыми уравнениями электромагнитного поля (2-2-22) и (2-2-23) [c.75]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Чтобы получить уравнение движения электрона в кристалле, надо рассмотреть сначала движение волнового пакета в одномерном кристалле при наличии внешнего электрического поля. Будем считать, что волновой пакет составлен из волновых функций одной энергетической зоны с волновыми векторами, близкими к некоторому вектору к. Выражение для групповой скорости имеет вид у = с сй/(1к. Поскольку оз = = Е/Ь, то [c.84]

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрическом полупространстве (рис. 9-4). Напряженность электрического поля удовлетворяет волновому уравнению (см. 1-1) [c.141]

Поскольку функция pv не зависит ни от формы полости, ни от природы диэлектрической среды, рассмотрим для простоты прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, равномерно заполненную диэлектриком (рис. 2.1). Расчет функции pv начнем с вычисления распределения стоячих электромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля Е х, у, z, t) волны должна удовлетворять волновому уравнению [c.27]

Это выражение описывает поляризацию, осциллирующую на частоте 2 и распространяющуюся в пространстве в виде волны. Данная волна поляризации излучает на частоте 2 . Таким образом, мы получили генерацию электромагнитной волны на частоте второй гармоники 2 [аналитическое рассмотрение, приводимое ниже, включает подстановку данного значения поляризации в волновое уравнение (8.65)]. Электрическое поле этой электромагнитной волны запишется в виде [c.493]

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом k и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой (О будет распространяться вдоль оси Z в соответствии с выражением Е - exp[j((o/ — kz)], где к = к ьз) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна [c.515]

Переходя к выяснению структуры электромагнитного поля вблизи поверхности вогнутого зеркала, рассмотрим сразу два возможных варианта поляризации излучения, характеризующихся наличием продольной (вдоль оси цилиндра г) компоненты электрического или магнитного поля. Если волна распространяется в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра г, то компоненты поля и Я не зависят от г и удовлетворяют двумерному волновому уравнению [c.133]

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное . Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s. Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями [c.84]

В предыдущем разделе мы получили матричное уравнение (4.11.15), описывающее эволюцию вектора электрического поля Е при условии, что его продольная составляющая пренебрежимо мала. Теперь мы выведем уравнение движения для вектора электрического смещения D, который всегда перпендикулярен направлению распространения. Будем исходить из волнового уравнения (1.4.2) и воспользуемся соотношением (4.3.3), чтобы выразить Е через D. Тогда можно записать следующее волновое уравнение [c.120]

Здесь ось г перпендикулярна границам раздела слоев, а Л — период. Геометрия этой структуры изображена на рис. 6.3. Для нахождения блоховской волны, отвечающей векторам электрического поля, будем использовать процедуру, описанную в [2]. Общее решение волнового уравнения для вектора электрического поля можно [c.179]

Геометрия этой структуры изображена на рис. 6.18. Будем искать локализованные волны, которые могут распространяться в положительном направлении оси j. Поскольку структура является полу-бесконечной, нас будут интересовать только направляемые поверхностные волны. Ради определенности мы рассматриваем случай поверхностных ТЕ-мод, электрическое поле которых направлено вдоль оси Л-. Распределение электрического поля (ТЕ) подчиняется волновому уравнению (6.4.8). Будем искать его решение в следующем виде [c.227]

Присутствие волновода Ь вызывает возмуш ение диэлектрической проницаемости е Лп1(х, у) при распространении моды < " х,у)х (М-/Здг) наоборот. Полное электрическое поле (11.8.1) должно удовлетворять волновому уравнению [c.497]

Методы описания. Распространение волнового пакета в линейной изотропной диспергирующей среде описывается для напряженности E t, z) электрического поля волновым уравнением [c.19]

В уравнениях (1.107)—(1.108), полученных из волнового уравнения в приближении медленных переменных, осуществляется переход от амплитуды напряженности электрического поля к интенсивности излучения с помощью обычного соотношения [c.30]

Если векторы электрического поля опорных и объектных лучей лежат в плоскости падения этих лучей на голограмму, т. е. в случае поляризации р-типа, вместо волнового уравнения (П.81) оказывается справедливым векторное уравнение следующего вида [c.207]

Если принять, как и ранее, вектор электрического поля перпендикулярным плоскости падения лучей света (s-поляризация), т. е. направленным вдоль оси х, то волновое уравнение может быть записано в следующем виде [c.210]

И удивительно, и замечательно, что до тех пор, пока мы имеем дело с кинетикой, различные волновые явления могут быть описаны с помош ью относительно небольшого числа математических моделей. Введем функцию /(ж, i) от пространственной координаты гс и времени t. Эта функция может представлять собой смещение среды, напряженность электрического поля, численность особей в популяции животных, концентрацию вещества или Что-нибудь другое. Уравнение для определения /(х, t) является обычно дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением. Мы получили его выше, но о частных производных разговора не было. [c.161]

Подставляя отсюда V X В в правую часть уравнения (1.19), получаем, что напряженность Е электрического поля удовлетворяет волновому уравнению [c.14]

Поскольку все три компоненты электрического поля удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению, векторное уравнение можно заменить скалярным [c.372]

В случае электромагнитных волн волновое уравнение обычно записывается для векторов электрического или магнитного полей Е или Н например, [c.16]

В этом разделе мы отметим также параллельное развитие рентгеновской дифракции, основанной на волновых уравнениях для векторов электрического и магнитного полей, выведенных из уравнений Максвелла. Из уравнения, эквивалентного (8.10), из условия равенства нулю определителя следует [15] [c.184]

Будем искать такое приближенное решение волнового уравнения для произвольной компоненты электрического поля в комплексном представлении (м), которое локально удовлетворяет соотношению, справедливому для плоских волн [c.62]

Электрическое поле Е в диэлектрической неоднородной среде удовлетворяет векторному волновому уравнению (1.1.11), записанному в виде [c.79]

Вывод волнового уравнения для напряженности электрического поля [c.114]

Поскольку лазерный резонатор является открытым, условие (5.60) справедливо только приближенно. Но мы не будем рассматривать здесь этот вопрос более подробно. Наша цель заключается в том, чтобы вывести уравнения для амплитуд поля Е t). Исходным снова является волновое уравнение для напряженности электрического поля, которое, как мы помним, имеет вид [c.125]

В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь идёт о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позволяет работать с одним только векторным потенциалом. Мы проводим разделение переменных и получаем уравнение Гельмгольца для пространственной части и(г) векторного потенциала A(r,t). Поведение электрического и магнитного полей на стенках резонатора определяет граничные условия для и(г). [c.291]

В 1.1 мы изучили структуру фундаментального материального уравнения Р.(Е) в НЛО. Теперь применим это соотношение к анализу следствий, вытекающих из его типичных нелинейных свойств для электромагнитных процессов в нелинейной среде. Для решения этой задачи мы должны привлечь уравнения Максвелла, в которые поляризация входит через электрическое смещение. Необходимо решить вытекающее из уравнений Максвелла волновое уравнение при учете в общем случае нелинейного соотношения между поляризацией и напряженностью поля и при заданных граничных условиях. Это означает, что следует искать решения, удовлетворяющие этим дифференциальным уравнениям в протяженной пространственно-временной области о них пойдет речь в разд. 1.32. Некоторые предсказания об эффектах излучения в НЛО можно сделать уже при помощи сравнительно простого метода, в котором исходят из соотношений только в одном элементе объема такой способ рассмотрения будет представлен в разд. 1.31. [c.81]

Волновой вектор ki. определяет направление распространения соответствующей плоской волны, а е . — направление вектора-потенциала, а также и вектора напряженности электрического поля. Поэтому уравнение (1.12-17) означает, что речь идет о представлении чисто поперечной волны. В этом заключается, как уже указывалось, особое преимущество кулоновской калибровки. Поскольку для каждого вектора распространения существуют два независимых вектора поляризации, то по этим векторам в уравнении (1.12-15) следует суммировать, причем целесообразно выбрать эти два вектора взаимно ортогональными [c.134]

Уравнения (2.36-13) и (2.36-16) содержат полное описание поведения исследуемых атомных систем. Вместе с классическим волновым уравнением для макроскопического электрического поля в свободном пространстве или с уравнениями для напряженности поля в резонаторе и в соответствии с теми или иными экспериментальными условиями получается система уравнений, позволяющая охватить взаимное влияние атомных систем и электрического поля. При этом, конечно, следует [c.261]

Рассмотрим сначала простейшее представление электрический ток — это движение электронов под воздействием приложенного электрического поля. В металлах число электронов, участвующих в электропроводности, зависит от структуры кристалла, а для одновалентных металлов —это один электрон на атом Поведение электрона, находящегося в твердом теле, удобнее всего описывать в трехмерной системе координат, для которой три декартовы координаты кх, ку и кг являются компонентами волнового числа к. Электрону с энергией Е и импульсом р соответствует волновое число к. Согласно уравнению де Бройля, р=Ьк (где Й—постоянная Планка, деленная на 2л) и Е р 12т. Положение электрона в -пространстве характеризуется вектором к, пропорциональным импульсу электрона. В ыеталле, содержащем N свободных электронов, при абсолютном нуле температуры электроны займут N 2 низших энергети- [c.187]

В качестве исходного берется волновое уравнение (2.3.1) для полного электрического поля Е(г, t), где Pjvl дается выражением (10.1.1). Подставим в волновое уравнение выражения (10.1.2) и (10.1.4) вместе с аналогичным выражением для линейной части поляризации. Предположим, что излучение непрерывно или квазинепрерывно, гогда зависимостью компонент поля ,. (/ = 1,. .., 4), от времени можно пренебречь. Пространственная структура поля учитывается выражением [c.284]

Выведенные в настоящем параграфе выражения для нелинейной поляризации (17) и (7) совместно с выражением для индукции электрического поля (1.1.9) позволяют перейти от точного интегродифференци-ального описания (1) явления самовоздействия к описанию с помощью только дифференциальных уравнений, учитывающих в различных порядках дисперсию линейной и нелинейной восприимчивостей и эффекты волновой нестационарности. Конкретный вид приближенных уравнений теории самовоздействия коротких импульсов приведен в следующих параграфах. [c.76]

Отметим, что любое решение системы уравнений (1 14) (1-17) обязательно удовлетворяет волновым уравнениям (1.20), (1,21), но обратное утверждение неверно, т. е, не всякое решение волноных уравнений дает электромагнитное поле, которое может существовать. Поясним ато на простом примере. Волновое уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение, поэтому волновые уравнения допускают, например, решение в виде бегущей волны электрического поля без магнитного поля. Уравнения Максвелла такого решения не допускают. [c.15]

Для отыскания электрического и магнитного полей гауссова пучка представим его в виде совокупности плоских волн. Одна из компонент электрического поля плоской волиы может быть определена из сопоставления с единственной компонентой пучка (1.5). Остальные же компоненты электрического и магнитного полей плоской волны могут быть выражены через единственную известную в соответствии с уравнениями Максвелла. Если затем пайдеппые электромагнитные плоские волны вновь сложить, то получится волновой пучок со всеми компопептами полей. [c.70]

В последнее время появились работы, в которых рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9, 13, 20Ь—(1, 21, 22, 24, 29, 33, 35е— , 36, 45, 58а] рассмотрено совместное влияние температурного, магнитного и электрического полей и поля деформаций. В этом направлении получено много общих результатов определены основные уравнения магнитотермоупругости, сформулированы энергетические принципы, получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотре ны вопросы единственности решения уравнений, в некоторых задачах исследованы волновые процессы. [c.244]

Укажем на некоторые свойства точечных источников, излучающих векторные поля. Напомним, что в скалярной теории точечный источник, создающий поле, пропорщюнален трехмерной 5-функции, появляющейся в виде возмущающего члена в волновом уравнении [см. (4.2.2)]. В векторном случае мы должны представить себе поле излучения как соответствующую комбинацию полей элементарных электрических и магнитных мультиполей. В простейшем случае мы имеем дело с электрическим диполем р и магнитным диполем Ш, локализованными в точке Tg = (atq, q). Если источник находится в однородной среде, то поле, излучаемое диполями р и ш, дается выражением (см. книгу [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...