Уравнения волнового движения

Уравнения волнового движения [c.19]

В линейной теории вычисления могут быть проведены относительно простыми аналитическими средствами, так как линеаризированные уравнения потока в основном совпадают с уравнениями волнового движения малой амплитуды. Следовательно, многие хорошо известные методы теории волн могут быть применены в такой упрощенной сверхзвуковой аэродинамике это особенно справедливо для случая тонких тел вращения (например, для фюзеляжа самолета, корпуса снаряда и для плоских тел, подобных крылу самолета). В этих случаях может быть сделано дальнейшее упрощение, которое касается граничных условий задачи, а именно, требования плавного обтекания. Это условие определяет, в случае осесимметричного потока, направление вектора скорости на поверхности, а в случае плоского тела — направление составляющей вектора скорости, лежащей в плоскости нормальной к средней поверхности тела. Линеаризированные дифференциальные уравнения при указанных граничных условиях можно решить точно, но, обычно, приходится применять численные и графические методы. Поэтому желательно дальнейшее упрощение задачи, которое достигается с помощью предельного перехода от точных граничных условий к условиям, относящимся к оси тела вращения или к плоскости плана крыла вместо действительной поверхности. Приводимые ниже результаты основаны на этом приближении. Строго говоря, только это приближение согласуется с допущениями линейной теории, потому что если удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были отброшены в дифференциальных уравнениях. [c.13]

Мы получили уравнение волнового движения, показывающее продольную скорость волны в стержне. [c.234]

Электроды нанесены иа верхнюю и нижнюю поверхности стержня, поэтому поле 3 от направления л не зависит. Механическое напряжение Г, из формулы (4-5-36) подставим в формулу (4-5-37) и получим уравнение волнового движения, соответствующее выражению (4-1-3) [c.279]

Это обычные уравнения волнового движения. Они означают, что существуют электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью ) [c.33]

Теория. В каждой среде частица может испытывать смещения по трем различным направлениям в направлении оси л (обычно обозначаемое буквой и), в направлении оси у (обозначаемое буквой у) и в направлении оси г (обозначаемое буквой ге>). Иначе говоря, движение любой частицы можно разложить на три составляющие например, согласно теории упругости [1, 2, 3] уравнения волнового движения частиц твердого тела можно написать в следующем виде [c.39]

Можно также доказать, что других волн, отличных от продольных и поперечных, в безграничной однородной изотропной среде не возникает однако в случае, когда тело имеет границы, возможно возникновение волновых движений, отличных от тех, которые описываются уравнениями (2.368), (2.370), и обладающих весьма интересными физическими свойствами. [c.104]

Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение, описывающее волновое движение, т. е. уравнение, решением которого будет любая функция от аргумента Ы — х) или и( + х), будет иметь вид [c.27]

Теоретический анализ волновых движений чаше всего проводится при оговоренных выше двух допущениях. Первое из них предполагает, что соприкасающиеся фазы — невязкие жидкости. Это предположение оправдано тем, что в наиболее часто используемых жидкостях с малой вязкостью (прежде всего вода) эффекты вязкости существенны вблизи твердых поверхностей, тогда как в анализе волновых движений основное внимание сосредоточено на малой окрестности границы текучих сред, как правило, далеко отстоящих от твердых стенок. Поле скоростей при безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется уравнением сохранения массы, принимающим формулу уравнения Лапласа для потенциала скорости ф (см. [3, 24, 26, 34]). Уравнение сохранения импульса упрощается до уравнения Эйлера. Условия однозначности, помимо обычного условия непроницаемости на твердых поверхностях, включают условия совместности для потоков массы и импульса на межфазной границе. [c.126]

Для плоских двумерных волновых движений решения уравнения Лапласа для потенциала скорости получаются в виде произведений гиперболических и тригонометрических функций, а соответствующая этим решениям форма границы раздела — в общем случае произведением синусоиды и косинусоиды [36]. Основные особенности волнового движения границы раздела фаз можно исследовать, рассматривая более простой случай, когда начальное возмущающее воздействие вызывает колебательное движение, описываемое одной [c.126]

Анализ волнового движения плоской границы раздела неподвижных фаз 131 уравнение баланса массы [c.131]

Мы начнем с рассмотрения общих уравнений для трехмерной задачи в прямоугольных координатах и простейших решений, отвечающих простейшим типам волн ). Приближенные представления волновых движений в частных случаях, например волны растяжения в стержнях, будут рассмотрены позже, когда в нашем распоряжении уже будет общая теория, позволяющая разъяснить природу сделанных допущений. [c.489]

Для определения характеристической функции соответствующего ВОЛНОВОГО движения необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (13.11) для функции xW-В самом общем случае получаются волновые движения, обладающие особенностями на свободной поверхности жидкости. [c.108]

В этом уравнении а — произвольная постоянная. Нетрудно видеть, что при а комплексном решение уравнения (13.12) также даёт некоторое волновое движение. Основное решение, рассмотренное Н. Е. Кочиным, соответствует частному значе- [c.108]

Согласно теории Флоке, волновые решения уравнений, описывающих движение периодической среды, выражаются через периодические функции, т. е. [c.296]

При любом значении волнового числа k частотное уравнение дает бесчисленное множество решений для частоты со. Каждой из этих частот соответствует определенный вид мода) волнового движения. Кривые, изображающие зависимость частоты от волнового числа для различных мод, представляют собой ветви частотного спектра. Частоты для трех первых симметричных мод и вещественных волновых чисел показаны на рис. 3. Следует ожидать, что частотное уравнение имеет решения и для комплексных волновых чисел. Соответствующие моды, представляющие интерес при исследовании нестационарных волновых процессов и движения вблизи границ, пока еще не изучены. На рис, 3 представлен график зависимости безразмерной частоты Q от безразмерного волнового числа определяемых так [c.367]

Для изучения волновых движений упругого слоя возьмем решения уравнений (66) и (67) в следующем виде [c.396]

X = п1 и характеризуемыми динамической жесткостью (рис. 6.2). Предполагается, что продольные волны в стержне подчиняются уравнению Бернулли (5.7). Гармоническое волновое движение в рассматриваемой периодической структуре удобно исследовать с помощью нормальных волн. Смещения в нормальной волне имеют вид [c.181]

Волна, длина которой больше глубины жидкости (А,> б), в теории волнового движения называется длинной. Опыт показывает, что при течении газо-жидкостной смеси в трубах имеют место длинные волны. При выводе уравнения (149) были сделаны упрощения, общепринятые для данного типа волны (sh 0 = 0). [c.74]

В частных решениях (1.28) и (1.30) конкретный вид функций / и g был несуществен. Дальнейшее изучение динамического поведения упругих тел связано, по существу, с решением вопроса о выборе конкретных выражений для fug, дающих возможность удовлетворить систему дополнительных условий, отражающих взаимодействие упругого тела с другими объектами, и его начальное состояние. При этом оказывается, что произвольные волновые движения, которые описываются уравнениями (1.16), в общем случае могут быть образованы суперпозицией плоских волн, имеющих различные направления распространения и амплитуду [981. [c.23]

Линейные уравнения (1.6) описывают волновые движения в однородной изотропной упругой среде. Для полной постановки граничной задачи математической физики эти уравнения необходимо дополнить начальными и граничными условиями. [c.24]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

В случае комплексных корней уравнения (3.6) характер волнового движения, определяемого решениями (3.2), более сложен. Даже если ограничиться значениями корней с величиной Im с < О (экспоненциально убывающие по времени выражения в (3.2)), то [c.56]

Рассматривая волновые процессы в волноводе, аналогично тому, как это делалось в предыдущих главах для полупространства, можно выделить задачи двух типов. В задачах первого типа мы не интересуемся источником волнового движения и ищем лишь возможные состояния волновода, согласованные с определенными условиями на его поверхности. По сути, речь здесь идет о поиске некоторых резонансных ситуаций — таких частных решений уравнений движения для гармонических процессов, которые обеспечивают нулевые граничные условия относительно некоторого числа статических и кинематических факторов. Эти частные решения называются нормальными модами или нормальными волнами в волноводе. [c.110]

Как и для полупространства, в случае слоя со свободными границами Р-и SV-волны не могут существовать независимо. В связи с этим картина волнового движения в слое для такого типа движений является более сложной. Однако при выводе дисперсионных уравнений можно с успехом использовать прием, указанный для SH-волн. [c.115]

Рис. 2-2-3. Л1акетная схема явления, выражаемого одномерным уравнением волнового движения.

Из уравнений, описывающих движение звуковой волны, можно найти соотношения, которым удовлетворяют Р и р, и убедиться в том, что они также удовлетворяк т волновому уравнению. [c.275]

Наиболее далеко идущим прогнозом, следующим из модели Тисса, явилось предсказание существования тепловых волн в жидкости—явления, ставшего впоследствии известным под названием второго звука . Формальное рассмотрение двух взаимопроникающих жидкостей, обладающих разной энтропией, приводит к волновому уравнению для неоднородностей температуры вместо диссипативного уравнения теплопроводности. Тисса предположил поэтому, что нарушения равновесной концентрации двух жидкостей будут выравниваться посредством волнового движения, а но посредством диффузии. Это волновое движение, как и следовало ожидать, будет несколько похоже на акустический звук с той существенной разницей,, что при этом не будет происходить заметных колебаний плотности жидкости. Вместо них будут наблюдаться колебания относительной плотности двух жидкостей, т. е. колебание температуры. С этой точки зрения подходящим параметром для характеристики диссипации тепловых импульсов в Не II является не теплопроводность вещества, а скорость распространения в нем тепловых волн. На основании своей модели Тисса предположил, что эта скорость будет возрастать от нуля в Х-точке до максимума примерно при 1,5" К и затем уменьшаться при дальнейшем нонижении температуры. [c.803]

Прямое количественное сопоставление расчета и эксперимента вряд ли возможно вследствие существенно трехмерной структуры развитого волнового движения - (рис. 5-9). Трехмерная структура образующихся волн является следствием неустойчивости решений уравнении типа (5-75) к возмущениям по третьей координате, на что впервые указано в работах Б. Б. Кадомцева и В. PI. Петвиа-швили. [c.123]

Уравнения (74) и (75) представляют собой хорошо известные частотные уравнения Рэлея —Ламба. Эти трансцендентные уравнения имеют обманчиво простую форму. Несмотря на то что они были выведены в конце прошлого века, исчерпывающее объяснение соответствующего частотного спектра было дано лишь сравнительно недавно в работе Миндлина [47]. Подробности читатель может найти в книге Ахенбаха [3]. Для каждого конкретного значения волнового числа k уравнения (74) и (75) определяют бесконечное множество частот со. Каждому решению уравнений (74) и (75) соответствует частная форма волнового движения, называемая модой. Таким образом, частотное урав нение определяет бесконечное множество непрерывных кривых, называемых ветвями, которые наглядно показывают связь между частотой со и волновым числом k для каждой моды волнового движения. Совокупность этих ветвей образует частотный спектр. [c.397]

Ранее мы уже указывали, что движение системы можно представить некоторой непрерывной кривой в пространстве конфигураций. В настоящем случае эта кривая будет действительной траекторией материальной точки в обычном пространстве. Уравнение W = onst представляет семейство поверхностей в этом пространстве, а условие (7.61а) означает, что траектория материальной точки всюду нормальна к таким поверхностям. Это напоминает соотношения между волновыми поверхностями и лучами в оптике. Предположим, что движение материальной точки на самом деле связано таким образом с некоторой формой волнового движения. Если этот волновой режим характеризуется волновой функцией ф, удовлетворяющей уравнению, подобному скалярному волновому уравнению в оптике, то [c.103]

Волновые уравнения. Из всего сложного и разветвлённого семейства волновых движений можно выделить более или менее элементарные, но универсальные типы В., что позволяет рассматривать их поведение с общих позиций, независимо от их физ. природы. Эта общность проявляется прежде всего в том, что волновые движения разл. физ. объектов (полей) описываются однотипными ур-ниями или соотношениями. Для систем с непрерывно распределёнными параметрами это обычно дифференц. ур-ния в частных производных, связывающие изменения ф-ций, характеризующих волиовоо поле, по времени и координатам. Эти ф-ции могут быть как [c.316]

В отличие от Эйлера, к-рый характеризовал движение жидкости, рассматривая изменение скоростей, давлений и др. параметров в фнксир. точках пространства, занятого жидкостью, т. е. определял поля этих параметров, Лагранж предложил изучать движение жидкости, наблгодая за траекториями индивидуальных частиц и определяя их координаты в зависимости от времени (см. Лагранжа уравнения в гидромеханике). Практич. значение приобрели разработанные в 19 в. теория волновых движений жидкости и теория звуковых волн (см. Акустика). [c.463]

П. Л. Капица для упрощения задачи исследования ламинарно-волнового движения решал совместно только уравнения (1) —(3). При этом предполагалось, что перепад давления вдоль оси у пренебрежимо мал (dpIdy Q), составляющая а следовательно, уравнение (4) можно не принимать во внидгание. Был [c.185]

Закон распределения скорости внутри толстых волновых слоев жидкости, движущихся совместно с потоком газа, может отличаться от универсального. Последнее обстоятельство, по-видимому, можно учесть, если воспользоваться усовершенствованной методикой Даклера [169], при построении которой он базировался на уравнении количества движения при заданном законе распределения касательных напряжений. Согласно [169], распределение безразмерной скорости жидкости в пленке зависит не только от безразмерного расстояния от стенки у , как это имеет место при однофазном течении жидкости, но также и от профиля касательных напряжений внутри пленки, точнее, от параметра D=ym -J-zJ (рис. 29). [c.220]

Волновое движение. Описанные выше формы движения были вязаны с возникновением в среде равновесных положений частиц или пузырьков. При юзбуждении в многофазной среде бегущих воли возможны иные формы движения, а именно односторонне направленные движения с постоянной скоростью. Механизмы их впервые установлены в работах [4—6, 14]. Поступательное движение частиц может быть описано следующим приближенным уравнением [4, 6] [c.113]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Некоторые возможные варианты выбора обобщенных координат, характеризующих волновые движения жидкости. В ряде работ (см. [23, 26, 28]) используютсч обобщенные координаты s, соответствующие отсчету аппликат свободной повер -ности не от плоскости, перпендикулярной вектору /, как s , а от фиктивной жесткой крышки , ориентированной перпендикулярно продольной оси полости. Система уравнений возмущенного движения, аналогичная (34), приведенная к центру масс системы Со, имеет в этих координатах вид [c.70]

Если участок горизонтальной поверхности жидкости подвергается малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, таким образом, возникает волновое движение жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потенциальное. Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.72), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Кощи (1.39). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось z направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением [c.85]

Как следует из теории волновых движении жтщкости, поток газа над жидкостью стремится сохранить имеющееся на поверхности раздела волновое ее движение. Это можно показать следующим образом. Скорость движения частиц газа при относительной скорости будет больше у гребней волн (линии тока проходят чаще) и меньше на впадине. Следовательно, на основании уравнения Бернулли на впадине волны давление будет больше, чем на ее гребне. И значит [c.115]

Построение дисперсионных соотношений для распространяющихся волн в цилиндре, естественно, нельзя выполнить на основе данных об отражении волн от плоской границы полупространства. Для вывода этих соотношений способом, аналогичным предложенному в 1 и 2 данной главы, необходимо детальное решение довольно сложной задачи об отражении плоских волн от цилиндрической границы. Поэтому при рассмотрении волновых движений в цилиндре проще исходить из набора частных решений уравнений Ламе в цилиндрических координатах. Такие наборы впервые были построены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. [c.144]

Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные А , Лд, F и удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических движений частота определяется источником сил или перемещений, а у является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье. Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для постоянных А , Аз и F. Условие существования ее нетривиального решения определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и со. [c.147]

Как уже отмечалось при анализе волновых движений в цилиндри-чебком волноводе, наборы частных решений уравнений движения в цилиндрических координатах впервые были приведены в работах Похгаммера [252] и Кри [168]. В работе [168] такие решения использовались для изучения колебаний конечных цилиндров со специальными смешанными условиями на торцах = 0. При этом оказалось возможным выполнить граничные условия путем наложения на падающую волну отраженной волны такого же типа. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...