Метод обратной задачи рассеяния

В оригинальной работе Тода было получено решение в терминах эллиптических функций. Впоследствии на основе метода обратной задачи рассеяния была построена полная теория. В частности, получены Л -солитонные решения и показано, что солитоны обладают свойствами частиц — после встречного столкновения сохраняют первоначальную форму [70]. [c.151]

Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеет вид [c.572]

Альтернативно метод обратной задачи рассеяния может быть сформулирован на основе представления Лакса. [c.472]

Центр, объектом в методе обратной задачи рассеяния является матрица монодромии (Х.). Для определения последней необходимо ввести матрицу перехода Т х, у, X), удовлетворяющую ур-нию [c.472]

С помощью метода обратной задачи рассеяния также находится решение задачи Коши для граничных условий вида л-у оо (условия конечной плот- [c.472]

Более общий случай рассмотрен в [301. Заметим, что уравнение (6) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния детальный анализ представлен, например, в [31]. [c.212]

Круг практически важных задач, которые можно эффективно решать с помощью метода обратной задачи рассеяния, значительно расширился после разработки эффективных численных методик нахождения данных рассеяния и восстановления по ним q x, при произвольном [51]. Согласно этой методике на оси т вводится сетка разбиения с совокупностью узлов tfe , k=, 2, 3,. . ., К- На каждом [c.223]

Рис. 5.21. Солитонная составляющая шумового импульса а — начальный профиль интенсивности и фазы б — солитонная составляющая, выделенная методом обратной задачи рассеяния иа расстоянии =1 [52]

Для того, чтобы к некоторому уравнению можно было применить метод обратной задачи рассеяния, это уравнение должно обладать Г — С-парой, или, иначе говоря , оно должно быть условием совместности двух линейных систем [c.9]

Следует отметить, что во всех известных ныне уравнениях, которые интегрируются с помощью метода обратной задачи рассеяния, коммутационные-соотношения (1.14) таковы, что их можно проинтегрировать, используя только один псевдопотенциал. При этом спектральный параметр, присутствующий в уравнениях (1.1), (1-2), возникает как константа интегрирования. [c.12]

Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим в принципе получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера - Ахиезера и пр. [c.83]

ЧТО совпадает с решением типа уединенной волны (3.58). Этот простой пример объясняет, как работает метод обратной задачи рассеяния. Между прочим заметим, что только одна уединенная волна соответствует собственному значению к — I. [c.81]

Метод обратной задачи рассеяния, вообще говоря, может быть применен к анализу уравнений (5.10), [c.115]

В этой главе предлагается общая схема построения солитонных решений динамических систем без обращения к матричной реализации представления типа Лакса. Если в методе обратной задачи рассеяния, с помощью которого находятся солитонные решения, удачный выбор Л-пары существенно облегчает все расчеты и, вообще, позволяет их провести, то развиваемая ниже конструкция инвариантна относительно выбора конкретного представления алгебры внутренней симметрии и апеллирует непосредственно к свойствам алгебры. Л-пара в этой конструкции заменяется системой линейных уравнений высших размерностей на одну единственную скалярную функцию, условием совместности которых и является уравнение исходной динамической системы. [c.192]

Наибольшее влияние на это оказала работа [456] (стимулированная в свою очередь знаменитой проблемой Ферми—Паста—Улама [127]), в которой был предложен мош,ный метод обратной задачи рассеяния, позволяющий конструировать целые семейства интегрируемых гамильтонианов. Современное состояние вопроса см., например, в книге [457].— Прим. ред. [c.56]

Заметим, что хотя действительно таким методом нельзя установить регулярность движения (интегрируемость) в некоторой области фазового пространства, однако вполне можно обнаружить хаотическую (случайную) компоненту движения, т. е. неинтегрируемость. В некотором смысле этот численный метод дополняет аналитический метод обратной задачи рассеяния (см. примечание редактора на с. 56), который позволяет, наоборот, доказать только интегрируемость.— Прим. ред. [c.315]

Такой метод решения уравнения Кортевега-де Вриза называется методом обратной задачи рассеяния, поскольку мы решаем задачу на собственные значения для уравнения Шредингера с потенциалом и 1, х), где I играет роль параметра. В квантовомеханическом урав- [c.401]

Монография посвящена ряду фундаментальных задач теории нелинейных волн и важнейшим строгим результатам их исследования. На основе современных топологических методов, методов теории ветвления нелинейных операторных уравнений рассмотрены уравнения теории нелинейных волн А. И. Некрасова, Кортевега — де Фриза, Бюргера, Уизема и др. Описаны методы, позволяющие установить существование решений и проводить их построения метод Ляпунова — Шмидта, метод осредненных лагранжианов Уизема, метод обратной задачи рассеяния и др." Высокий математический уровень книги сочетается с доступностью иг1ЛО-жения. Для чтения книги достаточно знакомства с элементами функционального анализа, которые компактно изложены в приложении. [c.135]

В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-ние (7) также является точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощью вспо-могат. переопределённой системы линейных ур-ний типа (5), (6) для многокомпонентной (векторной) ф-ции Р. Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных решений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругие столкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств, следствием столкновения являются фазовые сдвиги — изменения параметров Фд > и. Хд. [c.573]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким образом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии. Здесь могут существовать так называемые солитоны-образования, обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов. Сам термин солитон относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкновениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в волоконных световодах интересен не только как фундаментальное явление, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оптических линиях связи. В данной главе изучается распространение импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, особое внимание уделяется солитонному режиму распространения. В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости. Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции (ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован для нахождения солитонных рещений уравнения распространения. Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаментального солитона и солитонов высщих порядков. Следующие две главы посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3 рассматривается солитонный лазер разд. 5.4 посвящен использованию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные эффекты высщих порядков, такие, как дисперсия нелинейности и задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в разд. 5.5. [c.104]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, испо зуя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0) используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси Z легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 -5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения уравнения (5.1.1). [c.111]

Из приведенных профилей интенсивности видно, что на начальном этапе распространения происходит быстрая трансформация фазовых флуктуаций в амплитудные. Средняя длительность пичков соответствует величине х . В дальнейшем происходит сравнительно быстрая фильтрация солитонной составляющей за счет дисперсионного расплывания шумовой компоненты. При 1 импульс превращается в соли-тон. Отметим точное совпадение амплитуды солитона, полученной в результате прямого интегрирования нелинейного уравнения Шредин-гера и вычисленной методом обратной задачи рассеяния для той же реализации начальных данных (6). [c.227]

В. Е. Захаров и С. В. Манаков применили метод обратной задачи рассеяния для анализа укороченных уравнений (5.10), (5.16) при точном выполнении условий фазового синхронизма [3]. Авторами [3] указан алгоритм построения некоторого класса точных решений укороченных уравнений, соответствуюш их частному впду матриц рассеяния. В [3] также получены и проанализированы асимптотические (при ->- оо) решения задачи о резонансном рассеянии волновых пакетов друг на друге. Эти решения проясняют ряд тонких вопросов, связанных с влиянием соотношения групповых скоростей и исходных параметров волновых пакетов на характер их взаимодействия. [c.115]

Для уравнений, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли конечного роста, на примере периодической цепочки Хода разработан простой метод получения солитбнных решений. В отличие от метода обратной задачи рассеяния, он не апеллирует к явной матричной реализации операторов Лакса. [c.3]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Развиваемый в книге подход связан с методом обратной задачи рассеяния, грубо говоря, следующим образом. Как уже отмечалось выше, точно и вполне интегрируемые системы существенно различаются по свойствам их групп внутренней симметрии. Следствием этого является то обстоятельство, что в тех случаях, когда в представлении типа Лакса спектральный параметр исключается преобразованием из группы внутренней симметрии, метод обратной задачи рассеяния оказывается бессилен, тогда как развиваемые в этой книге методы приводят к успеху. Справедливо и обратное если спектральный параметр нельзя исключить указанным способом, то методы обратной задачи рассеяния приводят к нетривиальному спектру солитоноподобных решений, а развиваемый нами подход позволяет получить решение задачи Гурса соответствующей системы в виде бесконечных абсолютно сходящихся рядов.- Вопрос о выделении солитонных решений (из общих) при этом остается открытым. Таким образом, эти два подхода являются взаимодополняющими. [c.9]

Новая жизнь солитона — одного из самых привлекательных объектов современной физики — в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния [11]. Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [21], которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно [14], уравнение Шредингера дх - -- - и х) - -е]Ф = О в случае, когда потенциал U x) положительно определен и спадает до пуля при х оо, имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера [c.400]

Нелинейная стадия развития модуляционной неустойчивости зависит от асимптотики начального возмущения при а оо. Если это возмущение достаточно быстро спадает на бесконечности, то, как и для волновых импульсов самого поля (их эволюция в одноволновом приближении описывается уравнением Кортевега-де Вриза), начальный импульс волны модуляции произвольной формы при i оо распадается на солитоны (это, конечно, радиосолитоны — они с высокочастотным заполнением) и осциллирующий хвост . Как и для аналогичной задачи, описываемой уравнением КдВ, этот хвост содержит мало энергии по сравнению с энергией, запасенной в солитонах, и принципиален лишь при рассмотрении процессов взаимодействия солитонов друг с другом (см. гл. 19). Число солитонов зависит от формы начального профиля. Строго проблема эволюции локализованного в пространстве начального возмущения решается с помощью метода обратной задачи рассеяния [14] здесь же мы приведем лишь решение уравнения (20.9) в виде уединенных стационарных волн модуляции (волн огибающей) [c.419]

Смотреть страницы где упоминается термин Метод обратной задачи рассеяния : [c.572] [c.574] [c.29] [c.199] [c.201] [c.213] [c.220] [c.315] [c.62] [c.64] [c.285] [c.110] [c.156] [c.44] [c.164] [c.193] [c.197] [c.403] [c.62] [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...