Собственное значение значение

Тем самым пространство /2" превращается в евклидово. Так как матрица В симметричная, то С — самосопряженный оператор по метрике А. Известно, что все собственные значения А , г = 1,...,п, самосопряженного оператора — действительные числа. Кроме того, у каждого самосопряженного оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве Д , существует ортонормированный по метрике А базис из собственных векторов. Пусть собственному значению А, соответствует собственный вектор и, этого базиса Си, = А и,. Среди А,- могут быть и кратные корни характеристического уравнения. Кратный корень повторяется в последовательности [c.574]

Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению Х, обозначим причем предполагается, что число /С изменяется непрерывно. [c.108]

Для каждого невырожденного собственного значения решение системы уравнений (21.55) дает соответствующую собственную функцию. Если все п собственных значений невырожденные, то имеется п различных собственных функций. Важное свойство эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещественны. Для доказательства рассмотрим уравнение (21.53) на собственные значения, которое после умножения слева на <( приводит к равенству [c.137]

Собственные значения унитарного оператора выражаются комплексными числами, равными по модулю единице, а его собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Для доказательства рассмотрим уравнения для различных собственных функций и Mj), принадлежащих различным собственным значениям А/ и Aj унитарного оператора А [c.138]

Однако поскольку собственные значения оператора А (0) разных знаков (особая точка О —седло), отношение собственных чисел оператора А (е) принимает рациональные значения на любом интервале изменения параметров (если деформация типична). Поэтому существуют сколь угодно малые значения е, для которых формальная нормальная форма уравнения [c.68]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

В соответствии с равенством (2) собственные значения оператора равны й/2 (если ось Oz совпадает с физически выделенным преимущественным направлением в пространстве). Пользуясь введенным в 18 способом записи совокупности значений какой-либо величины с помощью матрицы, запишем собственные значения оператора в виде следующей матрицы [c.120]

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование ж = Ва (где матрица J5 не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных. значений матрицы В будет равно В , определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы В 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных 5фг/5а, в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо,чтобы якобиан [c.428]

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при yj и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это — как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [c.697]

Первое собственное значение (kl)i изменяется в диапазоне с kl)i с 4,49, поэтому os kl) < О и единственная смена знака v (I) произойдет при (kl)i = я, когда меняется знак sin (kl) . Этому значению = я соответствует с = я . Таким образом, при с < с стержень теряет устойчивость по форме 1, при с > > — по форме 2 (рис. 3.18, б). [c.106]

Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала (а, Ь). в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма — Лиувилля, при р(лг)>0, г(дг)>0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений (точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р х) (см. стр. 263). В случае 1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные значения — простые. [c.240]

НАБЛЮДАЕМАЯ (измеримая, или физическая, величина) в квантовой механике — физ. величина, удовлетворяющая след, требованиям 1) для физ. систем существуют состояния, в каждом из к-рых рассматриваемая величина с достоверностью имеет вполне определённое характерное для этого состояния значение (наз. собственным значением данной величины) 2) в результате измерения рассматриваемой величины в любом произвольном состоянии физ. системы получается одно из её собств. значений. Состояние, в к-ром физ. величина принимает то или иное собств. значение, наз. её собственным состоянием, отвечающим (или принадлежащим) данному собств. значению. Одному и тому же собств. значению может принадлежать неск. собств. состояний рассматриваемой физ. величины, отличающихся значениями, к-рые принимают в них к.-л. др. величины. В этом случае собств. значение величины наз. вырожденным. (Так, собств. значению квадрата угл. момента принадлежит неск. собств. состояний, отличающихся значениями проекции момента на произвольную ось в пространстве.) Требование 1 представляет собой условие повторяемости измерения физ. величины по крайней мере для не- [c.234]

При анализе линейной стационарной системы требуется в основном оценка собственных значений и собственных векторов матрицы А. Приведенное выше разложение показывает, что решение неустойчиво, если Re(X,/)>0 хотя бы для одного /. Собственные значения определяют устойчивость системы часто она представляется графически в виде траекторий корней на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра. Система устойчива, если все корни находятся в левой полуплоскости. Собственные векторы и/ описывают форму изменения параметра состояния х, соответствующую каждому собственному значению. Собственные значения действительной матрицы А могут быть действительными или комплексными. Комплексные корни обычно характеризуются частотой o=Im(X,) и от- [c.342]

Рис. 2.26. Зависимость потерь и собственных значений от А экв потери в двумерном резонаторе, М = 1,86 [201] б - потери в двумерном резонаторе, М ЗуЗ (пунктиром нанесены потери для низшей моды резонатора со сглаженным краем) [195] в — собственные значения в трехмерном резонаторе со сферическими зеркалами, Af = 5, азимутальный индекс равен нулю (зависимость амплитуды от азимутального угла отсутствует) [202]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Компоненты Оз, а , Оъ и для матрицы ю в (8.15), соответствующие собственному значению г этой матрицы, совпадают с аналогичными компонентами собственных векторов матрицы со в (8.3) для значений к и к, вычисленных по формуле (8.23). Остальные компоненты собственного вектора матрицы со, соответствующие значению к илп к в (8.23), определим из системы [c.126]

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для которой оно равно 1/Х, а рассматриваемой матрицей является Л Ч Максимум 1/Х достигается при наименьшем X. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использована для определения наименьшего собственного значения новой системы. [c.56]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Поскольку вектор Фр не может быть ортогонален всем векторам Р, то из этого следует, что скалярное произведение в правой части не может обращаться в нуль для всех Фв- Таким образом, существует собственный вектор Фр оператора Ю, принадлежащий собственному значению р, который ортогонален всем собственным векторам оператора К, принадлежащим собственному значению р, и существует собственный вектор Фр оператора К, принадлежащий собственному значению р, который ортогонален всем собственным векторам оператора Ю, принадлежащим собственному значению р. Такие векторы существуют тогда и только тогда, когда при а = р оператор резольвенты (а — К) имеет полюс порядка больше единицы. [c.202]

Рассмотрение проводится наиболее просто, если допустить, что К — вполне непрерывный оператор. В этом случае радиус сходимости ряда (9.3) определяется наибольшими по величине собственными значениями оператора К, т. е. наименьшими по величине характеристическими значениями. (В противоположность собственным значениям величина у называется характеристическим значением интегрального ядра К, если существует такой нормируемый вектор Ф, что уКФ = Ф.) Число таких значений (одинаковых по величине) всегда конечно. Ситуацию, когда имеется несколько одинаковых собственных значений, можно, вообще говоря, рассматривать как исключение. Поскольку радиус конечен (так как К — вполне непрерывный оператор, то он обязательно ограничен), то радиус сходимости ряда (9.3) всегда отличен от нуля, т. е. ряд сходится, если только у достаточно мало. С другой стороны, если ряд (9.3) сходится при всех конечных у, то он является целой аналитической функцией у и спектр оператора К (этот спектр не может быть пустым, если К ограничен и всюду определен см. [824], стр. 261) состоит только из точки а = 0. [c.224]

Когда значение энергии проходит через нуль, собственные значения а ( ) уходят с действительной оси. Поскольку при = О оператор G ( ) имеет точку ветвления, то эта точка также является и точкой ветвления функции а ( ) ее нужно обходить особенно осторожно. Из (9.10) следует, что когда значения уходят с отрицательной действительной полуоси в верхнюю полуплоскость, то, если точка а находится справа от нуля, она перемещается в верхнюю полуплоскость, а если она находится слева,— в нижнюю полуплоскость. Как только величина становится комплексной, неравенство (9.10) перестает выполняться, но при этом а не может быть действительным, поскольку при действительных а оператор Я + аЯо эрмитов и не может иметь комплексных собственных значений а . Соответственно, если значения обходят точку ветвления = О через верхнюю полуплоскость комплексной -плоско-сти, то точки, соответствующие положительным собственным значениям а, смещаются в верхнюю полуплоскость, а точки, соответствующие отрицательным собственным значениям, смещаются в нижнюю полуплоскость. [c.226]

Если вне круга единичного радиуса имеется более одного собственного значения а, то методика должна основываться на соотношениях (9.38а) — 9.48а). Поскольку мы знаем, что при каждом значении энергии число собственных значений а вне единичного круга является конечным, то борновский ряд всегда можно сделать сходящимся путем конечного числа соответствующих операций. Если К Е) О при ->- + оо, то фактически это число является равномерно ограниченным. Более того, в этом случае для каждого Eq число собственных значений а [Е), которые при Е < Е расположены вне единичного круга, равномерно ограничено. Следовательно, путем конечного числа операций борновский ряд можно сделать равномерно сходящимся для всех энергий. [c.239]

Собственным значениям соответствуют собственные функции ЛгСоз Д, являющибся решениями уравнения (18.12). Таким образом, уравнение температурного поля (18.14) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению теплопроводности (18.5) при любом собственном значении Однако из физических соображений ясно, что температура не может иметь множество различных значений в определенной точке в заданный момент времени. С другой стороны, нет никаких оснований для того, чтобы отдать предпочтение какому-либо собственному значению. Необходимо использовать их в совокупности. Известно, что если частные решения линейного дифференциального уравнения сложить, то полученная сумма также будет решением этого дифференциального уравнения. Составим такую сумму на основе выражения (18.14) и собственных значений ку. [c.444]

Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом х означает квадрат модуля первой, а у — второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х в. у, поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [c.31]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Если среди мультипликаторов ру, а следовательно, среди показателей Ау имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрищд При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному собственному значению, по-прежнему можно взять в виде (7.2.30). При этом каждому собственному значению кратности г отвечает г решений типа (7.2.30) с независимыми периодическими функциями фуХО- Если же кратному собственному значению Ау соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью г, то соответствующие ему решения имеют вид [c.470]

Размерность матрищя 6, как правило, большая. Для получения собственных значений необходимо применять вычислительные методы линейной алгебры [14, 38, 52, 54]. Особо следует отметить справочник алгоритмов по линейной алгебре [53], пользующийся заслуженной популярностью в прикладных исследованиях. Поскольку не существует алгоритма вычисления собственных значений, эффективного для матриц любого тина, то всякий раз приходится решать проблему выбора алгоритма. Для вычисления комплексных характеристических показателей линейной системы с матрицей С произвольной структуры следует применять QL- и (ЗЛ алгоритмы. При этом эффективность алгоритмов повышается, если предварительно выполнить процедуры масштабирования и приведения матрицы к почти треугольной форме (форме Хессенберга) [53]. Указанные алгоритмы позволяют получать характеристические показатели с машинной точностью, что особенно важно для исследования устойчивости систем, содержащих исчезающе малые параметры, как, например, параметры малых диссипативных сил. [c.486]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

В общем случае элементы матрицы Ащ и у — комплексные числа. Матрицы у и а подобны. Блоки матрицы А , являющиеся собственными векторами напряжений и токов падающих и отраженных волн, трансформируют а или к у , следовательно, а — матрица простой структуры или диагонилизн-руемая матрица [41]. Последнее обстоятельство имеет в отношении многосвязных полосковых структур очевидную физическую интерпретацию в виде существования в МСПЛ квази-Т волн с коэффициентами распространения yi, у2,. .., уп. Практически всегда, если в МСПЛ учитываются все возможные связи между полосками и потерн, отсутствует кратность собственных значений у матрицы а. Волны, имеющие коэффициенты распространения yi, у2..... Уп, представляют собой, по [c.19]

Для определенности рассмотрим систему N точечных частиц, находящихся в объеме Т". Чтобы включить в рассмотрение физически интересные системы, предположим, что каждая частица имеет отличный от нуля полный спин iS ). Таким образом, каждый уровень частицы ббозначается соответствующим собственным значением импульса р и значением z-комноненты спина ah. Из элементарной квантовой механики известно, что для каждого значения р спин а может принимать только одно из 25 -f- 1 целых или полуцелых значений а = — 5, —S + i,. . S — I, S. Примем, что в отсутствии внешнего, поля собственные значения энергии бр,о зависят лишь от р и не зависят от спина [c.183]

В остальном функция у (г) произвольна, она лишь ие должна совпадать с е(г). Любому ее выбору соответствует своя система собственных функций и и собственных значений ст,,. В этом пункте мы примем у= Ь а возможные обобщения (у 1) рассмотрим в п. 4. Таким образом, во вспомогательных задачах, порождающих систему собстБсиных функций и и с()бствеи[ ых значений а , диэлектрическая проницаемость есть [c.46]

Собственное значение Тг = 2 при всех числах Рейнольдса, поскольку это соответствует закону сохранения момента количества движения. Для ге > 2 значения jn оказываются дробными и зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При ReО (Л- < ) собственные значения целочисленные jn = п, и им отвечают собственные функции вида Тп(х) = Dn i - х )Тп-2 х) п>2), где Тп х) — некоторые полиномы степени п, Dn = onst. Нетрудно видеть, что система Г является в этом пределе полной системой функций. Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере радиуса Но можно задать скорость любой регулярной функцией угла 0, в частности произвольной функцией из пространства 2 (1-1, 1]). [c.289]

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ линейного оператора L, действующего в пространстве ф-ций, — нетривиальные решения ур-ния Li ) = Хч ), причем X — одно из собственных значений оператора L. Пространство ф-ций можно рассматривать как (бесконечномерное, вообще говоря) вектор юе пространство, в к-ром скалярное произведение элементов г )(а ) и ф(х) определено как г])(ж) ф(ж) dx. Особое значение имеют С. ф. в механике, квантовой механике и др. областях фиаики. В квантовой механике линейные операторы, соответствующие наблюдаемым физ. величинам, эрмитовы ij)(x) L(f(x) dx = ф(х) Lt()(x)rfx. Физ. смысл их С. ф. состоит в том, что эти ф-ции представляют собой волновые ф-ции состояний, в к-рых измеренное на опыте значение наблюдаемой равно одному из собственных значений соответствующего оператора. В конечномерном векторном прострапстве для любого эрмитова оператора Я найдется [c.566]

Сначала рассмотрим случай, когда единица является собственным значением. Самая простая бифуркация появляется, когда график отображения имеет невырожденное касание с диагональю в точке бифуркации, локально не пересекая ее для любого большего близлежащего значения параметра, в то время как для меньших значений график пересекает диагональ трансверсально в двух близлежащих точках. Динамически это значит, что сжимающая и растягивающая неподвижные точки, существующие при каждом меньшем значении параметра, сливаются в точке бифуркации, образуя полуустойчивую точку (т. е. точку, притягивающую с одной стороны и отталкивающую с другой). Для больших значений параметра вблизи вовсе нет неподвижных точек. Конкретным примером этой ситуации служит семейство [c.306]

В качестве простого примера рассмотрим сохраняющие площадь потоки в случае размерности 2, индуцированные линейной системой х = Ах обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. потоки вида для некоторой матрицы А, для которой =с1е16- = 1, или А =0. В этом случае трансверсальные неподвижные точки могут быть только эллиптическими или гиперболическими седлами собственные значения матрицы равны А и —Л, и мы можем считать, что матрица А приведена к жордановой форме. Если А = О, то начало координат не является изолированной неподвижной точкой. Если А / О, то число Л либо чисто мнимо А = га гК, либо вещественно. В первом случае собственные значения равны е= = для некоторого з е К, и тогда нуль — неподвижная эллиптическая точка. В противном случае собственные значения имеют вид для некоторого в е К и нуль — гиперболическая неподвижная точка. Другими словами, возможны только два случая [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...